2021年江苏省常州市数学中考试题(含答案)

江苏省常州市2021年中考数学试卷
（满分120分,考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,满分16分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）1.（2014江苏省常州市,1,2分）的相反数是（ ）
A.
B. C .－2 D.2
【答案】A
2. （2014江苏省常州市,2,2分）下列运算正确的是（ ）
A. B. C.
D. 【答案】C
3. （2014江苏省常州市,3,2分）下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是（
）
【答案】B
4. （2014江苏省常州市,4,分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分
别为 =0.56,=0.60, =0.50, =0.45,则成绩最稳定的是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁【答案】D
5. （2014江苏省常州市,5,2分）已知两圆半径分别为3 ,5 ,圆心距为7 ,则这两圆的位置关系为（ ）A. 相交 B.外切 C.内切 D.外离【答案】A
6. （2014江苏省常州市,6,2分）已知反比例函数的图像经过P （－1,2）,则这个函数的图像位于（ ）
A.第二,三象限
B.第一,三象限
C.第三,四象限
D.第二,四象限
【答案】D
7. （2014江苏省常州市,7,分）甲,乙两人以相同路线前往距离单位10的培训中心参加学习.图中
, 1
2
-12
1
2
-
33a a a ⋅=()3
3ab a b =()
2
36a
a =842
a a a ÷=22s c π甲2s 甲
2s 乙2s 丙2
s 丁cm cm cm k
y x
=km l 甲l 乙
分别表示甲,乙两人前往目的地所走的路程随时间(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/小时;③乙走了8后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
【答案】B
8.（2014江苏省常州市,8,分）在平面直角坐标系中,直线经过点A （－3,0）,点B （
）,点P 的坐标为（1,0）,与轴相切于点O,若将⊙P 沿轴向左平移,平移后得到（点
P 的对应点为点P ′）,当⊙P ′与直线相交时,横坐标为整数的点P ′共有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,满分18分.）9.（2014江苏省常州市,9,4分）计算: =
, =
, =
,
=
.
【答案】1,－4,9,－2
10.（2014江苏省常州市,10,2分）已知P （1,－2）,则点P 关于轴的对称点的坐标是 .【答案】（1,2）11.（2014江苏省常州市,11,2分）若∠=30°,则∠的余角等于 度, 的值为
.
【答案】612. （2014江苏省常州市,12,2分）已知扇形的半径为3,此扇形的弧长是,则此扇形的圆心角等于 度,扇形的面积是 .(结果保留)【答案】120,313. （2014江苏省常州市,13,2分）已知反比例函数,则自变量的取值范围是 ;的
值为0,则= 【答案】≠0,3
14. （2014江苏省常州市,14,2分）已知关于的方程的一个根是1,则= ,另一个根为 .
【答案】2,2
15. （2014江苏省常州市,15,2分）因式分解:= .
【答案】s km km xOy y x 1-2
2-()2
3-x ααsin αcm 2πcm π2
cm π2
y x
=x x x x 230x x m -+=m 3
2
9x xy -()()
33x x y x y -+
16. （2014江苏省常州市,16,2分）在平面直角坐标系中,一次函数的图像与函数的图像相交于点A,B,设点A 的坐标为（,）,那么长为,宽为的矩形的面积为 ,周长为
.
【答案】6,20
17.（2014江苏省常州市,17,2分）在平面直角坐标系中,已知一次函数的图像经过点P （1,1）,与
轴交于点A,与轴交于点B,且∠ABO=3,那么A 点的坐标是
.
【答案】（－2,0）或（4,0）
三、解答题（本大题共2小题,满分18分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（2014江苏省常州市,18,8分）计算与化简:
（1
解：原式=2－1+2=－1（2）解：原式=【答案】
19. （2014江苏省常州市,19,10分）解不等式组和分式方程:（1）（2）
【答案】解：（1）解不等式①,得：解不等式②,得：∴不等式组的解集为：（2）四.解答题:
20. （2014江苏省常州市,20,7分）为迎接“六一”儿童节的到来,某校学生参加献爱心捐款活动,随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析,相应数据的统计图如下:（1）该校本的容量是 ,样本中捐款15元的学生有 人;xOy 10y x =-()6
0y x x
=>1x 1y 1x 1y xOy y kx b =+x y tan 0
12tan 453⎛⎫
--+︒
⎪⎝⎭
()()()111x x x x -+-+2211x x x x
-+-=-32113
x x +>-⎧⎨-<⎩32
111x x x
-=--1x >2x >-1x >321
x x +=-312
x x -=--32
x =-
（2）若该校一共有500名学生,据此样本估计该校学生的捐款总数.
【答案】（1）50,10。

（2
）平均每人的捐款数为：
,9．5×500=4750（元）21.（2014江苏省常州市,21,8分）一只不透明的箱子里共有3个球,把它们的分别编号为1,2,3,这些球除编号不同外其余都相同.
（1）从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率;
（2）从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都是编号为3的球的概率.
【答案】解：（1）从箱子中随机摸出一个球,摸出的球是编号为1的球的概率为：。

（2）画树状图如下：
共有9种可能的结果,两次摸出的球都是编号为3的球的概率为
.五.解答题（本大题共2小题,共12分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出证明过程）
22.（2014江苏省常州市,22,5分）已知：如图,点C 为AB 中点,CD=BE,C D ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.
()1
155251015109.550
⨯⨯+⨯+⨯=3
1
9
1
【答案】证明：∵C D∥BE,∴∠ACD=∠B
∵点C为AB中点,∴AC=CB
又∵CD=BE,∴△ACD≌△CBE（S.A.S.）.
23. （2014江苏省常州市,23,7分）已知:如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF.四边形DEBF为平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：连结BD交AC于点O
∵四边形DEBF为平行四边形,∴OD=OB,OE=OF,
∵AF=CE,∴A F－EF=C E－EF,即AE=CF,∴AE＋OE=CF＋OF,即OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形.
六.画图与应用（本大题共2小题,请在答题卡指定区域内作答,共14分）
xOy Rt y 24.（2014江苏省常州市,24,7分）在平面直角坐标系中,如图,已知△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在
轴上,点E 在轴上,在△ABC 中,点A,C 在轴上,AC=5. ∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图（保留作图痕迹）:
（1）将△ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△OMN （其中点D 的对应点为点M,点E 的对应点为点N ）,画出△OMN;
（2）将△ABC 沿轴向右平移得到△A ′B ′C ′（其中点A,B,C 的对应点分别为点A ′,B ′,C ′）,使得B ′C ′与（1）中的 △OMN 的边NM 重合;（3）求OE 的长.【答案】解：（1）、（2）画图如下：
（3）解：设OE=,则ON=,作M F ⊥A ′B ′于点F,
由作图可知：B ′C ′平分∠A ′B ′O,且C ′O ⊥O B ′,∴B ′F= B ′O=OE=,F C ′=O C ′=OD=3,∵A ′C ′=AC=5,∴A ′
F=,∴A ′B ′=＋4,A ′O=5+3=8,∴,解得：,∴OE=6.
25. （2014江苏省常州市,25,7分）某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量（件）与每件的销售价（元/件）如下表所示:
x x x x x x 4352
2=-x ()2
2248x x +=+6=x x
假定试销中每天的销售号 (件)与销售价（元/件）之间满足一次函数.（1）试求与之间的函数关系式;
（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?（注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价）
【答案】解：（1）设与之间的函数关系式为： ,因为其经过（38,4）和（36,8）两点,∴
,解得：,故. （2）设每天的毛利润为元,每件服装销售的毛利润为（－20）元,每天售出（80－2）件,则
=,当=30时,获得的毛利润最大,最大毛利润为
200元.
26. （2014江苏省常州市,26,8分）我们用表示不大于的最大整数,例如: ,,;用
表示大于的最小整数,例如:
,,.解决下列问题:
（1）=
, =
.
（2）若=2,则的取值范围是
;
若=－1,则的取值范围是 .
（3）已知,满足方程组,求,
的取值范围.
【答案】解：（1）－5,4。

（2）∵=2,∴则的取值范围是。

∵=－1,∴的取值范围是.
（3）,解之得：,∴,的取值范围分别为,.
27.
（2014江苏省常州市,27,10分）在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于点A,B （点B 在点A 的左侧）,与轴交于点C.过动点H （0, ）作平行于轴的直线,直线与二次函数
x x x b kx t +=⎩⎨⎧+=+=b k b k 368384⎩
⎨
⎧=-=802
b k 802+-=x y w x x ()()x x w 28020--=()2003021600120222+--=-+-x x x x []a a []2.52=[]33=[]2.53-=-a a 2.53=45= 1.51-=-[]4.5- 3.5[]x x y y x y [][]
32336x y x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩x y []x x 21≤<x y y 12-<≤-y [][]
323
36x y x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩[]⎩⎨⎧=-=31y x x y 01<≤-x 32<≤y xOy 213
222
y x x =-
++x y m x
的图像相交于点D,E.
（1）写出点A,点B 的坐标;
（2）若,以DE 为直径作⊙Q,当⊙Q 与轴相切时,求的值;
（3）直线上是否存在一点F,使得△ACF 是等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】解：（1）当=0时,有,解之得：,,∴A 、B 两点的坐标分别为（4,0）和（－1,0）.
（2）∵⊙Q 与轴相切,且与交于D 、E 两点,∴圆心O 位于直线与抛物线对称轴的交点处,且⊙Q 的半径为H 点的纵坐标（）
∵抛物线的对称轴为,
∴D 、E 两点的坐标分别为：
（
－,）,（＋,）且均在二次函数的图像上,∵,解得或（不合题意,舍去）
（3）存在.
①当∠ACF=90°,AC=FC 时,过点F 作FG ⊥轴于G,∴∠AOC=∠CGF=90°,
∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,∴∠ACO=∠CFG ,∴△AC O ≌△∠CFG,∴CG=AO=4,
∵CO=2,∴=OG=2+4=6。

②当∠CAF=90°,AC=AF 时,过点F 作FP ⊥轴于P,∴∠AOC=∠APF=90°,
∵∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,∴∠ACO=∠FAP ,∴△AC O ≌△∠FAP,∴FP =AO=4,∴=FP =4。

③当∠AFC=90°,FA=FC 时,则F 点一定在AC 的中垂线上,此时=3或=1
213
222
y x x =-++0m >x m m y 0223
212=++-x x 41=x 12-=x x 213
222
y x x =-
++m 0m >2321223
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-=x 23m m 23
m m 213222
y x x =-++2232323212
+⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=m m m 1229-=m 1229--=m y m x m m m
28.（2014江苏省常州市,28,10分）在平面直角坐标系中,点M
）,以点M 为圆心,OM 长为半径作
⊙M
. 使⊙M 与直线OM 的另一交点为点B,
与轴, 轴的另一交点分别为点D,A
（如图）,连接AM.点P 是
上的动点.
（1）写出∠AMB 的度数;
（2）点Q 在射线OP 上,且OP·OQ=20,过点Q 作QC 垂直于直线OM,垂足为C,直线QC 交轴于点E.①当动点P 与点B 重合时,求点E 的坐标;
②连接QD,设点Q 的纵坐标为,△QOD 的面积为S.求S 与的函数关系式及S 的取值范围.【答案】解：（1）90°。

（2）①由题意,易知：,∴OB=4,当动点P 与点B 重合时,∵OP·OQ=20,∴OQ=5,
∵∠OQE=90°,∠POE =45°,∴,∴E 点坐标为（,0）
②∵,Q 的纵坐标为,∴S=.当动点P 与B 点重合时,过点Q 作QF ⊥轴,垂足为F 点,∵OP=4,OP·OQ=20,∴OQ=5,
xOy x y AB
x t t 2222
1
=⨯x
∵∠OFC=90°,∠QOD =45°,∴
=
,此时S=。

当动点P 与A 点重合时,Q 点在轴上,∴
,∵ OP·OQ=20,∴
,此时S=。

∴S 的取值范围为.
22
552
252=⨯y 10252=⨯105≤≤S
23. 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C 。

（1）求点A 的坐标。

（2）当时,求m 的值。

（3）已知一次函数,点P （n ,0）是x 轴上的一个动点,在（2）的条件下,过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ,交二次函数的图象于N 。

若只有当时,点M 位于点N 的上方,求这个一次函数的解析式。

24. 在□ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ,交直线DC 于点F 。

（1）在图1中证明。

（2）若,G 是EF 的中点（如图2）,直接写出∠BDG 的度数。

（3）若,FG ∥CE ,,分别连结DB 、DG （如图3）,求∠BDG 的度数。

2
(3)3(0)y mx m x m =+-->45ABC ∠=︒y kx b =+2(3)3(0)y mx m x m =+-->22n -<<CE CF =90ABC ∠=︒120ABC ∠=︒FG CE =
A
M N
B P C
25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,我把由两条射线AE ,BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）。

已知A （,）,B （,）,AE ∥BF ,且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上。

（1）求两条射线AE ,BF 所在直线的距离。

（2）当一次函数的图象与图形C 恰好只有一个公共点时,写出b 的取值范围。

当一次函数的图象与图形C 恰好只有两个公共点时,写出b 的取值范围。

（3）已知□AMPQ （四个顶点A ,M ,P ,Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上,且不都在两条射线上,求点M 的横坐标x 的取值范围。

26．(10分)在等腰△ABC 中,AB ＝AC ＝5,BC ＝6．动点M 、N 分别在AB 、AC 上(M 不与A 、B
重合),且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠,使点A 的对应点为P ．
(1)当MN 为何值时,点P 恰好落在BC 上？
(2)设MN ＝x ,△PMN 与△ABC 重叠部分的面积为y ,试写出y 与x 的函数关系式．当x 为何值时,y 的值最大？最大值是多少？1-010y x b =+y x b =+。