华南师范大学数学分析考研题目

华南师范大学2004年招收硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析与高等代数使用专业：数学基础、应用数学、计算数学运筹控制学与教学论，课程与教学论（数学）1、（12分）设1(1)nna n=+，1,2,n = 证明数列n a 严格单调增加且收敛。

证明：令1()(1)xf x x=+，0x >，111()(1)(ln(1)),(1)xf x xxx '=++-+令211111()(ln(1)),()()0(1)(1)(1)g x g x xx x xx '=+-=-+<+++，()()0g x g >+∞=，则()0f x '>，()f x 严格单调增加，故1(1)nna n=+严格单调增加，21(1)1(1)11(1)112!!nn nn n n n a n nn n--=+=++++111111112!!12(1)n n n ≤++++≤++++⨯- 3<，由单调有界原理n a 收敛。

2、（12分）求函数 21,000sin (),x x x x x f≠=⎧⎪=⎨⎪⎩的导函数，并讨论导函数的连续性。

210sin(0)lim0xxx f x→'==，112,000cos sin (),x x x x x x f+≠=⎧-⎪=⎨⎪⎩'，112)cossinlim (xxxx +→-不存在，故导函数在0x =处不连续。

3、（12分）求幂级数2(1)1()21n nn n x nn ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦-=∑的收敛半径和收敛域。

____lim3n →，收敛半径为13ρ=，当1123x -=，级数为2(1)1()31n nn nnn ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==∑分散，212(1)3111[()321211]n nn nnnn nn n -⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-===∑∑发散，1123x -=-，级数为212(1)2(1)31111()[()33212111]n nn nnnnn nnnn nn n n -⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=-+-====∑∑∑发散，4（12分）求函数 1,00,0,()x x x fππ-≤<≤<⎧⎪=⎨⎪⎩的Forier 级数，并由此求数项级数0co s(sin )co s lim 3sinx x x x→-的和。

5、（12分）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，()()f a f b ≠证明：存在使得,(,)a b ξη∈数学分析部分（75分）一 计算题（每小题8分） 1、求3cos(sin )cos lim sin x x x x→-.2、求 3sec xdx =⎰3、(,)(0,0)2222lim x y x y x y→=+4、求224L xdy ydxx y -+⎰ 其中222(1),01L x y R R +-=<≠：，取逆时针方向.二 证明题（每小题9分）1、 明：对,,a bR ∀∈21()2a babeee+≤+；2、设lim 0x a n→∞=，证明：1lim ()012a a a nnx +++=→∞ .3、设()f x 在(0,1)上连续，01lim ()lim ()x x f x f x +-→→==-∞，证明：()(0,1)f x 在内取得最大值。

证明：取0(0,1)x ∈，因为01lim ()lim ()x x f x f x →+→-==-∞，存在00,()x δδ>> ，当(0,x δ∈时，0()()f x f x <；同理存在00,(m a x {,}1)x δδδ''><-，当(1,1)xδ'∈-时，0()()f x f x <；又()f x 在[,1]δδ'-连续，所以()f x 在[,1]δδ'-中可取得最大值1()f x ，又0[,1]x δδ'∈-，所以10()()f x f x ≥，于是有当[,1]x δδ'∈-，1()()f x f x ≤，当(0,)x δ∈，01()()()f x f x f x <≤，当(1,1)x δ'∈-，01()()()f x f x f x <≤，故综合当(0,1)x ∈，1()()f x f x ≤，即1()f x 是()f x 在(0,1)上得最大值。

三 讨论题（每小题8分） 1、讨论级数111111132323231111111135(21)246(2)n n +-+-++-+--的敛散性。

解：111111132323231111111135(21)246(2)n n +-+-++-+--)()()()111111132323231111111(135(21)246(2)n n +-+-++-+=--111111333222)()()()1111111333322213456(21)(2)(123456(21)(2)n n n n ---------=--111322)1113321((1)(2))12(112(1)(2)22n nn n n-∞--=--=-∑，而11132211321((1)(2))21(1)(2)2n nn n ----等价于131(2)n ，所以11132211321((1)(2))21(1)(2)22n nn n n-∞---=-=-∞∑，即111111132323231111111135(21)246(2)n n +-+-++-+-=-∞-，因此级数111111132323231111111135(21)246(2)n n +-+-++-+--发散。

2、0,0,αβ>>讨论0sin x dxxβα+∞⎰的敛散性（包含条件收敛）。

解：先讨论0sin x dxxα+∞⎰，0,α>的敛散性，该级数既是无穷区间的广义的，又有瑕点0x = ，所以11sin sin sin x x x dx dx dxxxxααα+∞+∞=+⎰⎰⎰，对级数1sin x dxxα+∞⎰；当0α<时，由迪雷克雷判别法，1sin x dxxα+∞⎰收敛；当1α>时，11sin 1x dx dxxxαα+∞+∞≤⎰⎰收敛，即1sin x dxxα+∞⎰绝对收敛；当01α<≤时，211111s i ns i n1c o s 21c o s 2222x x x x d x d xd xd xd x xxxxxααααα+∞+∞+∞+∞+∞-≥==-⎰⎰⎰⎰⎰，而1cos 22x dxxα+∞⎰收敛，112dxxα+∞⎰发散，即1sin x dxxα+∞⎰发散；因此对级数1sin x dxxα+∞⎰，当01α<≤时条件收敛，当1α>时绝对收敛； 对级数10sin ,x dx xα⎰级数10sin x dxxα⎰是正项积分，1sin 1lim/1x x xxαα-→=，而当12α<<时，111dx xα-⎰收敛，2α≥时，111dx xα-⎰发散；所以有当12α<<时，10sin x dx xα⎰收敛， 2α≥时，10sin x dx xα⎰发散；综合得0sin x dxxα+∞⎰当01α<≤时条件收敛；当12α<<时，绝对收敛；当2α≥时，发散。

因为1sin sin x ydx dy xyβαβαβ+∞+∞-+=⎰⎰，所以当101αββ-+<≤时条件收敛；当112αββ-+<<时，绝对收敛；当12αββ-+≥时，发散。

华南师范大学2003年招收研究生入学考试试题 考试科目：数学分析与高等代数 使用专业：数学基础、应用数学 运筹控制学与教学论数学分析6题，高等代数5题，各占75分，共150分一 （12分）求极限()1111335(21)(21)limn n x +++⋅⋅-⋅+→+∞.二 （12分）设{}(,)11,11D x y x y =-≤≤-≤≤：，求积分三 （12分）证明3311nxn xn ∞+=∑在[],a b 上一致收敛（其中，0a b <<<∞）；在(0,)+∞上不一致收敛；并证明：函数3311()nxn xn S x ∞+==∑在(0,)+∞上连续.四 （12分）求第二型曲线积分213333Ly dx x dy +⎰，其中：22:21L x y +=取逆时针方向.五 （12分）()f x 是(,)a +∞上的连续函数。

求证：如果lim ()x a f x →+和lim ()x f x →+∞都存在（有限），那么()f x 在(,)a +∞上一致连续.问：逆命题是否成立？如果成立，请证明之；否则，请举反例. 六 （15分）设(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，而且，对于每个固定的[],y c d ∈，(,)f x y 关于x 在[),a +∞单调减少。

求证：当x →+∞时，函数(,)xf x y 和(,)f x y 关于[],y c d ∈一致的收敛于0.。