华南师范大学数学分析考研题目
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华南师范大学
2004年招收硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析与高等代数
使用专业：数学基础、应用数学、计算数学
运筹控制学与教学论，课程与教学论（数学）
1、（12分）设1(1)
n
n
a n
=+
，1,2,n = 证明数列n a 严格单调增加且收敛。
证明：令1()(1)x
f x x
=+，0x >，111()(1)
(ln(1)),
(1)
x
f x x
x
x '=++
-
+
令2
11111()(ln(1)),()(
)0
(1)
(1)
(1)
g x g x x
x x x
x '=+-
=-
+
<+++，()()0g x g >+∞=，则
()0f x '>，()f x 严格单调增加，故1(1)
n
n
a n
=+
严格单调增加，
2
1(1)1
(1)11
(1)
112!
!
n
n n
n n n n a n n
n n
--=+
=++
++
111111112!
!
12
(1)
n n n ≤++
++
≤++
++
⨯- 3<，
由单调有界原理n a 收敛。 2、（12分）求函数 21,
000
sin (),x x x x x f
≠=⎧⎪=⎨⎪⎩
的导函数，并讨论导函数的连续性。
2
10
sin
(0)lim
0x
x
x f x
→'==，
112,0
00cos sin (),x x x x x x f
+≠=⎧-⎪=⎨⎪⎩
'，
112)
cos
sin
lim (x
x
x
x +→-不存在，故导函数在0x =处不连续。
3、（12分）求幂级数2(1)1()2
1
n n
n n x n
n ⎡⎤
+-⎢⎥⎣⎦
-
=∑
的收敛半径和收敛域。
____
lim
3
n →，收敛半径为13
ρ=
，当112
3
x -
=
，级数为2(1)1()3
1
n n
n n
n
n ⎡⎤
+-⎢⎥⎣⎦
==∑
分散，
212(1)3111[()32121
1
]n n
n n
n
n
n n
n n -⎡⎤+-⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
+-===
∑
∑
发散，
112
3
x -
=-
，级数为212(1)2(1)31111()[()3
32121
1
1
]n n
n n
n
n
n
n n
n
n
n n
n n n -⎡⎤+-⎢
⎥⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
-=
-+
-====
∑
∑
∑
发散，
4（12分）求函数 1,0
0,0,()x x x f
ππ
-
≤<≤<⎧⎪=⎨
⎪⎩
的Forier 级数，并由此求数项级数0
co s(sin )co s lim 3sin
x x x x
→-的和。
5、（12分）设
()
f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，()()f a f b ≠
证明：存在使得,(,)a b ξη∈
数学分析部分（75分）
一 计算题（每小题8分） 1、求3
cos(sin )cos lim sin x x x x
→-.
2、求 3
sec xdx =⎰
3、(,)(0,0)
22
22lim x y x y x y
→=+
4、求224L xdy ydx
x y -+⎰ 其中
222
(1),01L x y R R +-=<≠：，取逆时针方向.
二 证明题（每小题9分）
1、 明：对,,
a b
R ∀∈2
1()
2
a b
a
b
e
e
e
+≤
+；
2、设lim 0x a n
→∞=，证明：1lim ()0
12a a a n
n
x +++=→∞ .
3、设()f x 在(0,1)上连续，0
1
lim ()lim ()x x f x f x +
-→→==-∞
，证明：()(0,1)f x 在内取得最
大值。
证明：取0(0,1)x ∈，
因为01lim ()lim ()x x f x f x →+
→-
==-∞，存在00,()x δδ
>> ，当(0,x δ∈时，0()()
f x f x <
；同理存在
00,(m a x {,}1)x δδδ''><-，当(1,1)x
δ'∈-时，0()()f x f x <；又()f x 在[,1]
δδ'-连续，所以
()
f x 在[,1]δδ'-中可取得最大值1()f x ，又
0[,1]
x δδ'∈-，所以10()()f x f x ≥，于是有
当[,1]x δδ'∈-，1()()f x f x ≤，当(0,)x δ∈，01()()()f x f x f x <≤，当