最新-2021版一轮文数课件：第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 精品

1．命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆 否命题中，假命题的个数为____2____．
解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题： 若 a>－6，则 a>－3 为假命题，则否命题也为假命题．
2．命题“若 a·b 不为零，则 a，b 都不为零”的逆否命题是 ________． 答案：若 a，b 至少有一个为零，则 a·b 为零
和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充分不必要条件．
(3)显然 x∈(A∪B)不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈(A∪B)， 所以 p 是 q 的必要不充分条件． (4)命题 p：x＝1 且 y＝2，命题 q：x＝1 或 y＝2，所以 p⇒q 但 q p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
且－ 1a>2a0<0
，故方程有两个负根，符合题意．
综上知：当 a≤1 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根．
必要性：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根．
当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 符合题意．
当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 应有一正一负根或两个负根．
Δ＝4－4a≥0
解析：(1)当|p|≥2 时，令 p＝4，则方程 x2＋4x＋7＝0 无实根； 若方程 x2＋px＋p＋3＝0 有实根，则由 Δ≥0 推出 p2－4(p＋ 3)≥0⇒p≤－2 或 p≥6，由此可推出|p|≥2，所以 A 是 B 的必 要不充分条件． (2)若 α＋β＝2kπ(k∈Z)，则 sin α＋sin β＝sin α＋sin(2kπ－α)＝ sin α－sin α＝0(k∈Z)，又 sin(α＋β)＝sin 2kπ＝0，所以 sin(α ＋β)＝sin α＋sin β 成立． 若 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立，取 α＝0，β＝π，知 α＋β＝2kπ 不一定成立，故 A 是 B 的充分不必要条件．
3．“x>3”是“x>5”的________条件(填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 答案：必要不充分
4．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ________． 解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交 换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”． 答案：若一个数的平方是正数，则它是负数
二、四种命题之间关系 1．四种命题间的相互关系
2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系．
三、充分条件与必要条件 1．如果 p⇒q，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． 2．如果 p⇒q，q⇒p，那么 p 是 q 的充要条件．
2．(2017·高考北京卷)能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a>b>c，则 a＋b>c”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 __________． 解析：答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足 a>b>c， 但不满足 a＋b>c. 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
解析：(1)逆命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 有实根，则 q<1，为假 命题． 否命题：若 q≥1，则方程 x2＋2x＋q＝0 无实根，为假命题．逆 否命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 无实根，则 q≥1，为真命题． (2)逆命题：若 a＝0 或 b＝0，则 ab＝0，为真命题． 否命题：若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0，为真命题． 逆否命题：若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0，为真命题
则1a<0
或－2a<0 1a>0
.解得 a<0 或 0<a≤1.
综上知：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一负根，则 a≤1.
故关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是
a≤1.
规律方法
1.证明充要性首先要分清谁是条件谁是结论.注意两种说法： “p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”中前者 p 是条件， 后者 q 是条件. 2.利用充要性求参数范围，这类问题一般是转化为集合间关系 进行处理.
【例 2】 在下列各题中，判断 A 是 B 的什么条件，并说明理 由． (1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程 x2＋px＋p＋3＝0 有实根； (2)A：α＋β＝2kπ(k∈Z)，B：sin(α＋β)＝sin α＋sin β； (3)A：|2x－3|>1；B：x2＋1x－6>0； (4)A：圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，B：c2＝(a2＋ b2)r2.
规律方法
充分条件、必要条件、充要条件的判定： (1)定义法 ①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论； ②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假； ③下结论：根据推式及定义下结论． (2)等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判 断．
(3)集合法 记法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
(3)逆命题：若 x、y 全为零，则 x2＋y2＝0，为真命题． 否命题：若 x2＋y2≠0，则 x、y 不全为零，为真命题． 逆否命题：若 x、y 不全为零，则 x2＋y2≠0，为真命题．
规律方法
给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题的真假时， 如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的 等价命题的真假来确定.原命题与其逆否命题是等价的，否命题 和逆命题也是等价的，在直接判断一个命题不易入手时，可通 过这种关系得到相应的结论.
第一章 集合与常用逻辑用语 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
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主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 真题演练 高考预测 课时作业 知能提升
主干知识 自主排查
一、命题 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫 做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假 的语句叫 做假命题．
(3)由|2x－3|>1⇒x<1 或 x>2，由x2＋1x－6>0 解得 x<－3 或 x>2， 所以 A 推不出 B，但 B 可以推出 A，故 A 是 B 的必要不充分 条件． (4)直线 ax＋by＋c＝0 与圆 x2＋y2＝r2 相切⇔圆心(0,0)到直线的 距离 d＝r，即 a2|c＋| b2＝r⇔c2＝(a2＋b2)r2.所以 A 是 B 的充要条 件．
4．(2017·高考天津卷改编)设 θ∈R，则“θ－1π2<1π2”是“sin θ<12”的__________．(填“充分而不必要条件”“必要而不充 分条件”“充分必要条件”或“既不充分又不必要条件”)
解析：∵θ－1π2<1π2⇔－1π2<θ－1π2<1π2⇔0<θ<π6，
sin
θ<
1 2
⇔
θ
【例 3】 求证关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根 的充要条件是 a≤1.
解析：充分性：当 a＝0 时， 方程为 2x＋1＝0， 其根为 x＝－12，方程有一个负根，符合题意． 当 a<0 时，Δ＝4－4a>0， 方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个不相等的实根， 且1a<0，方程有一正一负根，符合题意． 当 0<a≤1 时，Δ＝4－4a≥0， 方程 ax2＋2x＋1＝0 有实根，
关系
A B B A A＝B A B 且 B A
结论
p是q的
p是q的
p 是 q 的充分 必要不
p 是 q 的既不充分
充要条
不必要条件 充分条
也不必要条件
件
件
[跟踪训练] 2．指出下列命题中 p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条 件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要 条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)非空集合 A、B 中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B； (4)已知 x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝ 0.
5．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行” 的________条件． 解析：若这两条直线平行，则两条直线没有公共点；反过来， 若两条直线没有公共点，则这两条直线可以异面．在空间中， “两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充 分条件． 答案：必要不充分
核心考点 互动探究
【例 1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题， 并判断它们的真假： (1)若 q<1，则方程 x2＋2x＋q＝0 有实根； (2)若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0； (3)若 x2＋y2＝0，则 x，y 全为零．
[跟踪训练] 3．已知 P＝{x||x－1|>2}，S＝{x|x2＋(a＋1)x＋a>0}，且 x∈P 的充要条件是 x∈S，求实数 a 的取值范围．
解析：∵x∈P 的充要条件是 x∈S，∴P＝S. ∵P＝{x||x－1|>2}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， S＝{x|x2＋(a＋1)x＋a>0}＝{x|(x＋a)(x＋1)>0}， ∴a＝－3.
[跟踪训练]
1．用反证法证明：若 a、b、c∈R，且 x＝a2－2b＋1，y＝b2
－2c＋1，z＝c2－2a＋1，则 x、y、z 中至少有一个不小于 0.
证明：假设 x、y、z 均小于 0，即： x＝a2－2b＋1<0，① y＝b2－2c＋1<0，② z＝c2－2a＋1<0，③ ①＋②＋③得 x＋y＋z＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2<0，这与(a －1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0 矛盾，假设不成立， ∴x、y、z 中至少有一个不小于 0.
真题演练 高考预测
从近三年的高考试题来看，充要条件的判定是高考的热 点，多涉及向量、三角、立体几何、解析几何、不等式中易混 易错的性质与定理，有一定的综合性．难度中档，题型多为填 空题，重点考查学生的逻辑推理能力及基本知识的掌握理解)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1z∈R，则 z∈R； p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2； p4：若复数 z∈R，则 z ∈R. 其中的真命题为__________．
解析：对于命题 p1，设 z＝a＋bi(a，b∈R)，由1z＝a＋1 bi＝aa2－＋bbi2 ∈R，得 b＝0，则 z∈R 成立，故命题 p1 正确；对于命题 p2， 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，由 z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得 a·b＝0， 则 a＝0 或 b＝0，复数 z 可能为实数或纯虚数，故命题 p2 错误； 对于命题 p3，设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由 z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得 ad＋bc＝0，不一定有 z1＝ z 2，故命题 p3 错误；对于命题 p4，设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则由 z∈R，得 b＝0，所以 z ＝a∈R 成立，故命题 p4 正确． 答案：p1，p4
解析：(1)在△ABC 中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若 sin A＝sin B，因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内角和为 180°)，所以只有 A＝B，故 p 是 q 的充要条件． (2)易知：綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显然綈 q⇒綈
p.但綈 p 綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，根据原命题
3．(2017·高考北京卷改编)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”的__________．(填“充分而不必 要条件”“必要而不充分条件”“充分必要条件”或“既不 充分又不必要条件”)
解析：由存在负数 λ，使得 m＝λn，可得 m、n 共线且反向， 夹角为 180°，则 m·n＝－|m||n|<0，故充分性成立．由 m·n<0， 可得 m，n 的夹角为钝角或 180°，故必要性不成立．故填充分 而不必要条件． 答案：充分而不必要条件