2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-23题含详解

专题2020分类汇编-23题
专题一相似三角形之等量代换
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB 的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．
（1）求证：∠D＝∠CEF；
（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．
2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AB•AD＝DF•BC；
（2）如果AE∥BC，求证：BD DF DC FE
．
3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．
5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．
（1）求证：AC BD AB AD
；
（2）求证：AC2＝2AE•AD．
7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC
上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD AD
DE DC
=，联结CE．求证：
（1）∠ECD＝2∠BAM；
（2）BF是DF和EF的比例中项．
8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，∠ABE＝∠C．
（1）求证：BE2＝DE•BC；
（2）当BE平分∠ABC时，求证：BD AE BE AB
=．
专题二相似三角形之面积比【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB 的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．
（1）求证：AD•DE＝AB•BF；
（2）联结AC，如果CF AC
DE CD
=，求证：
2
2
AC AF
BC BF
=．
2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC·
(1)求证：DO CO OB OA
=；
(2)设ΔOAB的面积为S，CD
AB=k，求证：S四边形ABCD=(k+1)2S.
专题三相似三角形综合题【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．
（1）求证：BD2＝DE•AD；
（2）如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．
2．（2019秋•闵行区期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE 于点G．
求证：（1）CE⊥AB；
（2）AF•DE＝AG•BC．
3．（2019秋•崇明区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过
点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；
（2）AF•BD＝AC•DF．
4．（2019秋•松江区期末）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．
5．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．
（1）求证：FH•AC＝HG•AB；
（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．
专题2020分类汇编-23题
专题一相似三角形之等量代换
【历年真题】
1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB
的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．
（1）求证：∠D＝∠CEF；
（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论；
（2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比例即可．
【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即CE CF DE CE
=
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，∴△CDE∽△CEF，
∴∠D＝∠CEF．
（2）如图所示：
∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，
∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴CG CE AC CB
=，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE，
∴CG AE
AC CB
=，即AC•AE＝CB•CG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．
2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AB•AD＝DF•BC；
（2）如果AE∥BC，求证：BD DF DC FE
=
．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，由已知∠ADE＝∠B，证明△ABC∽△FDA，得出AB BC DF AD
=，
即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质得出∠CDF＝∠BAD，由平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，证出∠BAD＝
∠E，证明△ABD∽△EDA，得出BD AD
AD AE
=，证出∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥
AE于N，则FM＝FN，求出
ADF DF
=
AEF
AD
EF AE
=
△的面积
△的面积
，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，∴△ABC∽△FDA，∴AB BC DF AD
=，
∴AB•AD＝DF•BC；
（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠CDF＝∠BAD，∵AE∥BC，∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，
∴∠BAD＝∠E，
又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BD AD AD AE
=，
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，
作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，
∵
1
ADF DF2
=1
AEF
2
AD FM AD
EF AE
AE FN
⨯
==
⨯
△的面积
△的面积
，
∴BD DF DC FE
=．
方法二：
∵∠B＝∠ADE，∠BAD＝∠CDF＝∠E，∴△ABD∽△EDA，∴AD BD AE AD
=，
∵DA＝DC，∴BD AD CD
CD AE AE
==①，
又∵AE∥BC，∴△DFC∽△EFA，
∴CD DF
AE FE
=②，
由①②得：BD DF DC FE
=．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，
AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；
（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF
=，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，
∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，
∴△BDC ∽△GCE ，∴
BD GC GC DC CE CF
==，∴CD •CG ＝FC •BD ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，点
E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点
F ，OD 2＝OB •OE ．
（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；
（2）如果BC ＝BD ，AE •AF ＝AD •BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的判定与性质；梯形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；梯形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出△AOD ∽△COB ，得出OA OD OC OB =，证出OA OE OC OD
=，得出AF ∥CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，得出
BE BF BD BC =，证出∠AEB ＝∠ADC ．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF ＝CD ，得出AE AD BE DC
=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OD 2＝OE •OB ，∴OE OD OD OB
=，∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴OA OD OC OB =∴OA OE OC OD
=∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形；
（2）证明：∵AF ∥CD ，
∴∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，∴
BE BF BD BC =，∵BC ＝BD ，
∴BE ＝BF ，∠BDC ＝∠BCD ，∴∠AED ＝∠BCD ．
∵∠AEB ＝180°﹣∠AED ，∠ADC ＝180°﹣∠BCD ，∴∠AEB ＝∠ADC ．
∵AE •AF ＝AD •BF ，∴AE AD BF AF
=，∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF ＝CD ，∴AE AD BE DC =，
∴△ABE∽△ADC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．
5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与
AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD ＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
（2）由相似三角形的性质可得CA CD
CB CG
=，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得
DG CG
AB CB
=，由平行
线分线段成比例可得AE AG
CB GC
=，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴AF EF
FG AF
=，且∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
∴CA CD
CB CG
=，且∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴
DG CG
AB CB
=，
∵AE∥BC，∴AE AG
CB GC
=∴
AG GC
AE BC
=，
∴DG AG
AB AE
=，∴DG•AE＝AB•AG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，
点E在边AD上，CE＝CD．
（1）求证：AC BD AB AD
=；
（2）求证：AC2＝2AE•AD．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CD＝CE得到∠CED＝∠EDC，则可根据等角的补角相等得到∠AEC＝∠ADB，加上∠DAC＝∠B，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ACE∽△BAD．
（2）由∠DAC＝∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，
∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B，∴△ACE∽△BAD；∴AC CE AB AD
=，
∵BD＝CD＝CE，∴AC BD AB AD
=；
（2）∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，∴AC CB
CD CA
=，∴AC2＝CD•CB，
∵△ACE∽△BAD，∴AE CE
BD AD
=，∴AE•AD＝BD•CE，
∴2AE•AD＝2BD•CE＝BC•CD，
∴AC2＝2AE•AD．
7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC
上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD AD
DE DC
=，联结CE．求证：
（1）∠ECD＝2∠BAM；
（2）BF是DF和EF的比例中项．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；
（2）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DF CF
CF EF
=，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，
∵BD AD
DE DC
=，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，
∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；
（2）如图，连接CF，
∵AB＝AC，AM为BC边的中线，
∴AM是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，
∵△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF，
由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，
∴△DCF∽△CEF，
∴DF CF
CF EF
=，且BF＝CF，
∴BF2＝DF•EF，
∴BF是DF和EF的比例中项．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△DCF∽△CEF 是本题的关键．
8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE
∥BC，∠ABE＝∠C．（1）求证：BE2＝DE•BC；
（2）当BE平分∠ABC时，求证：BD AE BE AB
=．
【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】（1）证明△BDE∽△CEB，推出DE BE
BE BC
=可得结论．
（2）利用相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴∠BED＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠C，∴△BDE∽△CEB，∴DE BE BE BC
=，
∴BE2＝DE•BC．
（2）∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C．又∠ABE＝∠C，∴∠AED＝∠ABE，
又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴AE AD AB AE
=，
∵DE∥BC，∴AD AE
BD CE
=，即
AD BE
AE CE
=，∴
AE BD
AB CE
=，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠C，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝CE，
∴BD AE BE AB
=．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
专题二相似三角形之面积比
【历年真题】
1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB
的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．
（1）求证：AD •DE ＝AB •BF ；
（2）联结AC ，如果CF AC DE CD
=，求证：22AC AF BC BF =
．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题．
（2）由△ACF ∽△CDE ，△CDE ∽△CBF ，推出△ACF ∽△CBF ，可得2
ACF 2
CBF S AC S BC =△△，又△ACF 与△CBF 等高，推出ACF CBF S AF S BF =△△
，可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，
∴∠CDE ＝∠DAB ，∠CBF ＝∠DAB ，∴∠CDE ＝∠CBF ，
∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，∴∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴BC CD BF DE
=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，CD ＝AB ，∴
AD AB BF DE =，∴AD •DE ＝AB •BF ．
（2）连接AC ．∵CF AC DE CD =，∴CF DE AC CD
=，设1CF DE AC CD k
==，∴AC ＝kCF ，CD ＝kDE ，∴AF
＝•CF ，CE
＝•DE ，∴AF CF AC CE DE CD
==，∴△ACF ∽△CDE ，又∵△CDE ∽△CBF ，∴△ACF ∽△CBF ，∴2
ACF 2CBF S AC S BC
=△△，∵△ACF 与△CBF 等高，∴ACF CBF S AF S BF
=△△，∴22AC AF BC BF =．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，S △AOD =S △BOC ·(1)求证：DO CO OB OA
=；(2)设ΔOAB 的面积为S，
CD AB =k，求证：S 四边形ABCD =(k+1)2S.【考点】相似三角形的判定与性质，等线段替换法
【专题】图形的相似；推理能力.
【分析】(1)由S △AOD =S △BOC 易得S △ADB =S △ACB ，根据三角形面积公式得到点D 和点C 到AB 的距离相等，则CD//AB，于是
可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；
(2)利用相似三角形的性质可得结论.
【解答】证明：(1)S △AOD =S △BOC ，
∴S △AOD +S △AOB =S △BOC +S △AOB ，即=S △ACB ∴CD//A B,∴△DOC ∽△BOA ，
DO CO OB OA =(2)∵△DOC ∽△BOA ∴CD DO CO k AB BO AO ===，22
COD AOB S DO k S BO
==△△（∴DO=kOB ，CO=kAO ，S △ACB =k 2S ，
∴S △AOD =kS △AOD =kS ，S △co B =kS △o AB =kS ，
∴S 四边形ABCD =S+kS+kS+k 2S=(k+1)2S.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,证明△DOC ∽△BOA 是本题的关键。

专题三
相似三角形综合题
【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边BC 的中点，
联结AD ．过点C 作CE ⊥AD 于点E ，联结BE ．
（1）求证：BD 2＝DE •AD ；
（2）如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；应用意识．
【分析】（1）证明△CDE∽△ADC推出CD DE
AD CD
=，可得CD2＝DE•DA即可解决问题．
（2）利用相似三角形的性质首先证明AC＝BE，再证明△ACE∽△CDE，可得AC EC
CD DE
=，可得
BE EC
BD DE
=即可解
决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC∴CD DE
AD CD
=，∴CD2＝DE•DA，
∵DB＝CD，∴BD2＝DE•DA．（2）解：如图2中，
∵BD2＝DE•DA，∴BD DA DE BD
=，
∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DEB＝∠ABC，
∵∠ABD＝∠ECD，∴∠BED＝∠BCE，
∵∠EBD＝∠CBE，∴△EBD∽△CBE，∴BE EC BD DE
=，
∴BD•CE＝BE•DE．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（2019秋•闵行区期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联
结CE交BD于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE
于点G．
求证：（1）CE⊥AB；
（2）AF•DE＝AG•BC．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由已知得出AD AB
OD OC
=，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可
得出结论；
（2）证明△ADB∽△AEC，得出AD AB
AE AC
=，即
AD AE
AB AC
=，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出
AG DE
AF BC
=，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴AD AB OD OC
=，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，
∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，
又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；
（2）在△ADB和△AEC中，
∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，
∴△ADB∽△AEC，
∴AD AB
AE AC
=，即
AD AE
AB AC
=，
在△DAE和△BAC中
∵∠DAE＝∠BAC，AD AE AB AC
=．
∴△DAE∽△BAC，
∵AF是∠BAC的平分线，∴AG DE
AF BC
=，即AF•DE＝AG•BC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2019秋•崇明区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；
（2）AF•BD＝AC•DF．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）证明△AOF∽△COD，得到AO OC
OF OD
=，得到△AOC∽△FOD，根据相似三角形的性质得到∠ACF＝∠EDF，
证明△BFD∽△CFA，根据相似三角形的性质证明结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴∠DBE+∠DEB＝90°，∠DBE+∠BDF＝90°，∴∠BED＝∠BDF，∴∠AEF＝∠CDF，
∵AE•DF＝EF•CD，∴AE EF
CD DF
=，又∠AEF＝∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，∴∠EAF＝∠DCF；（2）∵△AEF∽△CDF，∴∠EFA＝∠DFC，∴∠AFO＝∠EFD＝90°，
∵∠DFB＝90°，∴∠BFD＝∠AFC，
∵∠EAF＝∠DCF，∠AOF＝∠COD，∴△AOF∽△COD，∴AO OF OC OD
=，
∴AO OC
OF OD
=，又∠ACF＝∠EDF，∴△AOC∽△FOD，
∴∠ACF＝∠EDF，
∵∠DBE+∠BED＝∠FDE+∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠EDF，∴∠ACF＝∠DBE，又∠BFD＝∠AFO，∴△BFD∽△CFA，
∴AF AC
DF BD
=，即AF•BD＝AC•DF．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（2019秋•松江区期末）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且
DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CD CE
AC CB
=，由CD2＝CF•CA，可得
CF CE
CD CB
=，可证EF∥BD；
（2）通过证明△BAD∽△DBE，可得BA BD
BD DE
=，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥AB，∴CD CE AC CB
=，
∵CD2＝CF•CA．∴CD CF
AC CD
=，∴
CF CE
CD CB
=，
∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC•CF＝BC•CE，∴AC CE
BC CF
=，且∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，
∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，
∴△BAD∽△DBE，∴BA BD BD DE
=
∴BD2＝BA•DE
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，
AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．
（1）求证：FH•AC＝HG•AB；
（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据已知条件可得△BGD∽△BCA，△CEF∽△CAB，进而可得∠HFG＝∠B，∠HGF＝∠C，可推出△HGF∽△ACB，即可得结论；
（2）连接DE，可证明DE∥BC且DE＝FG，可得四边形DEGF是平行四边形，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝3AD，BF＝FG＝CG，∴
2
3
BD BG
AB BC
==，∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BCA，∴∠C＝∠DGB，
同理可得：∠B＝∠EFC，∴△FGH∽△BCA，
∴FH HG
AB AC
=，∴FH•AC＝HG•AB；
（2）如图所示：
连接DF、EG、DE，
∵
1
3
AD AE
AB AC
==，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴
1
3
DE
BC=，
∴DE＝FG，DE∥BC，
∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF∥EG，∴∠DFE＝∠GEF，∴∠FHG＝∠HDF+∠DFH＝∠HDF+∠GEF，
∵△FGH∽△BCA，∴∠BAC＝∠FHG，
∴∠BAC＝∠FDG+∠GEF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法并熟练运用．。