转动惯量

转动惯量
在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。

对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

转动惯量的表达式为
若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成
(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。

)[2]
转动惯量的量纲为
，在SI单位制中，它的单位是。

此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。

2张量定义
刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。

惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.
设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量
定义为[1]
该积分遍及整个刚体A，其中，
，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式
是两个矢量的并乘；而
为单位张量，标架
是一个典型的单位正交曲线标架；
是刚体的密度。

转动惯量张量的力矩方程
设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为
，刚体A在惯性系下的角速度矢量为
，角加速度矢量为
，A绕其质心的转动惯量张量为
，则有如下的力矩方程：
将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影（或者，更确切地说，与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘），就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。

转动惯量张量
是一个二张量，虽然在标架
下它有九个分量，但是因为它是一个对称张量，故其实际独立的分量只有六个。

[3]
3平行轴定理
平行轴定理：设刚体质量为
，绕通过质心转轴的转动惯量为
，将此轴朝任何方向平行移动一个距离
，则绕新轴的转动惯量
为：
这个定理称为平行轴定理。

[2]
一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。

也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

4垂直轴定理
垂直轴定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

垂直轴定理
表达式:
式中Ix,Iy,Iz分别代表刚体对x,y,z三轴的转动惯量.
对于非平面薄板状的刚体,亦有如下垂直轴定理成立[4]:
利用垂直轴定理可对一些刚体对一特定轴的转动惯量进行较简便的计算.
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为
，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

5伸展定则
伸展定则阐明，如果将一个物体的任何一点，平行地沿着一支直轴作任意大小的位移，则此物体对此轴的转动惯量不变。

我们可以想像，将一个物体，平行于直轴地，往两端拉开。

在物体伸展的同时，保持物体任何一点离直轴的垂直距离不变，则伸展定则阐明此物体对此轴的转动惯量不变。

6动力学公式
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。

下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。

[2]
角加速度与合外力矩的关系：
式中M为合外力矩，β为角加速度。

可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。

角动量：
刚体的定轴转动动能：
注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。

只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v只代表刚体的质心运动情况。

由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。

7实验测定
测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。

三线摆是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是物理图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。

这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义。

实验原理
三线摆是在上圆盘的圆周上，沿等边三角形的顶点对称地连接在下面的一个较大的均匀圆盘边缘的正三角形顶点上。

三线摆
当上、下圆盘水平三线等长时，将上圆盘绕竖直的中心轴线O1O转动一个小角度，借助悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴O1O作扭转摆动。

同时，下圆盘的质心O将沿着转动轴升降，H是上、下圆盘中心的垂直距离；h是下圆盘在振动时上升的高度；r是上圆盘的半径；R是下圆盘的半径；α是扭转角。

实验内容
1.测定仪器常数。

恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。

自拟实验步骤，确保三线摆的上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。

2.测量下圆盘的转动惯量，并计算其不确定度。

转动三线摆上方的小圆盘，使其绕自身轴转一角度α，借助线的张力使下圆盘作扭摆运动，而避免产生左右晃动。

自己拟定测的方法，使周期的测量不确定度小于其它测量量的不确定度。

利用式，求出，并推导出不确定度传递公式，计算的不确定度。

3.测量圆环的转动惯量
在下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量系统的转动惯量。

测量圆环的质量和内、外直径。

利用式求出圆环的转动惯量。

并与理论值进行比较，求出相对误差。

4.验证平行轴定理
将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱重叠起来放在下圆盘上，注意使质心与下圆盘的质心重合。

测量转动轴通过圆柱质心时，系统的转动惯量。

然后将两圆柱对称地置于下圆盘中心的两侧。

测量此时系统的转动惯量。

测量圆柱质心到中心转轴的距离计算，并与测量值比较。

8计算公式
对于细杆
当回转轴过杆的中点并垂直于杆时
；
其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时
；
其中m是杆的质量，L是杆的长度。

对于圆柱体
转动惯量
当回转轴是圆柱体轴线时
；
其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

对于细圆环
当回转轴通过中心与环面垂直时，
；
当回转轴通过边缘与环面垂直时，
；
R为其半径。

对于薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时，
；
当回转轴通过边缘与盘面垂直时，
；
R为其半径。

对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时，
；
R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳
当回转轴为中心轴时，
；
当回转轴为球壳的切线时，
；
R为球壳半径。

对于实心球体
当回转轴为球体的中心轴时，
；
当回转轴为球体的切线时，
；
R为球体半径。

对于立方体
当回转轴为其中心轴时，
；
当回转轴为其棱边时，
；
当回转轴为其体对角线时，
；[1]
L为立方体边长。

[4]
对于长方体
当回转轴为其中心轴时，
已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。

计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？
分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.
根据在0.1秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度
β=△ω/△t=500转/分/0.1s
电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=m(r^2)/2。

所以M=Jβ
=m(r^2)/2△ω/△t
=ρπr^2h(r^2)/2△ω/△t
=7.8×10^3 ×3.14× 0.04^2×0.5×0.04^2÷2 ×500×2π÷60÷0.1
=8.203145
单位M=kgm^2/s^2=N*m
兰亭序
永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。

群贤毕至，少长咸集。

此地有崇山峻岭，茂林修竹；又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。

虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。

是日也，天朗气清，惠风和畅，仰观宇宙之大，俯察品类之盛，所以游目骋怀，足以极视听之娱，信可乐也。

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，晤言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。

虽取舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。

及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。

向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。

况修短随化，终期于尽。

古人云：
“死生亦大矣。

”岂不痛哉！
每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。

固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。

后之视今，亦犹今之视昔。

悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。

后之览者，亦将有感于斯文。