山东省临沂市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)

山东省临沂市2021年中考数学试卷
一、单选题（共14题；共28分）
1.−1
2
的相反数是( )
A. -2
B. 2
C. −1
2D. 1
2
2.2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55 000 000km，将数据55 000 000用科学记数法表示为（）
A. 5.5×106
B. 0.55×108
C. 5.5×107
D. 55×106
3.计算2a3·5a3的结果是（）
A. 10a6
B. 10a9
C. 7a3
D. 7a6
4.如图所示的几何体的主视图是（）
A. B. C. D.
5.如图，在AB//CD中，∠AEC=40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
6.方程x2−x=56的根是（）
A. x1=7，x2=8
B. x1=7，x2=−8
C. x1=−7，x2=8
D. x1=−7，x2=−8
7.不等式x−1
3
<x+1的解集在数轴上表示正确的是（）
A. B.
C.
D. 8.计算 (a −1b )÷(1a −b) 的结果是（ ）
A. −a b
B. a b
C. −b a
D. b a
9.如图，点 A ， B 都在格点上，若 B C=2√133 ，则 AC 的长为（ ）
A. √13
B. 4√133
C. 2√13
D. 3√13 10.现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（ ）
A. 1
2 B. 2
3 C. 3
4 D. 56 11.如图， PA 、 PB 分别与 ⊙O 相切于 A 、 B ， ∠P =70° ， C 为 ⊙O 上一点，则 ∠ACB 的度数为（ ）
A. 110°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
12.某工厂生产 A 、 B 两种型号的扫地机器人． B 型机器人比 A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫 100m 2 所用的时间 A 型机器人比 B 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设 A 型扫地机器人每小时清扫 x m 2 ，根据题意可列方程为（ ）
A. 1000.5x =
100x +23 B. 1000.5x +23=100x C. 100
x +23=1001.5x D. 100x =1001.5x +2
3 13.已知 a >b ，下列结论：① a 2>ab ；② a 2>b 2 ；③若 b <0 ，则 a +b <2b ；④若
b >0 ，则 1a <1b ，其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
14.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为
1mg所用的时间大约是（）
A. 4860年
B. 6480年
C. 8100年
D. 9720年
二、填空题（共5题；共5分）
15.分解因式：2a3﹣8a=________．
16.比较大小：2√6________5（选填“ >”、“ =”、“ <” ）．
17.某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是________．
18.在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是(−1,1)、(2,1)，将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是________．
19.数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是________（只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
三、解答题（共7题；共74分）
20.计算 |−√2|+(√2−12)2−(√2+12)2 ．
21.实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.69；0.73；0.74；0.80；0.81；0.98；0.93；0.81；0.89；0.69；0.74；0.99；0.98；0.78；0.80；0.89；0.83；0.89；0.94；0.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
（1）表格中：a ＝________ ，b ＝________，c ＝________，d ＝________；
（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由． 22.如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来，已知CM ＝3cm ，CO ＝5cm ，DO ＝3cm ，∠AOD ＝70°，汽车从A 处前行多少米才能发现C 处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23.已知函数y={3
x
(x≤−1)
3x(−1<x<1)
3
x
(x≥1)
（1）画出函数图象；
列表：
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设(x1,y1),(x2,y2)是函数图象上的点，若x1+x2=0，证明：y1+y2=0．24.如图，已知在⊙O中，AB
⌢＝BC⌢＝CD⌢，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
25.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
26.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】因为 (−12)+12=0 ，所以 −12 的相反数是 12 .
故答案为D
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
2.【答案】 C
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：55000000=5.5×107 ，
故答案为：C ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数，据此解答即可.
3.【答案】 A
【考点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解： 2a 3⋅5a 3=10a 6 ，
故答案为：A ．
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式,据此解答即可.
4.【答案】 B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示，
几何体主视图是：
故答案为：B ．
【分析】视图：从物体正面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.
5.【答案】 B
【考点】角的运算，平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB ∥CD ，
∴∠ABC=∠BCD ，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，
∴∠ABC=20°，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCD，由角平分线的定义得出∠BCE=∠BCD，利用等量代换可得∠BCE=∠ABC，由三角形外角的性质得出∠AEC=∠BCE+∠ABC，据此即得结论.
6.【答案】C
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2−x=56，
∴x2−x−56=0，
∴(x+7)(x−8)=0，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
7.【答案】B
【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式x−1
3
<x+1，
去分母得：x−1<3(x+1)，
去括号得：x−1<3x+3，
移项合并得：2x>−4，
系数化为得：x>−2，
表示在数轴上如图：
故答案为：B．
【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示，最后判断即可.
8.【答案】A
【考点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：(a−1
b )÷(1
a
−b)
= (ab
b −1
b
)÷(1
a
−ab
a
)
= ab−1
b ×a
1−ab
= −a
b
故答案为：A．
【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.
9.【答案】B
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知：
AB= √62+42= 2√13，
∵BC= 2√13
3
，
∴AC=AB-BC= 2√13−2√13
3= 4√13
3
，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB，由AC=AB-BC进行计算即可.
10.【答案】D
【考点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，
设未过期的两盒为A，B，过期的两盒为C，D，随机抽取2盒，
则结果可能为（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），
共6种情况，其中至少有一盒过期的有5种，
∴至少有一盒过期的概率是5
6
，
故答案为：D．
【分析】列举出共有6种等可能情况，其中至少有一盒过期的有5种，然后利用概率公式计算即可.
11.【答案】C
【考点】圆内接四边形的性质，切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据切线的性质得出∠OAP=∠OBP
=90°，利用四边形内角和可求出AOB=110°，根据圆周角定理得出∠ADB=1
2
∠AOB=55°，利用圆内接四边形的对角互补，可得∠ACB=180°-∠ADB，据此计算即可.
12.【答案】D
【考点】列分式方程
【解析】【解答】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，
由题意可得：100
x =100
1.5x
+2
3
，
故答案为：D．
【分析】设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据“ 清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”列出方程即可.
13.【答案】A
【考点】不等式及其性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，则
①当a=0时，a2=ab，故不符合题意；
②当a＜0，b＜0时，a2<b2，故不符合题意；
③若b<0，则b+b<a+b，即a+b>2b，故不符合题意；
④若b>0，则a>b>0，则1
a<1
b
，故符合题意；
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
14.【答案】C
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由图可知：
1620年时，镭质量缩减为原来的1
2
，
再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的1
4=1
22
，
再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的1
8=1
23
，
...，
∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的1
25=1
32
，
此时32×1
32
=1mg，
故答案为：C．
【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，即可求出结论.
二、填空题
15.【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
16.【答案】＜
【考点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵2√6=√24，5=√25，
而24＜25，
∴2√6＜5．
故答案为：＜．
【分析】由于2√6=√24，5=√25，根据被开方数大，算术平方根就大进行解答即可.
17.【答案】95.5
【考点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
3×85+2×90+5×95+10×100
=95.5，
3+2+5+10
故答案为：95.5．
【分析】利用加权平均数公式进行计算即可.
18.【答案】（4，-1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵对称中心是坐标原点，A（-1，1），B（2，1），
∴C（1，-1），
将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，
∴C1（4，-1），
故答案为：（4，-1）．
【分析】根据平行四边形的性质及对称中心是坐标原点，求出点C坐标，利用平移的性质将点Cx轴向右平移3个单位长度即得C1的坐标.
19.【答案】①
【考点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意；
②车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故不符合题意；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故不符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故不符合题意；
故答案为：①．
【分析】①根据两点确定一条直线进行判断即可；②由于车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人保持平稳，根据“同圆的半径相等”进行判断即可；③根据“菱形的四边相等”进行判断即可；
④根据“矩形的四个角是直角，可以密铺”进行判断即可.
三、解答题
20.【答案】 解： |−√2|+(√2−12)2−(√2+12)2
= √2+[(√2−12)+(√2+12)][(√2−12)−(√2+12)]
= √2−2√2
= −√2
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用绝对值的性质和平方差公式进行计算，然后合并即可.
21.【答案】 （1）5；3；0.82；0.89
（2）∵样本中收入不低于0.8万元的户数有5+4+2+3=14户，
∴今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数为 300×1420 =210户；
（3）∵样本中的中位数为0.82，梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，
0.83＞0.82，
∴梁飞家今年一季度人均收入能超过村里一半以上的家庭．
【考点】频数（率）分布表，分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：在0.95≤x ＜1.00中的数据有0.98，0.99，0.98三个，
∴b=3，
∴a=20-2-3-1-4-2-3=5，
从小到大排列，中位数是第10个和第11个数据的平均数，
即为 0.81+0.832 =0.82，
其中0.89出现的次数最多，出现了4次，
则众数为0.89，
故答案为：5，3，0.82，0.89；
（2）∵样本中收入不低于0.8万元的户数有5+4+2+3=14户，
∴今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数为 300×1420 =210户；
（3）∵样本中的中位数为0.82，梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，
0.83＞0.82，
∴梁飞家今年一季度人均收入能超过村里一半以上的家庭．
【分析】（1）根据所给的数据直接求出a 、b 的值；根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）利用样本中收入不低于0.8万元的百分比乘以300即得结论；
（3）由于样本中的中位数为0.82，梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，即得0.83＞0.82，据此判断即可.
22.【答案】解：∵CM=3，OC=5，
∴OM= √OC2−CM2=4，
∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴CM
BD =OM
OD
，即3
BD
=4
3
，
∴BD=9
4=
2.25，
∴tan∠AOD=tan70°= AD
DO
，
即AB+BD
DO =AB+2.25
3
≈2.75，
解得：AB=6，
∴汽车从A处前行6米才能发现C处的儿童．【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用勾股定理求出OM=4，证明△COM∽△BOD，可得CM
BD =OM
OD
，据此求出BD，由于
=AB+BD
DO
，据此求出AB的长.
23.【答案】（1）解：列表如下：
函数图像如图所示：
（2）根据图像可知：
当x=1时，函数有最大值3；当x=−1时，函数有最小值-3；
（3）∵(x1,y1),(x2,y2)是函数图象上的点，x1+x2=0，∴x1和x2互为相反数，
当−1<x1<1时，−1<x2<1，
∴y1=3x1，y2=3x2，
∴y1+y2=3x1+3x2=3(x1+x2)=0；
当x1≤−1时，x2≥1，
则y1+y2=3
x1+3
x2
=3(x1+x2)
x1x2
=0；
同理：当x1≥1时，x2≤−1，
y1+y2=3
x1+3
x2
=3(x1+x2)
x1x2
=0，
综上：y1+y2=0．
【考点】分段函数，通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值进行填表，然后描点、连线，即可画出图象；
（2）观察图象接口求出函数的最值；
（3）由于x1+x2=0，可得x1和x2互为相反数，分三种情况：①当−1<x1<1时，−1<
x2<1，②当x1≤−1时，x2≥1，③当x1≥1时，x2≤−1，分别证明y1+y2=0即可．
24.【答案】（1）解：连接BD，
∵AB⌢=BC⌢=CD⌢，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵BC⌢=CD⌢，
∴BC=CD，
∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，
∴△DEF ≌△BCF （ASA ），
∴DE=BC ，
∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，
∴四边形BCDE 是菱形．
【考点】菱形的判定，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1） 连接BD ， 根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠CBD ，利用内错角相等，两直线平行可证AD ∥BC ；
（2） 连接CD ，证明△DEF ≌△BCF （ASA ），可得DE=BC ，由DE ∥BC 可证四边形BCDE 是平行四边形， 由BC=CD ，即证四边形BCDE 是菱形．
25.【答案】 （1）解：由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为 s =at 2+bt ，一次函数表达式为 v =kt +c ，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则 {8=8k +c 16=c ，解得： {k =−1c =16 ，
∴一次函数表达式为 v =−t +16 ，
令v=9，则t=7，
∴当t=7时，速度为9m/s ，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则 {4a +2b =3016a +4b =56 ，解得： {a =−
12b =16 ，
∴二次函数表达式为 s =−12t 2
+16t ，
令t=7，则s= −492+16×7 =87.5，
∴当甲车减速至9m/s 时，它行驶的路程是87.5m ；
（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s ，
∴当10＜v ＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v ＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v=10m/s 时，两车之间距离最小，
将v=10代入 v =−t +16 中，得t=6，
将t=6代入 s =−12t 2+16t 中，得 s =78 ，
此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m ，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据图象信息，利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数解析式，令v=9，求出t=7，再将t值代入二次函数解析式中求出s即可；
（2）分析可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，然后代入计算即可.
26.【答案】（1）解：∵△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，
∴∠BAG=∠GAF= 1
2
BAF，B、F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF=90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH= 1
2
∠FAD，
∴∠EAH=∠GAF+∠FAH
= 1
2∠BAF+ 1
2
∠FAD
= 1
2
（∠BAF+∠FAD）
= 1
2
∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAH= 1
2
∠BAD=45°，
∴∠GHA=45°，
∴GA=GH；
（2）连接DH，DF，交AH于点N，
由（1）可知：AF=AD，∠FAH=∠DAH，∴AH⊥DF，FN=DN，
∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°，
又∵∠GHA=45°，
∴∠FHN=45°=∠NDH=∠DHN，
∴∠DHF=90°，
∴DH的长即为点D到直线BH的距离，
由（1）知：在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，∴AE=√32+12=√10，
∵∠BAE+∠AEB=∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠AEB=∠ABG，
∴△ABG∽△AEB，
∴AG
AB =BG
BE
=AB
AE
，
∴AG=AB2
AE =
√10
=9√10
10
，
BG=AB⋅BE
AE =
√10
=3√10
10
，
由（1）知：GF=BG，AG=GH，
∴GF=3√10
10，GH=9√10
10
，
∴DH=FH=GH-GF= 9√10
10−3√10
10
= 3√10
5
，
即点D到直线BH的长为3√10
5
；
（3）作正方形ABCD的外接圆，对角线BD为圆的直径，
∵∠BHD=90°，
∴H在圆周上，
∴∠BHC=∠BDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BDC=∠DBC=45°，
∴∠BHC=45°，
∴当点E在BC边上（除端点外）运动时，∠BHC的大小不变．
【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF= 1
2
BAF，B、F关于AE对称，根据角平分线的定义
及正方形的性质可得出∠EAH=1
2
∠BAD=45°，有等腰直角三角形的性质即得结论；
（2）连接DH，DF，交AH于点N，由（1）可知：AF=AD，∠FAH=∠DAH，从而求∠DHF=90°，
=BG
BE =AB
AE
，据此可求出AG、BG的长，
由于GF=BG，AG=GH，利用DH=FH=GH-GF求出DH的长即得结论；
（3）作正方形ABCD的外接圆，对角线BD为圆的直径，可得点H在圆周上，利用正方形的性质得出∠BDC=∠DBC=45°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠BHC=∠BDC=45°，据此即得结论.。