高中数学《幂函数》导学案

2.3 幂函数
教学目标：
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x ，y ＝x 1
2 的图象，掌握它们的性质
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：
1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质
2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质
教学过程；
预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念
一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y ＝x －
4
5是幂函数．( )(2)函数y ＝2－
x 是幂函数．( )
(3)函数y ＝－x 1
2 是幂函数．( )
(1)√ 函数y ＝x －
45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；
(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；
(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 1
2 不是幂函数．
知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫
12的值等于________．
答案 1
3
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1
2
四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－1
2分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；
②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B
(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1
2，∴α＝2，β＝－1，
∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －
1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：
①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内
的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 1
2 或y ＝x 3)来判断．
【训练2】 如图是函数y ＝x m n
(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )
A ．m ，n 是奇数，且m
n <1
B ．m 是偶数，n 是奇数，且m
n >1
C ．m 是偶数，n 是奇数，且m
n <1
D ．m 是奇数，n 是偶数，且m
n >1
答案 C
典例迁移
题型三 利用幂函数的性质比较大小
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭
⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>1
3
，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－3
5
，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3
”，则二者的大小关系如何？
解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3
＝30.3，而y ＝x 0.3
在(0，＋∞)上是单调递增的， 又2
5
<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3
与0.32
5 ”，则二者的大小关系如何？
解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25
，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫252
5 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且2
5
>0.3，所以⎝⎛⎭
⎫2525 >0.32
5 ，所以
⎝⎛⎭
⎫250.3>0.32
5 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法
【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5
；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫123
4 与⎝⎛⎭⎫341
2
.
解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35
，
∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.
(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x
是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫123
4 ＜⎝⎛⎭⎫121
2 . y ＝x 1
2是[0，＋∞)上的增函数，
∴⎝⎛⎭⎫341
2 ＞⎝⎛⎭⎫121
2 .∴⎝⎛⎭⎫341
2 ＞⎝⎛⎭
⎫123
4 .
课堂达标
1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭
⎫4，1
2，则f (2)＝( ) A ．1
4
B ．4
C ．
2
2
D ． 2
答案 C
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A ．y ＝x 13
B ．y ＝x －
1
2
C ．y ＝x 53
D ．y ＝x 2
3
答案 D
3．设a ∈⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的
所有a 的值是( )
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－
1,1,3
答案 A
4．函数y ＝x 1
3 的图象是( )
答案 B
5．比较下列各组数的大小：
(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭
⎫－π6－
2
3 .
解 (1)－8－
78 ＝－⎝⎛⎭
⎫1878 ，函数y ＝x 7
8 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19
，则
⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭
⎫197
8 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －2
3 ＝⎝⎛⎭⎫23－2
3 ＝⎝⎛⎭⎫46－2
3 ，⎝⎛⎭⎫－π6－2
3 ＝⎝⎛⎭⎫π6－2
3 .因为函数y ＝x －2
3 在(0，＋∞)上为减函数，
又46>π
6，所以⎝⎛⎭⎫－23－2
3 <⎝⎛⎭⎫－π6－2
3 .
7．已知幂函数y ＝x 3m －
9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)
－
m 5
<(5－2a )
－m
5
的a 的取值范围．
能力提升
8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )
A ．－1＜n ＜0＜m ＜1
B ．n ＜－1,0＜m ＜1
C ．－1＜n ＜0，m ＞1
D ．n ＜－1，m ＞1
答案 B
9．如图，函数y ＝x 2
3
的图象是( )
答案 D
10．已知幂函数f (x )＝x 1
2 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．
答案 (3,5]
11．已知a ＝x α，b ＝x a
2 ，c ＝x 1a
，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系
是________．
答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x
－2m 2－m ＋3
，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．
13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3
的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。