2015年山东卷(理科数学)含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(山东卷)
本试卷分第I卷和第口卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,
将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第口卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤^ 参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的
(1)已知集合A=(X|X2-4X+3<0} , B={X|2<X<4},贝U A fl B=【C】
(A)(1 , 3) (B) (1 , 4) (C) (2, 3) (D) (2, 4)
(2)若复数Z满足—i ,其中i为虚数单位，则Z=【A
绝密★启用前
(A) 1-i (B)1+i (C)-1-i (D)-1+i
(3)要得到函数y=sin (4x ----- )的图像，只需要将函数
3
y=sin4x的图像【C】
(A)向左平移——个单位
12 (B)向右平移——个单位
12
已知菱形ABCD 的边长为a, Z ABC=60,则
3
3： n 3
3 n (A)- -a
(B)- -a (。

一亲 (D) -a
2
4
4
7
(5)
不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是 【A 】 (A) (-E , 4)
(B) (-S , 1)
(C) (1, 4)
(D) (1, 5)
r
X - V > 0
v + y < 2
(6) 已知x,y 满足约束条件 ，若z=ax+y 的最大值为4,贝U a=【B 】
(A) 3
(B) 2
(C) -2
(D) -3
、, ___________ 一 . n
一 一 ..... ... 一 … ~ ,，，一
(7) 在梯形 ABCD 中，/ ABC==, AD//BC , BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直
线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
【C 】
2TC
4TC
S TC
(A (B
)：
©
；(D
)次
(8)
已知某批零件的长度误差(单位：毫米)
服从正态分布
N (0, 32
),从中随机取一件，其
长度误差落在区间(3,6)内的概率为 【B 】 (附：若随机变量E 服从正态分布
N U, b2),则PQ - b <E 林+ b) =68.26% , P -2
b <E 耻 +2b) =95.44%.)
(A) 4.56%
(B) 13.59%
(C) 27.18%
(D) 31.74%
(9) 一条光线从点(-2, -3)射出，经y 轴反射后与圆(K -
- (y- 2)1
= 1相切，贝U 反
射光线所在直线的斜率为
【D 】
(A ) — — - (B)—「或一 Z (C) -j 或-N (D)--或—j
(10)设函数f(x)=「M m L ,则满足f(f(a))=2筑奶的a 的取值范围是 【C 】
(C) 向左平移 —个单位 3 (D) 向右平移一个单位
3
【D 】
(A) &1] (B) [0,1]
(C) [；.+ac) (D) [1, +8)
第口卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)观察下列各式：
C10=40
Cf+CJ=4l I
cn-cj + cs-Vi
c? + c; + c? + CJ = P
f
照此规律，当n N时,
C2n-1 + C2n-1 + C22n-1 +•••+ C n"2n-1 4n1
(12)若“x [0, —] , tanx m”是真命题，贝U实数m的最
4
小值为1
11
(13)执行右边的程序框图，输出的T的值为6 .
(14)已知函数f(x) a x b(a 0,a 1)的定义域和值域都
3
是1,0 ，则a b 2 .
2 2
(15)平面直角坐标系xOy中，双曲线G: % % 1
a b
(a>0,b>0 )的渐近线与抛物线G： X2=2py(p>0)交于O,若^ OAB的垂心为G 的焦点，贝U C I的离
天道酬勤3
心率为2
.
三、解答题：本答题共6小题，共75分。

(16)(本小题满分12分)
设f (x) =sin xcosx cos2(x+—).
4 (I)求f (x)的单调区间;
(n)在锐角△ ABC中, 角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f A
—)=0,a=1,求^ ABC面积的最大2
值。

由题意f(x)
1sin2x
2
1 cos(2x 2) 1sin2x
1
2
1 . c
—
sin2x
可得
sin2x
1
2
2k 2x 2k
2k 2x
由2
3
2
2k
得
4
所以f(x)
的单调递增区间是
] ( k Z)
……l、n [ k
43
4 k Z)
l+ A 1
0 sin A
.f ( ) sin A
(II) 2 2
天道酬勤
2 .3
ABC
面积最大值为 4
(17)(本小题满分12分)
如图，在三棱台 DEF-ABg,
AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点。

(I)求证：BC//平面FGH
(C)若 CFL 平面 ABC ABL BC, CF=DE, Z BAC=450 ,求平面 FGHf 平
面ACF 所成的角(锐角)的大小.
(I )证法一：
连接DG, CD,设CD GF O ,连接OH 在三棱台
DEF ABC
中， AB 2DE ,
G
为AC
的中点
可得 DF//GC, DF GC 所以四边形
DFCG
为平行四边形，
则O 为CD 的中点，
由题意A 是锐角，所以 cosA 圣
2
由余弦定理：
a
2
c 2bc cos A
可得1 , 3bc
b 2
c 2
2bc
bc 2 . 3
，且当
b c
时成立
bcsin A
2 .
3 4
天道酬勤又H为BC的中点，
所以OH〃B D,
又OH平面FGH BD平面FGH ,
所以BD〃平面FGH
证法二：
在三棱台DEF ABC中，
由BC 2EF,H为BC的中点，
可得BH//EF,BH EF,
所以四边形BHFE为平行四边形，
可得BE//HF ,
在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点,
所以GH//AB,
又GH HF H,所以平面FGH//平面ABED ,
因为BD 平面ABED ,
所以BD〃平面FGH。

(II)解法一：
设AB 2,则CF1,
在三棱台DEF ABC中，
G为AC的中点,
1 DF - AC GC
由2
,
可得四边形DGCF为平行四边形,
因此DG//FC
FC 平面ABC ,
所以DG 平面ABC 在
ABC
中，由AB
BC , BAC 45 , G
是AC
中点
所以 AB BC, GB GC
因此 GB,GC,GD
两两垂直,
以G
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
G xyz
,
所以
G(0,0,0), B(、2,0,0), C(0,、2,0), D(0,0,1)
可得
H 号《,
0）
，
F （。

,、. 2,
0）
GH (* ,0),GF(^, .
2,0)
2
2
设
n （
x ，y ，z ）是平面FGH
的一个法向量，则
n?GH 0 由 n?GF I
可得平面
FGH
的一个法向量
n （1,
”、幻
因为昂是平面ACFD 的一个法向量
，浇（还，0,0
）
cos
：
GB,n
所以平面 FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60
解法二: 作HM
AC
与点M,作
MN GF
与点N,连接NH
平面ABC ，得HM FC
2 1 2,2
2
GB?n |GB|?|n|
D
A
H
B
又FC AC C
所以HM平面ACF D ,
因此GF NH ,
所以MNH 即为所求的角，
- 1 2
MH //BG,MH - BG ——
在BGC 中， 2 2 , 由GNM ~ GCF ,
MN GM
可得F C G F,
MN —
从而6
,
由HM平面ACFD , MN平面ACFD , 得HM MN
tan MNH ^^ . 3
因此MN
,
所以MNH 60 ,
所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60
(18)(本小题满分12分)
设数列｛4 ｝的前n项和为S n .已知2S n =3。

+3.
(I)求｛a n｝的通项公式；
(II)若数列｛b n｝满足a n b n=log 32，求｛b n｝的前n项和T n.
解：⑴因为2$ 3n3,
所以
a i
3
,
1
时, 2S n 1
3n 1
此时
2a n 2S n 2S n
3n
3n1
，
即
a n
3n2
所以
(II)因为
所以
T n
所以
a n
a n
b n
b i
T n
所以 经检验,
时
,
b
〔
综上可得
3,n 1 3n 2,n
log 3
2
b n 3n b i
所以
3
,
2
log 2
3n
(n
-.1
1)?3
1
3
；
b n
(1
(n 1)
32 n
) 1 (1 3
:
得
2 (30 3
3 2 1 32n
3 1 3 2
13 6n 3
6 n
2 3
b 2 b 3 3T n 两式相减, 1
(n 1)
2T n
3 2 31
6n 3 (n 1)
32 n )
32n 33n ) 13 12
也适合,
T n
13 6n 3
12 4 3n
(19)(本小题满分12分)
若n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字, 则称n 为“三位递增数”(如 137,359,567等). 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数”中随机抽取1个数, 且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除, 参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得 1分；若能被10整除，得1分.
(I)
写出所有个位数字是 5的“三位递增数”
；
(II) 若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望
解：(I)个位数是5的“三位递增数”有
125, 135, 145, 235, 245, 345;
..............
C 3
(II)由题意知，全部“三位递增数”的个数为
9
随机变量X 是取值为：0, -1,1,因此
所以X 的分布列为
2 1 11 0—(1) 1 -
3 1
4 42
(20)(本小题满分13分)
平面直角坐标系 切T 中，已知椭圆。

：京十* =〔3 > 的离心率为亍，左、 右焦点分别是写、
耳.以耳为圆心以3为半径的圆与以耳为圆心以1为半径的圆相交,
EX .
84 P(X 0)
C C 3 3
,
P(X
1)
14
P(X 1) 1
上 2 四
14 3 42
EX
则
4 21
且交点在椭圆《上.
(I )求椭圆C 1
的方程;
(n)设椭圆= 1狎为椭圆C ■上任意一点，过点P 的直线
4a 钻^
的值;
(II )求△占5'。

面积的最大值
3 2 2 ,a
可得
所以椭圆C
的方程为
2
X 0
2 .
y 。

1
因为
4
(ii)设 A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)
y = kx 交椭圆E 于孔8两点，射线
交椭圆E 于点却.
解：(I)由题意知2a
4,
2
,
b 2
(II)由(I)知椭圆E 的方程为
2
X
16
|OQ |
Pg y 。

)」
|OP 1
，由题意知
Q( X 0, y °)
2 2
(X 。

)
( y 。

) 又16
4
2
,X 0
(—
4 4
y 2) i
所以
|OQ|
2
，即 |°p
|
天道酬勤
将
y kx m
代入椭圆E 的方程,
2\16k 2
4
m 2 |m | 1 4k 2
2、(16k 2 4
2 2
m )m
1 4k 2
2
2
m m 2 ) 2
4k 1 4k
2
m
t
2
令1 4k 将
y kx m
代入椭圆％方程，
(1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 4 0
由 0
,可得m
2
1 4k
2
由①(W 知
0 t 1
,
可得(1 4k 2)x 2 8kmx 4m 2
16 0
由 0,可得m
2
4 16k 2
2 一
8 km
4m 16
x i X
2
2
,X 1X
2
厂
|x
〔 x 2 |
4.16k 2
4 m 2
因为直线
y kx m
与y
轴交点的坐标为
（0,m ）
所以
S OAB
的面积
1 ,,, ， 4
天道酬勤
因此S 2 (4 t)t 2 t
2
4t,
故S 2.'3,
天道酬勤
当且仅当t 1时，即m
2
1 4
k
2
时取得最大值2招，
由⑴知，ABQ
面积为3S,
所以ABQ
面积的最大值为
6
龙.
(21)(本小题满分14分)
2
设函数f (x)= In(x +1)+ (x -x)，其中R。

(i)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；
(n)若>0, f ( ) 0成立，求的取值范围。

解：(I)由题意知函数f(x)的定义域为(1,),
1)当a 0时，
g(x) 1
f (x) 0 ,函数f(x)在(1, )单调递增，无极值点;
8
a
①当9
时，
0,
设方程2ax
2
ax a 1 0
的两根为x1,x2(x1对,
1
f (x)
厂a(2x
1)
2ax2 ax a 1
x 1
令g(x) 2ax2ax a 1, x (1, ),
此时
f (x) 0 ,函数f (x)在(1)单调递增，无极值点;
(2)当a 0时, 2 一一一
a 8a(1 a) a(9a 8)
0 ①当8
9
时,
0 g(x) 0
1
x1 x2- 因为2 ,
1 1 X i , X2
所以4
4,
1 X i -
由g( 11 1
0,可得4,
所以当x (危1)时，g (x
)
'f(
x
)。

，函数
f(x 1
单调递增;
当x (XU?)时，g(x), 0'f(
x) 0,函数f(x)单调递减；
当x(x2 )时，g(x)o, f (x) o,函数f(x)
单调递增;
因此函数有两个极值点。

由g( 1) 1
0,可得x1 1,
当x (以)时，g(x) 0, f (x) o,函数f(x
)单调递增；
当x(X2 )时，g(x) 0,f (x) 0,函数f(x)
单调递减;
所以函数有一个极值点。

综上所述：
当a。

时，函数f (x)
有一个极值点；
8
9
时，函数f (X
)无极值点;
8 a - ，，、
当9
时，函数
(x)
有两个极值点。

(II)由(I)知，
(3)当a。

时, °,
0 a
(1)当8
9
时，函数
f (x)
在
(0,)上单调递增,
因为
f(0) 0,
所以x (0,)
时，
f(x) 0,符合题意;
(2)当 9
a 1
时，由 g(0)。

，得X
2
所以函数 f(x)在(0,
)上单调递增，
又 f
(。

)°,所以 x (。

，)时，f
(x)
(3)当 a 1
时，由
g(0) 0
,可得
X
2
,
所以
x (0
,
X 2)
时，函数
f
(X) 单调递减;
因为
f (0
) o,
所以x
(0，x
2)时，f(x) 0,不合题意;
(4)当 a 0 时，设 h(x) x ln(x 1),
所以
h(x)
在(0
,
)上单调递增。

因此 当 x (0,
)时，h(x) h(0) 0,
即
ln( x
1) x
可得
f(x) x
a(x 2
x) ax 2
(1 a)x
x 当
1【
a
时，
2
ax (1 a)x 0 此时
f
(x)
不合题意，
综上所述，a
的取值范围是[0,
1]
因为
x (0
,
h(x) 1
)时，
符合题意;。