江苏省泰州市2008～2009学年度第一学期期末联考高一数学试题

泰州市08～09学年上学期期末高一数学试题
一、填空题：
1．已知全集{}5,4,3,2,1=U ，且{}4,3,2=A ，{}2,1=B ，则B C A U ⋂等于 ． 2．求值：)4
17cos(326sin
π
π
-
+= ．
3．扇形OAB 的面积是1cm 2
，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 ．
4．函数)13lg(11
32
++-+=
x x
x
y 的定义域为 ． 5．函数x
y 4
16-=
值域为 ．
6．已知x x f 2cos 3)(sin -=，则)2
1(f = ．
7．若方程23
2
-=x
x
的实根在区间()n m ,内，且1,,=-∈m n Z n m ，则=+n m .
8．幂函数m
m x
x f 42
)(-=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上递减，则整数m = ．
9．计算：2
log
122
13
3
14lg 2lg 5lg 94---+-+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛= .
10．已知函数)3(log
)(2
+-=x ax
x f a
在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是 。

11．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-，
，
0,01),2sin()(12
x e x x x f x π若2)()1(=+m f f ，则m 的所有可能值为 ．
12．定义在R 上奇函数)(x f ，当0<x 时的解析式为2)ln()(++--=x x x f ，若该函数有一零点为0x ，
且)1,(0+∈n n x ，n 为正整数，则n 的值为 ．
13．已知函数()⎩⎨⎧<+-≥=2
,232,)(x x a x a x f x ，
为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．
14．关于函数)3
2sin(2)(π+
=x x f ，有下列命题：
（1）)3
(π+=x f y 为奇函数；（2）要得到函数x x g 2cos 2)(=的图像，可以将)(x f 的图像向左平
移
12
π
个单位；（3）)(x f y =的图像关于直线12
π=
x 对称；（4）)(x f y =为周期函数。

其中正确命
题的序号为 ．
15．（本题满分14分）（Ⅰ）已知3
2)sin(=
+βα
，5
1)sin(=
-βα
，求
β
αtan tan 的值；
（Ⅱ）已知5
2sin =
α，α是第二象限角，且3)tan(=+βα，求βtan 的值．
16．设}019|{2
2
=-+-=a
ax x
x A ，}065|{2
=+-=x x
x B ，}082|{2
=-+=x x
x C .
则①B A ⋂=B A ⋃，求a 的值；②
φB A ⋂，且C A ⋂=φ，求a 的值；③B A ⋂=C A ⋂≠φ，求a 的
值；
17．已知函数x
x a x f +-=1lg
)(，（Ⅰ）若)(x f 为奇函数，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在（-1，5］内有意义，
求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断并证明)(x f 的单调性．
18．已知向量)0,sin 3(x m ω=，)sin ,(cos x x n ωω-=（0>ω），在函数t n m m x f ++⋅=)()(的图像中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 时，)(x f 的最大值为23．
（Ⅰ）求)(x f 的解析式； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．
19．为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元，不享受任何折扣；若购物总金额超过1000元，则享受一定的折扣优惠，折扣按下表累计计算．
例如，某人购物1300元，则其享受折扣优惠的金额为（1300－1000）元，优惠额300×10%=30，实际付款1270
元．（Ⅰ）某顾客购买1800
元的商品，他实际应付款多少元？
（Ⅱ）设某人购物总金额为x 元，实际应付款y
元，求y 关于x 的函数解析式．
20．已知R a ∈，函数a x x x f -=)(，（Ⅰ）当a =2时，写出函数)(x f y =的单调递增区间； （Ⅱ）求函数)(x f y =在区间[]2,1上的最小值；（Ⅲ）设0≠a ，函数)(x f 在),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m 、的取值范围（用a 表示）．
泰州市2008～2009学年度第一学期期末联考
高一数学试题参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．{}4,3 2．2
2
3+ 3．2 4．)1,3
1(-
5．[0,4）
6．
2
5 7．－3 8．2 9．0 10．()+∞⎥⎦
⎤
⎝⎛,181,
16
1
11．1或2
1
-
12．1 13．32<≤a 14． （1）（2）（3）
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15. （本题满分14分，第（Ⅰ）问7分，第（Ⅱ）问7分）
（Ⅰ）解：∵sin(α+β)=
3
2，sin(α+β)=
5
1
71330
730
13
sin cos cos sin cos sin cos sin tan β
αtan =
===
βαβαβ
βαα
…………………………………………（7分） （Ⅱ）解：∵sin α=5
2，α为第二象限角，
∴tan α=
25
15
2
cos sin -=-
=α
α……………………………………………（11分）
∴tan β=tan(α+β－α)=
1)
2(31)2(3tan )tan(1tan )tan(-=-⨯+--=
⋅++-+α
βααβα …（14分）
16. ○1此时当且仅当B A =，有韦达定理可得5=a 和6192
=-a 同时成立，即5=a ；
○
2由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，故只可能3A ∈。

此时01032
=--a a
，也即5=a 或2=a ，由①可得2=a 。

○3此时只可能2A ∈，有01522
=--a a ，也即5=a 或3-=a ，由①可得3-=a 。

17.（本题满分16分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问4分，第（Ⅲ）问8分）
（Ⅰ）解： ∴1=a ……………………………………………………………… （4分） （Ⅱ）解： ∴5>a ………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）解： ∴)(1x f 在(－1,a)为减函数…………………………………………（16分） 另解：当a>5时，f(x)在定义域上为减函数 由a-x
1+x
>0，a>5 得f(x)定义域为(-1,a)
令 -1<x 1<x 2<a ，
a-x 11+x 1 - a-x 21+x 2 =(a-x 1)(1+x 2)-(a-x 2)(1+x 1)(1+x 1)(1+x 2)
=)
1)(1()
)(1(2112x x x x a ++-+ ∵x 2>x 1 ∴x 2-x 1>0
又∵ -1<x 1<x 2 ∴(1+x 1)(1+x 2)>0 ∴a-x 11+x 1 >a-x 2
1+x 2 >0
∴lg a-x 11+x 1 >lg a-x 2
1+x 2
∴f(x 1)>f(x 2)
∴f(x)在(-1,a)上为单调减函数
18. （本题满分14分，第（Ⅰ）问10分，第（Ⅱ）问4分） (Ⅰ)解： ∵ m →=（ 3 sin ωx,0） n →
=(cos ωx ，-sin ωx)
∴f(x)= m →(m →+n →
)+t = 3 sin(2ωx-π3 )+32
+t ………………………………………（4分）
∵函数f(x)对称中心到对称轴最小距离为π4 ∴f(x)周期为 T=4×π
4
=π=ω
π22 ∴ω=1 ∴f(x)= 3 sin(2x-
π3 )+3
2 +t ∵0≤x ≤π
3 ∴0≤2x ≤2π3 ∴- π3 ≤2x-π3 ≤π3
∴-
32 ≤sin(2x-π3 )≤32 - 32 ≤ 3 sin(2x- π3 )≤3
2
∴f(x)最大值为32 +32 +t=32 ∴t=- 3
2
∴f(x)= 3 sin(2x-
π
3
)……………………………………………（10分） (Ⅱ) ∴f(x)的单调递增区间为 [k π- π12 , k π+5π
12 ] (k ∈Z ) ……（14分）
19．（本题满分16分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问10分） (Ⅰ)解：若某顾客购买1800元的商品实际付款为
1690%)101(500%)201()15001800(1000=-⨯+-⨯-+元……（6分）
(Ⅱ)当1000≤x 时，应付款1000元………………………………………（8分）
当1000<x ≤1500时，应付款x x 9.0100%)101()1000(1000+=-⨯-+……（11分） 当1500>x 时，应付款x x 8.0250%)201()1500(%)101(5001000+=-⨯-+-⨯+
∴y=⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<+≤1500,8.025*********,9.01001000
,1000x x x x x ………………………………………………（16分）
20．（本题满分18分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分，第（Ⅲ）问6分）
(Ⅰ)解：当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2
),2(2),2(x x x x x x ……………………（1分）
由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）…（4分）
(Ⅱ)当1<a 时，12
,4
)2
()()(2
2
<-
-
=-=a a
a x a x x x f
∴a f x f -==1)1()(min ……………………………………………………（6分） 当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f ……………………（8分） 当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f ……（10分）
（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f ……………（12分）
∴
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01
,1)(min
a a a a a a a x f (Ⅲ)⎩
⎨⎧<-≥-=a x x a x a
x a x x x f ),(),()(
①当0>a 时，图象如右图所示 由
⎪⎩
⎪⎨
⎧-==
)(42
a x x y a y 得
2
)12(a x +=
∴2
0a m <
≤，
a
n a 2
12+≤
<…………………（15分）②当0<a 时，图象如右图所示
由⎪⎩
⎪⎨
⎧
-=-
=)(42
x a x y a
y
得
a
x 2
)
21(+
=
∴a
m a <≤+
2
2
1，
02
≤<n a ………………（18分）。