专题08 动态几何类压轴题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题08 动态几何类压轴题
一、单选题
1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（ ）
A ．一直减小
B ．一直增大
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
【答案】C
【分析】 设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出h ，并运用相似三角形的性质求出AD ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，
5AB ∴===，
设PD x =，则1205
x ≤≤，AB 边上的高为h ，125AC BC h AB ==， //PD BC ， ADP ACB ∆∆∽∴， ∴PD AD BC AC
=， 43AD x ∴=，53PA x = 221415122242333(4)2()23235353210
△△APD CBE S S x x x x x x ∴+=+-=-+=-+， ()22233323()()32103210
276△△△四边形ABC APD CBE DPEC S x S x S S ∴+-----+=-==， ∵203
-<，
∴
3
2
x
≤<时，
DPEC
S
四边形
随x的增大而增大，
312
25
x
<≤时，
DPEC
S
四边形
随x的增大而减小，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．
2．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）
A．5.5B．6C．7.5D．8
【答案】C
【分析】
以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．
【详解】
如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，
∴∠ABC=60°，BC=3，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵△BCF是等边三角形，
∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，
∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，
∴△BCE≌△FCD(SAS)，
∴ BE= DF，
∴DF ⊥AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，
如图，此时作FD AB '⊥，
∵FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥，
∴ 1 1.52
BD BF '==， ∴7.5AD AB BD '=+='，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、解答题
3．如图，在等腰直角三角形△ABC ，∠ABC=90°，AB=6，P 是射线AB 上一个动点，连接CP ，以CP 为斜边构造等腰直角△CDP （C 、D 、P 按逆时针方向），M 为CP 的中点，连接AD ，MB ．
（1）当点P 在线段AB 上运动时，求证：△CDA ∽CMB ；
（2）设AP x =，△ADP 的面积为y ．
①当012x <<时，求y 关于x 的函数表达式；
②记D 关于直线AC 的对称点为D ，若D 在△APC 的内部，求y 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①2134
y x x =-
+；②189y << 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得BCM ACD ∠=∠，
CB CM CA CD =，即可证明结论； （2）①分类讨论，当06x <≤时，或当612x <<时，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP ，并且用x 表示出长度，即可求出函数表达式；
②当点D 在APC △内部时，06x <<，过点P 作PN AC ⊥于点N ，利用面积法表示出PN 的长，得到x 的范围，即可求出y 的范围．
【详解】
解：（1）∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，
∴45ACB DCP ∠=∠=︒，
∴ACB ACP DCP ACP ∠-∠=∠-∠，即BCM ACD ∠=∠，
∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，
∴
CB CA ==，CP CD = ∵M 是CP 的中点， ∴12
CM CP =
，
∴21CM CD ==， ∴CB CM CA CD =， ∴CDA CMB ；
（2）①∵M 是CP 中点， ∴12
BM MC PC ==，
若06x <≤，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，
∵AP x =，
∴6PB x =-，
∴PC = ∵DC DA MC MB
=，
∴2DC DA DP PC ===
= ∵DE AB ⊥，
∴12
AE EP x ==，
∴162DE x ==
=-， ∴21111632224
ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭； 若612x <<，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，
6BP x =-，PC =
DC DA DP ====
12
AE EP x ==，
162DE x ==
=-， ∴21111632224
ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭， 综上：2134
y x x =-+； ②当点D 在APC △内部时，06x <<，点P 越往右，点D 离AC 越近，当点D 在PC 上时，过点P 作PN AC ⊥于点N ，
∴DCA ACP PCB ∠=∠=∠，
∴CP 为ACB ∠的角平分线，
∴PN PB =，
∵1131822
ABC APC BPC S S S AC PN BC PB PN =+=⋅+⋅=+=，
∴6PN PB ==，
∴12AP AB PB =-=-，
当126x -<<时，点D 在APC △内部，
则根据2134
y x x =-
+，求出189y <<． 【点睛】
本题考查相似三角形的综合题，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定，二次函数的几何运用，利用分类讨论的思想进行求解．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴，交直线AB 于点Q ，连接BP ，设点P 的横坐标为m ，△PQB 的边PQ 与PQ 边上的高之差为d ．
（1）求此抛物线解析式.
（2）求点Q 的横坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）∠BQP 为锐角.
①求d 关于m 的函数关系式；
②当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时，直接写出m 的值．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）22m m -；（3）①d m =-；②m =
【分析】 （1）由直线解析式求解出A 、B 的坐标，再代入抛物线解析式求解即可；
（2）由于PQ 垂直于y 轴，则P 、Q 的纵坐标相等，因此求出P 的纵坐标，再代入直线解析式求解Q 的横坐标即可；
（3）①根据题中对d 的定义，分别求出PQ ，以及PQ 边上的高，再作差即可；
②根据△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时建立关于m 的一元二次方程求解，并注意运用条件判断合适的值即可．
【详解】
（1）由直线3y x =-+可知，A(3，0)，B(0，3)，
将A(3，0)，B(0，3)代入2
y x bx c =-++得： 9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；
（2）由题可知，P 、Q 的纵坐标相等，
∵P 的横坐标为m ，且P 是抛物线上任意一点，
∴P 的纵坐标为223y m m =-++，
∴Q 的纵坐标为223y m m =-++，
又∵Q 在直线上，
∴将2
23y m m =-++代入3y x =-+得： 2233m m x -++=-+，解得：22x m m =-，
∴Q 的横坐标为22m m -；
（3）①由题意，()
B P d PQ y y =--，
由（2）可知： 2232Q P m P m m m m Q x x =-==---，
()222332B P y m m m y m -+=+--=- ∴()
B P d PQ y y m =--=-，
∴d m =-；
②由题可知：△AOB 为等腰直角三角形，其顶点为O ，
则O 到PQ 的距离为223m m -++，
当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时， 223m m m -++=-，
解得：32
m =， ∵∠BQP 为锐角，
∴32
m -=． 【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合运用，理解二次函数的性质，仔细分析题中表达的数量关系是解题关键．
5．已知一次函数4y x =+的图象与二次函数()2y ax x =-的图象相交于()1,A b -和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC x ⊥轴，与二次函数()2y ax x =-的图象交于点C ．
（1）求a 、b 的值；
（2）如图1，M 为APC ∠内一点，且1PM =，E ，F 分别为边PA 和PC 上两个动点，求MEF 周长的最小值；
（3）若PAC △是直角三角形，求点C 的坐标．
【答案】（1）3b =，1a =；（2（3）()2,0C 或()3,3．
【分析】
∠1∠∠A∠∠∠∠∠∠b∠∠∠∠∠A∠∠∠∠∠∠∠a∠∠∠
(2)∠∠∠M∠∠∠∠AB∠PC ∠∠∠∠,M M '''∠∠∠∠ ,,M M PM PM ''''''∠∠∠MEF∠∠∠∠∠∠∠∠ M M '''
∠∠∠∠∠∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒∠∠∠ M M =
=''='
∠3∠∠∠PAC=90°∠∠ACP=90°∠∠∠∠∠∠∠
【详解】
解：∠1∠∠A 在直线y=x+4∠∠
∠b=-1+4=3∠
∠A∠∠∠∠∠-1∠3∠∠
∠A∠∠∠∠∠y=ax(x -2)∠∠
∠3=-a(-1-2)∠∠3=3a∠∠a=1∠
∠3b =∠ 1a =∠
∠2∠∠∠∠∠∠∠M ∠∠∠∠AB ∠PC ∠∠∠∠'M ∠''M ∠∠∠∠'''M M ∠'PM ∠''PM ∠
∠MEF ∠∠∠∠∠∠∠'''M M ∠∠∠
∠∠∠∠∠∠∠∠PM PM PM M PA APM MPC CPM ==∠=∠∠=∠''''''，，∠
∠290M PM APC ∠=∠'=''︒,
∠
'''M M ===∠
∠3∠∠(),4P m m +∠∠()
2,2C m m m -∠ ∠∠∠PAC=90°∠∠222AP AC PC +=∠()()()()22222221123
34m m m m m m ++++--=--∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠2m =∠
∠()2,0C ∠
∠∠ACP=90°∠∠222AC PC AP +=∠()()()()2222
22123
3421m m m m m m ++--+--=+∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠3m =∠4m =∠∠∠∠∠
∠()3,3C ∠
∠∠()2,0C ∠()3,3∠
【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理的应用是解题关键．
6．如图所示，直线AB 交x 轴于点(),0A a ，交y 轴于点()0,B b ，且a 、b ()240a -=． （1）如图1，若C 的坐标为()1,0-，且AH BC ⊥于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点Р的坐标； （2）如图2，连接OH ，求证45OHP ∠=︒；
（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN DM ⊥交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子BDM ADN S S -△△的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）P 的坐标为()0,1-；（2）见解析；（3）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4
【分析】
（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值，从而可得到OA=OB ，然后再∠COB=∠POA=90°，∠OAP=∠OBC ，
最后，依据ASA 可证明∠OAP ≌△OBC ，得出OP=OC ，从而得出点P 的坐标；
（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，利用AAS 证明∠COM ≌△PON ，得出OM=ON ，再根据角平分线得到判定即可得出HO 平分∠CHA ，从而求出∠OHP ；
（3）连接OD ，易证∠ODM ≌△ADN ，从而有S △ODM =S △ADN ，由此可得S △BDM -S △ADN =S △BDM -S △ODM =S △BOD =12
S △AOB ． 【详解】
解：（1
()2
40a -=
∴a+b=0，a -4=0，
∴a=4，b=-4，
则OA=OB=4．
∵AH ⊥BC ，则∠AHC=90°，∠COB=90°，
∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠HAC=∠OBC ．
在∠OAP 和∠OBC 中， 90COB POA OA OB OAP OBC ︒
⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△OAP ≌△OBC （AAS ）；
∴OP=OC
∵C 的坐标为()1,0-，∴OC=1
∴OP=1
∴P 的坐标为()0,1-
（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点．
在四边形OMHN 中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP ．
在∠COM 和∠PON 中，
90COM PON OMC ONP OC OP ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴△COM ≌△PON （AAS ），
∴OM=ON ．
∵OM ⊥CB ，ON ⊥HA ，
∴HO 平分∠CHA ，
1452
︒∴∠=∠=OHP CHA （2）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4．
理由如下：如图：连接OD ．
∵∠AOB=90°，OA=OB ，D 为AB 的中点，
∴OD ⊥AB ，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD
∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，
∴∠DAN=135°=∠MOD ．
∵MD ⊥ND 即∠MDN=90°，
∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA ．
在∠ODM 和∠ADN 中，
,MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ODM ≌△ADN （ASA ），
∴S △ODM =S △ADN ， ∴12S ∆∆∆∆∆∆-=-==
BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S ∴111144422S 22
∆∆-=
⨯⋅=⨯⨯⨯=BDM ADN S AO BO 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
7．如图，已知等边ABC 的边长为16，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B '．
（1）如图1，当8PB =时，若点B '恰好在AC 边上，则AB '的长度为_________；
（2）如图2，当10PB =时，若直线//l AC ，则BB '的长度为_______；
（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，ACB '△的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当12PB =时，在直线l 变化过程中，求ACB '△面积的最大值．
【答案】（1）8或0；（2）（3）面积不变，（4）最大为96+
【分析】
（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB′交PE 于O ．证明△PEB 是等边三角形，求出OB 即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC 即可．
（4）如图4中，当B′P ⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC 于E ，求出B′E 即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵ABC 是等边三角形，
∴60A ∠=︒，16AB BC CA ===，
∵8PB =，
∵8PB PB PA ==='，
∵60A ∠=︒，
∴APB '是等边三角形，
∴8AB AP '==．
当直线l 经过C 时，点B '与A 重合，此时0AB '=，
故答案为8或0．
（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB '交PE 于O ．
∵//PE AC ，
∴60BPE A ∠=∠=︒，60BEP C ∠=∠=︒，
∴PEB △是等边三角形，
∵10PB =，且由于折叠，
∴B ，B '关于PE 对称，
∴BB PE '⊥，2BB OB '=，
∴OP=12
PB=5，
∴OB =，
∴BB '=
故答案为
（3）如图3中，结论：面积不变．
连接BB ′，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，
∵B ，B '关于直线l 对称，
∴BB '⊥直线l ，
∵直线l AC ⊥，
∴//AC BB '，
∴ACB ACB S S '=△△，
∵BC=AB=AC=16，
∴BF=8，
∴=，
∴1162
ACB ACB S S '==⨯⨯= （4）如图4中，∵点B 和B′关于经过点P 的直线对称，
∴B′到点P 的距离与点B 到点P 的距离相等，
当B P AC '⊥时，ACB '△的面积最大，
设直线PB '交AC 于E ，
在Rt APE 中，∵4PA =，60PAE ∠=︒，
∴AE=2，
∴PE ==
∵BP=B′P=12，
∴12EB EP B P '=++'=
∴(11612962ACB S '=
⨯⨯+=+△ 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
8．已知抛物线2122
y x x =-与x 轴交于点O 、A 两点，顶点为B ．
（1）直接写出：A 点坐标________ ，B 点坐标_______ ，△ABO 的形状是_______；
（2）如图，直线y x m =+(m<0)交抛物线于E 、F(E 在F 右边)，交对称轴于M ，交y 轴于N ．若EM -FN=MN ，
求m 的值；
（3）在(2)的条件下，y 轴上有一动点P ，当∠EPF 最大时，请直接写出此时P 点坐标___________
【答案】（1）（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）52m =-
；（3）（052-） 【分析】
（1）令2122
y x x =-中y=0，求出A 的坐标，由22112(2)242y x x x =--+=，求出顶点B 坐标，利用勾股定理的逆定理判定△ABO 是等腰直角三角形；
（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）
交x 轴于D ，先求出∠OND=45°，利用锐角三角函数可得FN=
sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，
EN=sin 45EG ︒，联立解析式求出点E 、F 的横坐标，最后根据已知等式即可列出方程，求出m ； （3）作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，利用圆周角定理和三角形外角的性质先证此时∠EPF 最大，然后确定点P 的坐标，设点P 的坐标为（0，p ），用含p 的式子表示出DP 和DF ，列出方程即可求出结论．
【详解】
解：（1）令2122y x x =-中y=0，得21202
x x -=， 解得x=0或x=4，
∴A （4，0）； ∵22112(2)222
y x x x =-=--， ∴顶点B 坐标为（2，-2）；
连接AB 、OB ，
∴22416OA ==，()()22224820AB =-+-=-，()()22
220820OB =-+-=-，
∴222OA AB OB =+，AB=OB ，
∴△ABO 是等腰直角三角形，
故答案为：（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；
（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D
将x=0代入y x m =+中，解得y=m ；将y=0代入y x m =+中，解得x=-m
∴点N 的坐标为（0，m ），点D 的坐标为（-m ，0）
∴ON=OD
∴△OND 为等腰直角三角形
∴∠OND=45°
∴FN=sin 45HF ︒
，MN=sin 45CM ︒
，EN=sin 45EG ︒
， ∴EM=EN －
)EG CM - ∵抛物线2122
y x x =
-的对称轴为直线x=2 ∴CM=2 联立2122y x x y x m
⎧=-⎪⎨⎪=+⎩
消去y ，解得：x 1
=3x 2
=3+∴点F
的横坐标为3-E
的横坐标为3+∴
HF=3-
EG=3+∴
3，
MN=
)321+=
∵EM -FN=MN ，
1+
3-
=解得：52
m =-
， 经检验，52m =-是原方程的解； （3）如下图所示，作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，先证此时∠EPF 最大，在y 轴上任取一点P '，连接EP FP ''、，FP '与圆D 交于点C
∴∠EPF=∠ECF
∵∠ECF是△EP C'的外角
∠
∴∠ECF＞EP C'
∴∠EPF＞EP F'
∠
即此时∠EPF最大，
然后确定点P的坐标，设点P的坐标为（0，p），
如下图所示，连接DP、DF，作EF的中垂线ST，交EF于S，交y轴于T，过点S作SK⊥y轴于K
由（2）知52
m =- ∴点E 的坐标为（5，52），点F 的坐标为（1，32
-） ∴点S 的坐标为（3，
12）， ∴OK=12
，SK=3 由（2）知：∠SNO=45°，
∵∠TSN=90°
∴∠STK=45°
∴△TSK 、△TDP 为等腰直角三角形
∴TK=SK=3，TP=DP
∴TP=TK ＋OK －OP=
72p - ∴DP=72
p -， ∴点D 的坐标为（72
p -，p ）
∴∵DP=DF
∴72p -
解得：52-
或p=52
∵
∴ES=12
EF=SK ∴以EF 为直径的圆与y 轴相离
∴点P 必在以EF 为直径的圆的外边
∴△EPF 为锐角三角形
∴点D 在△EPF 内部，也必在S 的左上方
∴点D 的纵坐标大于0，即p ＞0
∴
52
∴点P 的坐标为（0
52）． 【点睛】
此题考查的是二次函数、一次函数和圆的综合大题，掌握二次函数图象及性质、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、圆周角定理、锐角三角函数是解题关键．
9．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．
（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；
（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；
（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．
【答案】（1）1tan 3DAB ∠=
；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）
-4
、8-
． 【分析】
（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；
（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =
即)
4444
x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．
【详解】
（1）过点D 作DH AB ⊥
于H ，
在Rt ACB 中，AD =
AB ∴==142ADB S
DB AC ∴=
⋅= 12ADB S AB DH =⋅
DH ∴=
AH ==
1tan 3
DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H
∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒
∴ACD EHD ． ∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH
=--． ∴()444
x EH x -=+ ．
∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==
∴)44
x EB x -==+
，AB =
∴)44
x AE x -=+ ∵EF AD ⊥，90C ∠=︒
∴AFG ADC ∠=∠ ．
∵EDB ADC ∠=∠
∴AFG EDB ∠=∠．
∵45FAE B ∠=∠=︒
∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =
即)
4444
x y x x --=-+． 整理得，()2402y x x =-+<≤；
（3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,
所以
MD=MB=(4).2
x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一
MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x
-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似:
①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.
如图，
如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得
44y x x x
-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.
解得-4 或--4 （舍去）, 如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得
4.4x x y x
-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.
解得8x =-8+
②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4
如图
如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x
-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=
解得或3
-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB,
44x x y x -=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+=
此方程无解.
综上，CD 的值为-4、8-． 【点睛】
本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．
10．如图，直线443
y x =-+和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是()2,0-．
（1）试说明ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，MON △的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；
②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在4S =的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当MON △为直角三角形时，求t 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①22
455S t t =-+（02t <<），22455
S t t =-（25t <≤）；②存在，(
t s =；③5s 或
25.8
s 【分析】 （1）先求解,B C 的坐标，再求解,BC AB 的长度，从而可证明结论；
（2）①过点N 作⊥ND x 轴于D ，则4sin 5
ND BN OBC t =⋅∠=，分两种情况讨论，当02t <<时，当25t <≤时，分别画出符合题意的图形，再利用三角形的面积公式得到函数解析式即可；②分两种情况讨论，把4S =分别代入②中的两个函数解析式，再解方程即可得到答案；③分三种情况讨论；90∠=︒NMO 或90NOM ∠=︒或90MNO ∠=︒，再利用图形的性质与锐角三角函数可得答案．
【详解】
解：（1）将0y =代入443
y x =-+，得3x =，
∴点B 的坐标为3,0；
将0x =代入443
y x =-+，得4y =， ∴点C 的坐标为()0,4．
在Rt OBC 中，∵4OC =，3OB =，
∴5BC ==．
又()2,0A -，
∴5AB =，
∴AB BC =，
∴ABC 是等腰三角形．
（2）∵5AB BC ==，故点M 、N 同时开始运动，同时停止运动．
过点N 作⊥ND x 轴于D ， 则4sin 5
ND BN OBC t =⋅∠=， ①当02t <<时（如图），2OM t =-，
∴12
S OM ND =⋅ ()14225
t t =-⋅ 22455
t t =-+． 当25t <≤时（如图），2OM t =-，
∴12
S OM ND =⋅ ()14225
t t =-⋅ 22455
t t =-． ②存在4S =的情形．
当02t <<时
∴ 224455
t t -+=， 22100,t t ∴-+=
()2
2411044036∴=--⨯⨯=-=-＜0，
所以方程无解；
当25t <≤时， ∴ 224455
t t -=．
解得11t =21t =（不合题意，舍去）．
15t =+<，
故当4S =时，(t =秒．
③当MN x ⊥轴时，MON △为直角三角形．
3cos 5
MB BN MBN t =⋅∠=， 又5MB t =-． ∴355t t =-， ∴258
t =． 当点M 、N 分别运动到点B 、C 时，
MON △为直角三角形，5t =．
当90MNO ∠=︒时，不合题意，舍去，
故MON △为直角三角形时，258
t =
秒或5t =秒． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，分类讨论的思想，掌握分类讨论思想解决问题是解题的关键．
11．如图，点O 在线段AB 上，OA =1，OB =3，以点O 为圆心、OA 为半径作∠O ，点M 在上运动．连接MB ，以MB 为腰作等腰Rt∠MBC ，使∠MBC =90°，M ，B ，C 三点按逆时针顺序排列．
（1）当点M 在AB 上时，sin∠ACB =________________；
（2）当BM 与∠O 相切时，求AM 的长；
（3）连接AC ，求AC 长的取值范围．
【答案】（1或2；（2）3
；（3）46AC ≤≤． 【分析】
（1）分当M 在AB 上和点M 和A 重合两种情况解答即可；
（2）先证明△BMD ∽△BAM,然后根据相似三角形的性质列式解答即可；
（3）如图：以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，有△BOM ≌△BPC （SAS ），PC=OM=1，则点C 在以点P 为圆心、1为半径的圆上，转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，然后求得AC 1和AC 2的长即可解答．
【详解】
（1）①如图：当M 在AB 上时
∵OA=OM=1
∴AB=AO+OB=4,BM=OB -OM=2
∵MB 为腰作等腰Rt∠MBC
∴BC=BM=2
=
∠sin∠ACB =
AB AC ==; ②如图：当M 和点A 重合时，AB=BC=4
∴==
∠sin∠ACB =
AB AC ==
综上，sin∠ACB 或2
； （2）如图：∵BM 与∠O 相切
∴∠BMO=90°
==
∠AB 是直径
∠∠AMD=90°
∠∠BMD+∠DMO=90°，∠AMO+∠DMO=90°，
∴∠BMD=∠AMO
∠OA=OM
∠∠OAM=∠AMO
∠∠OAM=∠BMD
∠∠MBA=∠MBD
∠△BMD ∽△BAM
∴DM MB AM AB ===
设AM=x ，则DM=2
x
2= ，解得x=3或x=-3（舍）；
（3）以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，
∴△BOM ≌△BPC （SAS ）
∴PC=OM=1
则点C 在以P 为圆心的M 上、1为半径的圆上，即求转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，
∴5=
作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，则A C 1=AP -P C 1=4, A C 2=AP+P C 2=6,
∴46AC ≤≤．
【点睛】
本题属于几何综合题，考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及锐角的三角函数，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
12．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P
作PF ⊥PB 交射线DA 于点F ，连接BF ．已知AD =CD=3，设CP 的长为x ．
（1）线段BP 的最小值为________，当1x =时，AF =____________．
（2）当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度． （3）若点P 在射线CA 上运动，点P 在运动的过程中，
①试探究∠FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP 的大小；若改变，请说明理由．
②若△AFP 是等腰三角形，直接写出x 的值．
【答案】（1）
2；（2；（3）①不发生变化，30； ②3或 【分析】
（1）当BP 最小时，即BP AC ⊥，根据相似三角形的性质，可求得BP 的值，当x=1时，可得到BPN PMF ，由此可得出tan FBP ∠的值，继而得到AF 的值；
（2）先证明BP 垂直平分AP ，得到PF =GH 是Rt FGP △的中线，即可得到GH 的长； （3）①过点P 作PN BC ⊥交AD 于点M ，可证明FMP PNB ，设,2
x PC x PN ==，可求得NC 、
MP 、BN 的长，tan =3
FP MP FBP BP BN ∠==，即可求得∠FBP 的大小； ②分三种情况讨论即:当FA=FP ，AP=AF ，PA=PB 时，分别根据等腰三角形的性质解题．
【详解】
（1）当BP 最小时，A 与F 重合，即BP AC ⊥， 33AD CD ==
6,30AC DAC ACB ∴=∠=∠=︒,
在Rt ABC 与Rt APB △中，BAC PAB ∠=∠
ABC
APB ∴ AB BP AC BC
∴=
3
6∴=
2
BP ∴= 作PM BC ⊥于N ，交AD 于M ，
当x=1时，1522PN MP CN BN ====，， 90BNP PMF BPF ∠=∠=∠=︒,
90,90FPM PFM FPM BPN ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，
PFM BPN ∴∠=∠，
BPN
PFM ∴，
3
MP FM BP BN NP FP ∴===，
MF ∴=
2663AF AM MF BN MF ∴=-=-=
-==，
故答案为：
2，3； （2）P 为AC 的中点，
3AP PC AB ∴===
60ABP APB BAP ∴∠=∠=∠=︒
在t R ABF 和t R PBF 中，AB=BP ，BF=BF
t R ABF ∴≅t R PBF
90AG PG AGB PGB ∴=∠=∠=︒，
BF ∴垂直平分AP ，
在t R BFP 中，303PBF BP ∠=︒=，
PF ∴=
取PF 的中点H ，连接GH ， H 为PF 中点，
GH ∴为Rt PGF △的中线，
12GH PF ∴==； （3）①不发生变化，30FBP ∠=︒，理由如下，
作PM BC ⊥于点N ，交AD 于M ，
,PBN FPM BPN PFM ∠=∠∠=∠，
FMP PNB ∴，
设,,,3,22x x CP x PN NC x MP BN x =∴===-=，
3
FP MP BP BN ∴== 30FBP ∴∠=︒；
②当FA FP =时，BA BP =，
ABP ∴为等边三角形,
3AP AB ∴==，
3x CP ∴==；
当PA PF =时，12090APF ∠=︒>︒不符合题意；
当AP=AD 时，75AFP APF ∠=∠=︒，
75CBP CPB ∴∠=∠=︒，
CP CB ∴==，即x =；
综上所述，当3x =或AFP 是等腰三角形． 【点睛】
本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识，是重要考点，灵活运用分类讨论思想是解题关键．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD
的值最大时点P 的坐标； （3）点F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P 的纵坐标为2时，过点P 作直线//PQ x 轴，点M 为直线PQ 上的一个动点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，在线段ON 上任取一点K ，当有且只有一个点K 满足135FKM ∠=︒时，请直接写出此时线段ON 的长．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）315,24⎛⎫
⎪⎝⎭
；（3）7+3+【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过P 作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则可构造出相似三角形，将PD OD 转换为PG OC
求解即可； （3）分两种情况讨论，连接FM ，以FM 为斜边，作等腰直角△FHM ，当以H 为圆心FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K ，此时有且只有一个点K 满足∠FKM=135°，设点H （x ，y ），由“AAS”可证△FHE ≌△HMQ ，可得HE=QM=y -3，HQ=EF=x -2，由勾股定理可求y 的值，可求点M 坐标，即可求解．
【详解】
（1）将()1,0A -、()3,0B 代入抛物线解析式得：
030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：12
a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；
（2）如图所示，作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则△DPG ∽△DOC ， ∴PD PG OD OC
=， 由题可知：()0,3C ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，
将()3,0B ，()0,3C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩
，
∴直线BC 的解析式为：3BC y x =-+，3OC =，
设P 的坐标为()
223m,m m -++，则G 的坐标为()3m,m -+， ∴23PG m m =-+， ∴223932433
m PD PG m m OD OC ⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭===， ∴当32m =时，PD OD 有最大值，将32m =代入抛物线解析式得：154y =， ∴点P 的坐标为31524⎛⎫
⎪⎝⎭，；
（3）①当M 在F 右侧时，如图所示，连接FM ，以FM 为斜边构造等腰直角△FHM ，当以H 为圆心，FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K 时，此时有且只有一个K 点满足∠FKM=135°，
此时，连接HK ，交PM 于点Q ，延长CF 交于HK 于E ，则HK ⊥x 轴，设H （x ，y ），
由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点F 与点C 关于抛物线的对称轴对称，
∴点F 的坐标为（2，3），CF ∥x 轴，
∴CF ∥PM ，
∴HK ⊥CF ，HK ⊥PM ，
∴∠FEH=∠HQM=90°，
∵∠FHE+∠MHE=90°，∠FHE+∠HFE=90°，
∴∠HFE=∠MHQ ，
又∵HF=HM ，
∴△HFE ≌△MHQ （AAS ），
∴HE=QM=y -3，HQ=FE=x -2，
而HQ=HK -QK=y -2，
∴y -2=x -2，即：x=y ，
∴FE=y -2，
∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，
∴()()22223y y y =-+-，
解得：5y =，5y =-（舍去）
∴532QM =-=，523FE =-=，
∴点M 的坐标为()
72,，
∴7ON =+；
②当M 在F 左侧时，如图所示，同①的过程，可证得△HFE ≌△MHQ ，
此时设H 的坐标为（x ，y ），
显然有，HE=QM=y -3，HQ=FE=2-x ，
而HQ=HK -QK=y -2，
∴y -2=2-x ，即：4-y=x ，
∴FE=y -2，
∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，
∴()()22223y y y =-+-，
同理解得：5y =，
∴532QM =-=，523FE =-=，
∴点M 的坐标为()
32,-，
∴3ON =+
综上，线段ON 的长为7+3+
【点睛】
本题考查二次函数综合问题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，圆的相关性质，以及相似三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点O 为对角线AC 的中点，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，点P 运动速度为每秒2个单位长度，点Q 运动速度为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动，连结PQ ，设点P 运动时间为t （t ＞0）秒．
（1）cos∠BAC= ．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．
【答案】（1）3
5
；（2）
18
13
t=秒；（3）
2
2
4345
12(0)
552
4345
12(5)
552
S t t t
S t t t
⎧
=-+<<
⎪⎪
⎨
⎪=-+-<≤
⎪⎩
；（4）当2
t=
或t=秒
时，线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点．【分析】
（1）利用勾股定理先求得AC的长，即可求解；
（2）在Rt△ABC中，利用余弦函数构建方程即可求解；
（3）过P作PE⊥AQ于点E，过O作OF⊥AQ于点F，分
5
2
t<<，
5
2
t=和
5
5
2
t<≤三种情况讨论，利
用三角形面积公式即可求解；
（4）分线段PQ的垂直平分线经过点C时，经过点A时，经过点B时，三种情况讨论，求得结论即可．【详解】
（1）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
10
=，
∴
63 cos
105
AB
BAC
AC
∠===；
故答案为：3
5
；
（2）当PQ⊥AC时，∵AP=2t，AQ=6t-，∴在Rt△ABC中，
∴23cos 65
AP t PAQ AQ t ∠===-， 解得：1813
t =
秒， 经检验，1813
t =是方程的解， ∴1813t =(秒)； （3）过P 作PE ⊥AQ 于点E ，过O 作OF ⊥AQ 于点F ，
在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，AC 10=， ∴4sin 5BC BAC AC ∠=
=，4sin 25PE PE PAE AP t ∠===，4sin 55OF OF OAF AO ∠===， ∴PE=85
t ，OF=4， ①当502
t <<时， ()()2POQ AOQ APQ 1184346461222555
t S S S t t t t =-=
-⨯--⨯=-+， 即24341255S t t =-+(502
t <<)； ②当52
t =时，POQ 不存在； ③当552t <≤时，
()()2POQ APQ AOQ 1814346641225255
t S S S t t t t =-=
-⨯--⨯=-+-， 即24341255S t t =-+-(552t <≤)；
综上，△QOP 的面积S 关于t 的函数表达式是22434512(0)552434512(5)552S t t t S t t t ⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩
； （4）①当线段PQ 的垂直平分线经过点C 时，
PC=QC=102t -，
在Rt △QBC 中，222
QB BC QC +=，
∴()2228102t t +=-，
解得：203
t -=(负值已舍)； ②当线段PQ 的垂直平分线经过点A 时，
AQ=AP ，即62t t -=，
解得：2t =；
③当线段PQ 的垂直平分线经过点B 时，
过P 作PG ⊥BC 于点G ，
3sin 5AB PG ACB AC PC ∠=
==，4cos 5
BC PG ACB AC GC ∠===， ∴PG=()36102655t t -=-，CG=()48102855t t -=-， BG= BC -CG=888855
t t ⎛
⎫--= ⎪⎝⎭， 在Rt △BPG 中，222BG PG BP +=， 即22
286655t t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 整理得：215721800t t -+=， ()2247241518056160b ac =-=--⨯⨯=-<，
方程无解，
∴线段PQ 的垂直平分线不会经过点B ，
综上，当2t =或203
t -=
秒时，线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 的某个顶点． 【点睛】
本题考查了矩形性质，解直角三角形，线段垂直平分线性质等知识，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
15．问题探究：如图，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接BE ．
（1）求证：△ADC ∽△BEC ．
（2）求证：∠DBE =90°．
拓展延伸：把问题探究中的“点D 为线段AB 上一动点”改为“点D 为直线AB 上一动点”，其他条件不变，若点M 为DE 的中点，连接BM ，且有AD =1，AB =4，请直接写出BM 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：BM ．
【分析】
（1）先证得∠ACD =∠BCE ，再利用tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE
=，即可证明结论； （2）由（1）的结论得∠CAD =∠CBE ，即可证明；
拓展延伸：分D 在线段AB 上和D 在BA 延长线上两种情况讨论，利用△ADC ∽△BEC 的 性质求得BE 的长，再利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD+∠BCD =∠BCE+∠BCD =90°，
∴∠ACD =∠BCE ，
∵∠CAB =∠CDE =60°，
∴tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE
=， ∴△ADC ∽△BEC ；
（2）由（1）得：∠CAD =∠CBE ，
∴∠CBE +∠CBA =∠CAD +∠CBA =90°，
∴∠DBE =90°；
拓展延伸：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，
∴AC=2，BC =
由（1）得：△ADC ∽△BEC ， ∴AC AD BC BE
=， ∵AD =1，
∴
由（2）得：∠DBE =90°，
∵点M 为DE 的中点，
∴BM=12
DE ； ①当D 在线段AB 上时，如图：
在Rt △BDE 中，BD=AB -AD=4-1=3，，
∴DE =
=
∴BM=12 ②当D 在BA 延长线上时，如图：
在Rt △BDE 中，BD=AB+AD=4+1=5，，
∴DE =
=
∴BM=12
综上，BM
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明△ADC ∽△BEC 是本题的关键．
16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，点D 为AB 上的点，且BD ＝34
AB ，如果点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向终点A 运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如（图一）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由．
（2）如（图二）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等（点P 不与点B 和点C 重合），连接点A 与点P ，连接点B 与点Q ，并且线段AP ，BQ 相交于点F ，求∠AFQ 的度数．
（3）若点Q 的运动速度为6cm /s ，当点Q 运动几秒后，可得到等边△CQP ？
【答案】（1）BPD CQP ≌，证明见解析；（2）60︒（3）
43
【分析】 （1）根据时间和速度求得BP 、CQ 的长，根据SAS 判定两个三角形全等．
（2）利用第（1）小题的方法可证得ABP BCQ ≌，BAP CBQ ∠=∠，根据三角形外角性质可得APB PAC C ∠=∠+∠，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得
18060BFP CBQ APB ∠=︒-∠-∠=︒，根据对顶角性质可得AFQ ∠的度数．
（3）设点Q 运动时间是x 秒，根据CP CQ =列一元一次方程，根据任意一角为60︒的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案．
【详解】
（1）BPD CQP ≌．
证明：点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，经过1s 后，
∠133BP =⨯=，
∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，
∠3CQ BP ==，
∠AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，BD ＝34
AB ， ∠ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=︒，31294
BD =⨯
=， ∠1239PC BC BP =-=-=，
在BDP △和CPQ 中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∠BPD CQP ≌（SAS ）．
（2）解：∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，
∠BP CQ =，
∠AB ＝BC ＝AC ，
∠ABC 是等边三角形，60BAC ABC C ∠=∠=∠=︒，
∠在ABP △和BCQ △中，
AB BC ABC C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∠ABP BCQ ≌，
∠BAP CBQ ∠=∠；
在BPF △中，180()BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠，
∵=CBQ APB CBQ CAP C ∠+∠∠+∠+∠，
∵=60CBQ CAP BAP CAP ∠+∠∠+∠=︒，60C ∠=°，
∴=6060=120CBQ APB ∠+∠︒+︒︒，
∴180()=180120=60BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠︒-︒︒，
∴=60AFQ BFP ∠∠=︒（对顶角相等）．
（3）解：设点Q 运动时间是x 秒，若CP CQ =，可列方程：
1236x x -=， 解得：43
x =． ∵在CQP 中，CP CQ =，=60C ∠︒， ∴当43
x =
秒时，CQP 是等边三角形（任意角是60︒的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q 运动43秒后，可得到等边CQP ． 【点睛】。