福建省福州市2017-2018学年高一下学期期末联考试题数学含答案

2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考
高中 一 年 数学 科试卷
命题学校： 长乐一中 命题者： 长乐一中集备组 考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知向量()1,2a =，(3,3)b =--， (),3c x =，若()
2//a b c +，则x =（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
2．
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6
B.3
C. 12
D. 9
3．，则sin 2α的值为（ ）
A
B
C ．
9
D ．
9
4．将函数15cos π2
6x y ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）
A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-
B ．1sin 2y x =
C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=- D ．1sin 2y x =- 51
352cos10cos80
-
=（ ） A ．2- B ．12
-
C ．1-
D ．1
6．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在
一条直线上，且4AC CB =-则( )
A. 1322c a b =
+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+
7．设向量a 与b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向
学校 班级 姓名 座号 准考号： .
---------密………封…………装…………订………线----------
上的投影为（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．1
D ． 1-
8．函数sin 21cos x
y x
=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+，
则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．
2
3
B ．
34
C ．
13
D ．
14
10．设sin
5
a π
=，cos
10
b π
=，5tan
12
c π
=，则（ ） A ．c b a >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
11. ()f x 在区间
ω的值为（ ） A ．2
B ．
38
C ．
103
D ．
23
12．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·
1AB AD =-，点M 在边CD 上，则·MA MB 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D 1
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 3
4π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ．
14则sin cos αα等于 ．
15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．
16．
③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·
4AD BC =； ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数，
时，()sin f x x =，其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---.
(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．
18．已知a ，b 是两个单位向量.
(1)若|32|3a b -=，求|3|a b +的值； (2)若a ，b 的夹角为3
π
，求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.
19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x . (1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4
g π
的值； (2)设α，[0,]2π
β∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求
(32)
2
g βπ+的值.
20．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，b ()
m x x +=2sin 3,cos ．
(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡6
π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．
21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，
该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；
(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．
22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛
⎫==-+ ⎪⎝
⎭，且//a b ，设函数()y f x =．
（1）若方程()0f x k -=在[,]2
x π
π∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值
范围,并求αβ+的值．
（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
的最大值为
λ的值． 2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考
高一数学参考答案
一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）
13. 7π
4
14.
2
5 15. 1213
- 16. ②③④
三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）
17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分
(3,1)AB OB OA -==，(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分
3(1
)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ………7分
3(2)(1)0m m ∴-+-=
…………………………9分
…………10分 18．解：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||1a b ==，又|32|3a b -=，
∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=，即1
3
a b =
. ………2分
∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯=. ………4分
（2）因为227
(2)(23)2||6||2
m n a b b a b a b a =+-=+-=
-
， ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯
=， ………8分
222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯= ………10分
则7
1cos 2||||7m n m n α-
=
==-⨯，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()3
6
g x x π
=-
， ………3分
则515(
)2sin()2sin 2434642
g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110
(3)2sin[(3)]2sin 232613
g π
ππααα+=+-==， 所以5sin 13α=
，[0,]2πα∈，则12cos 13
α=，………7分 又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4
sin()5
αβ+=， ………9分 所以
3124556
cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365
βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=
………11分 所以(32)1156
2sin[(32)]sin()cos 2236265
g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==
. ..…12分
20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22
++⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分
π22
π
6π2x π22πk k +≤+≤+-
π6
π
x π3πk k +≤≤+-
∴()Z k ∈ ……………6分 ∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π,3π2． …………7分
(2) 当∈x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡6
π,0时，()x f 单调递增
∴当6
π
=
x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分 当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分 由题设知()4<x f ，即()44<<-x f
∴⎩⎨
⎧->+<+4
24
3m m ， …………11分
解得：16<<-m . ……………………12分
21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分 又∵
34T =，212T πω==，∴6
πω= ………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6
y π
ϕ=-
+= ∴23
π
ϕ=
…………4分 ∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,06
3
y x x π
π
=+
∈- (2)
如图，OC =
1CD =，∴2OD =，6
COD π
∠=
，13
PMP π
∠=
……5分
解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1
11
2sin tan
3
PP MP MP π
θ=
=
，∴1
MP ==
……8分
（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）
（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，
sin120sin(60)
OP OM
θ=-
∴sin(60)2cos 2cos sin120OP OM θθθ⋅-=
==．） ……8分
2cos OM θ=-
……11分
当26
2
π
π
θ+
=
时，即6
π
θ=
． ……12分 22. 解：（1）()1
sin 262f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭ …………………1分
方程()0f x k -=在[
,]2
x π
π∈上恰有两个相异的实根
∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2
x π
π∈上恰有两个不同的交点
用五点法画出()1
sin 262
f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：1
0.2
k -
<≤ ……………………5分
αβ、关于直线56x π=
对称 ∴5.3
παβ=+ ……………………6分 （2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛
⎫=+-
⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛
⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2
22sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
……………………8分
5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛
⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分
①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛
⎫
-
= ⎪⎝⎭
时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
时，()g x 取得最大值2
21λ+， 由已知得2
3212λ+=
，解得1
2
λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
时，()g x 取得最大值41λ-，
由已知得
3
41
2
λ-=，解得
5
8
λ=，矛盾．……………12分
综上所述，
1
2λ=．。