二次函数的图像和性质PPT课件

问题：
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
开县德阳中学
教师
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向
；
（3解）（判1断）点把（（-1，-2-，4）-8是）否代在入此抛y=物a线x2上,得； -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）对称轴：y轴，顶点坐标：（0,0），开口向下.
（3）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。
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1. 二次函数的图像都是什么图形？ 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
8
y=x2
7
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
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请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x2ห้องสมุดไป่ตู้
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大. 在对称轴的右侧, y随着x的
增大而减小.
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探究
例3.在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2 、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点?
相同点
相同点：开口都向下，顶 点是原点而且是抛物线的 最高点，对称轴是 y 轴.
(3) 连线
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图
像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
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从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
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对称轴、顶点、最低点、最高点
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x² (3) y=x²+6 (4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条_直__线__ ，
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢 ？
从最简单的二 次函数开始！
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是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线y . 这样的曲线叫做抛物线.
y
o
x
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y=－x2的图像叫做抛物线y=－
实际上,x二2. 次函数的图像 o
x
都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像
不同点
不同点：|a|越大，抛物 线的开口越小．
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
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1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称y轴轴 ,顶点(0是,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点(是0,0) ;
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
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22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
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画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … (2) 描点y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
(3) 连线
y
10
9
根据表中x,y的数值在
1函数y2x的图象的开口对称轴顶点是的图象的开口对称轴顶点是向上向下00003已知抛物线yax求此抛物线的函数解析式2写出这个二次函数图象的对称轴顶点坐标及开口方向
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二次函数的图像和性质
衡水市景县连镇王克义
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创设情境，导入新课
y
a>0
o
x
a<0
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结束寄语 下课了!
•生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
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y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y随着x的
增大而增大.
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上
无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小，
最小值是0.
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抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，