2021年甘肃省武威六中高考数学二诊数学试卷(理科)

2021年甘肃省武威六中高考数学二诊数学试卷（理科）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={x|2x−x2≥0}，B={x|1<x≤2}，则A∩B=()
A. {2}
B. {x|1<x<2}
C. {x|1<x≤2}
D. {x|0<x≤1}
2.复数z为纯虚数，若(3−i)z=a+i(i为虚数单位)，则实数a的值为()
A. −3
B. 3
C. −1
3D. 1
3
3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算
筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为()
A. B. C. D.
4.已知a=212,b=313,c=ln3
2
，则()
A. a>b>c
B. a>c>b
C. b>a>c
D. b>c>a
5.如图所示的程序框图是为了求出满足2n−n2>28的最小偶数n，那么空
白框中的语句及最后输出的n值分别是()
A. n=n+1和6
B. n=n+2和6
C. n=n+1和8
D. n=n+2和8
6.若|a⃗|=2cos75°，|b⃗ |=4cos15°，a⃗与b⃗ 的夹角为30°，则a⃗⋅b⃗ 的值为()
A. 1
2
B. √32
C. √3
D. 2√3
7. 设f(x)=x 3+lg(x +√x 2+1)，则对任意实数a 、b ，“a +b ≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的( )条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
8. 等比数列{a n }的首项a 1=4，前n 项和为S n ，若S 6=9S 3，则数列{log 2a n }的前10项和为( )
A. 65
B. 75
C. 90
D. 110
9. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB =acosC +ccosA ，b =2，则△ABC 面积的
最大值是( )
A. 1
B. √3
C. 2
D. 4
10. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角B −AD −C ，
则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )
A. 3π
B. 4π
C. 5π
D. 6π
11. 已知F 1，
F 2为椭圆E ：x 2
a
2+y 2b 2
=1(a >b >0)的左、
右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|且F 2到直线PF 1的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
12. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f′(x)>1−f(x)，f(0)=2，则不等式f(x)>1+e −x 解集为( )
A. (−1,+∞)
B. (e,+∞)
C. (1,+∞)
D. (0,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0
x −2y +2≥0y ≥0，则z =x +2y 的最大值为______．
14. 在(2x −√x )6的展开式中常数项是______．
15. 现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教
学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为______ ．
16. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，
S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知cos2C =−3
4．
(1)求sin C ；
(2)当c=2a，且b=3√7时，求a．
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，点
M是棱PD上一点，且AB=BC=2，AD=PA=4．
(Ⅰ)若PM：MD=1：2，求证：PB//平面ACM；
(Ⅱ)求二面角A−CD−P的正弦值；
(Ⅲ)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为√6
，求MD的长．
3
19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量
各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)估计旧养殖法的箱产量低于50kg的概率并估计新养殖法的箱产量的平均值；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50kg箱产量≥50kg合计旧养殖法
新养殖法
合计
，其中n=a+b+c+d
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828参考数据：282÷9984≈0.078525．
20.已知函数f(x)=e x−2ax−1，g(x)=2aln(x+1)，a∈R．
(Ⅰ)若f(x)在点(0,f(0))的切线倾斜角为π
，求a的值；
4
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若对于任意x ∈[0,+∞)，f(x)+g(x)≥x 恒成立，求a 的取值范围．
21. 在平面直角坐标系中，已知圆C 1的方程为(x −1)2+y 2=9，圆C 2的方程为(x +1)2+y 2=1，动圆C
与圆C 1内切且与圆C 2外切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
(2)已知P(−2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．
22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：
ρ=4cosθ(0≤θ<π2
)，C 2：ρcosθ=3．
(Ⅰ)求C 1与C 2交点的极坐标；
(Ⅱ)设点Q 在C 1上，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求动点P 的极坐标方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：求解不等式可得：A={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤2}，
利用交集的定义可得：A∩B={x|1<x≤2}．
故选：C．
求解不等式首先求得集合A，然后利用交集的定义求解交集即可．
本题考查了交集的定义，一元二次不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．
设出复数z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可．
【解答】
解：设复数z=bi，b∈R且b≠0，
∴(3−i)z=a+i，化为(3−i)bi=a+i，即b+3bi=a+i，
∴b=a=1
，
3
故选：D．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查中华传统文化中的数学问题，考查简单的合理推理、推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
由算筹含义直接求解．
【解答】
解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为．
4.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：∵a =√2=√86，b =√33
=√96，∴1<a <b ．
c =ln 3
2<1． ∴c <a <b ． 故选：C ．
根据题意，即可得解．
本题考查了比较大小，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：程序框图是为了求出满足2n −n 2>28的最小偶数n ， 故循环变量的步长为2，即空白框中的语句为：n =n +2 n =0时，执行循环体后，A =1，满足继续循环的条件．n =2； n =2时，执行循环体后，A =0，满足继续循环的条件．n =4； n =4时，执行循环体后，A =0，满足继续循环的条件．n =6； n =6时，执行循环体后，A =28，满足继续循环的条件．n =8； n =8时，执行循环体后，A =192，不满足继续循环的条件； 故输出n 值为8， 故选：D ．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
本题主要考查算法的相关知识，难度不大，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：|a ⃗ |=2cos75°，|b ⃗ |=4cos15°，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30°，
则a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos30°=2cos75°4cos15°cos30°=4sin30°cos30°=4×12
×√32
=√3，
直接利用向量的数量积公式以及二倍角公式化简求解即可．
本题考查向量的数量积的计算，二倍角公式的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=x3+lg(x+√x2+1)，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∵x>0时，y=x3，y=lg(x+√x2+1)递增，
∴f(x)为增函数，
∵a+b≥0，⇒a≥−b，
∴f(a)≥f(−b)，
∴f(a)≥−f(b)，
∴f(a)+f(b)≥0，
反之也成立，
∴“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的充要条件，
故选：C．
已知函数f(x)，根据f(x)=−f(x)可知它是奇函数，然后由题意看命题“a+b≥0”与命题f(a)+f(b)≥0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查利用函数的导数判断函数的单调性，还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查等差数列的求和公式，属于中档题．
设{a n}的公比为q，运用等比数列的求和公式，解方程可得q，求得数列{log2a n}是以log2a1=2为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
解：设{a n}的公比为q，由S6=9S3，知q≠1，
则a1(1−q 6)
1−q =9×a1(1−q3)
1−q
，即1−q6=9×(1−q3)，即1+q3=9，
解得q=2，
所以a n=4⋅2n−1=2n+1，
所以log2a n+1−log2a n=log2a n+1
a n
=log22=1，
所以数列{log2a n}是以log2a1=2为首项，公差为1的等差数列，
于是数列{log2a n}的前10项和为：10×2+10×9
2
×1=20+45=65，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：(1)∵2bcosB=acosC+ccosA，
∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=1
2
.B=60°
由余弦定理可得ac=a2+c2−4，
∴由基本不等式可得ac=a2+c2−4≥2ac−4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，
∴从而△ABC面积S=1
2
acsinB=√3，故△ABC面积的最大值为√3．
故选：B．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cos B的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．
本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了折叠问题的应用，球的表面积公式的应用，属基础题．
首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球体的半径，最后求出球的表面积．
【解答】
解：如图所示：
边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角B−AD−C，
则：AD=√3，BD=CD=1，设求的半径为r，
故：(2r)2=1+1+3=5，
所以：r2=5
4
，
所以S=4πr2=4π⋅5
4
=5π，
故球体的表面积为5π．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解：F1，F2为椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点，在椭圆E上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|
且F2到直线PF1的距离等于b，
可得：2c+2√4c2−b2=2a，所以(a−c)2=4c2−b2，可得2e2+e−1=0，
解得e=1
2
．
故选：B．
利用椭圆的定义以及已知条件，转化推出a，c关系，即可得到离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法以及椭圆定义的应用，是中档题．12.【答案】D
【解析】解：∵f(x)>1+e −x ，∴e x f(x)−e x −1>0， 设g(x)=e x f(x)−e x −1， ∵f′(x)>1−f(x)，e x >0， ∴g′(x)=e x [f(x)+f′(x)−1]>0， ∴g(x)是R 上的增函数， 又g(0)=0，则g(x)>g(0) ∴x >0， 故选：D ．
f(x)>1+e −x ，等价于e x f(x)−e x −1>0，设g(x)=e x f(x)−e x −1，g(0)=0，则g(x)>g(0)，确定g(x)是R 上的增函数，即可得出结论．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确转化，构造函数，利用函数的单调性是关键．
13.【答案】6
【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0
x −2y +2≥0y ≥0
对应的平面区域如图：(阴影部分)
由z =x +2y 得y =−12x +1
2z ， 平移直线y =−1
2x +1
2z ，
由图象可知当直线y =−1
2x +1
2z 经过点A 时，直线y =−1
2x +1
2z 的截距最大， 此时z 最大．
由{x +y −4=0x −2y +2=0
，解得A(2,2)， 代入目标函数z =x +2y 得z =2×2+2=6
故答案为：6．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，是基础题．
14.【答案】60
【解析】解：在(2x −√x )6的展开式中，通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅26−r ⋅x 6−3r
2，
令6−
3r 2
=0，求得r =4，可得展开式的常数项是C 64⋅22=60，
故答案为：60．
在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式中常数项． 本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．
15.【答案】9
10
【解析】解：有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件， 某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，
基本事件总数n =C 53
=10，
其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m =C 32C 21+C 31C 22=9，
则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为P =m n
=
9
10
．
故答案为：9
10．
基本事件总数n =C 53=10，其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m =C 32C 21+C 31C 22=9，
由此能求出其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】600
【解析】解：∵a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，
∴当公差d 最大时，S 15最大；当公差d 最小时，S 15最小，
∴当{a 1=1a 2=5
时，公差d =4，此时S 15最大，其最大值M =15+15×142×4=435；
当{a 2=5a 5=8时，公差d =8−55−2=1，a 1=4，此时S 15最小时，其最小值m =4×15+15×142=165， ∴M +m =435+165=600， 故答案为：600．
由题设条件得到公差d 取最值时对应的首项a 1与公差d ，即可求得结果． 本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算、前n 项和的最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由已知可得1−2sin 2C =−34.所以sin 2C =7
8．
因为在△ABC 中，sinC >0， 所以sinC =√14
4
．
(2)因为c =2a ，所以sinA =1
2
sinC =√14
8
．
因为△ABC 是锐角三角形，所以cosC =√2
4
，cosA =
5√2
8
． 所以sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =
√148×√2
4
+
5√2
8
×
√144=
3√7
8． 由正弦定理可得：
3√7sinB
=a
sinA ，所以a =√14．
【解析】主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，属于基础题． (1)利用二倍角公式cos2C =1−2sin 2C 求解即可，注意隐含条件sinC >0；
(2)利用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin A ，cos A ，cos C 的值，又由sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC 求出sin B 的值，最后由正弦定理求出a 的值．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥
平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC//AD ，
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
∵点M 是棱PD 上一点，PM ：MD =1：2，AB =BC =2，AD =PA =4．
∴P(0,0，4)，A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，M(0,43,8
3)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,43,8
3)， 设平面ACM 的法向量n
⃗ =(x,y ，z)，
则{n ⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43
y +8
3
z =0
，取x =2，得n ⃗ =(2,−2,1)， ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4−4=0，PB ⊄平面ACM ，∴PB//平面ACM ． (Ⅱ)D(0，4，0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−4)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−4)， 设平面CDP 的法向量m
⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +2b −4c =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b −4c =0，取b =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 平面ACD 的法向量p
⃗ =(0,0，1)， 设二面角A −CD −P 的平面角为θ， 则|cosθ|=
|P ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||p ⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |
=
√3
，
∴二面角A −CD −P 的正弦值为√1−(√3
)2=
√6
3
． (Ⅲ)设M(a,b ，c)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，
则(a,b ，c −4)=(0，4λ，−4λ)，∴a =0，b =4λ，c =4−4λ，∴M(0,4λ,4−4λ)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4λ,4−4λ)，平面CDP 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)， ∵直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为√6
3
，
∴|cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |
|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√16λ2+(4−4λ)2⋅√3
=√
6
3，解得λ=1
2， ∴MD =12PD =1
2
√42+42=2√2．
【解析】(Ⅰ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能证明PB//平面ACM ．
(Ⅱ)求出平面CDP 的法向量和平面ACD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −CD −P 的正弦值． (Ⅲ)求出平面CDP 的法向量，由直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为√6
3，利用向量法能求出MD 的长．
本题考查线面平行的证明，二面角的正弦值、考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 所以概率估计值为0.62； 新养殖法的箱产量均值估计为
1
(75×0.02+85×0.10+95×0.22+105×0.34+115×0.23+125×0.05+135×0.04)=52.35；2
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
≈15.705，
计算K2=200×(62×66−34×38)2
100×100×96×104
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
【解析】(1)根据频率分布直方图计算对应的频率，由此估计概率值；
(2)根据频率分布直方图求得列联表中数据，
计算K2，对照临界值得出结论．
本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e x−2ax−1，f′(x)=e x−2a，
若f(x)在点(0,f(0))的切线倾斜角为π
，
4
=1=f′(0)=1−2a=1，解得：a=0；
则切线斜率k=tanπ
4
(Ⅱ)f′(x)=e x−2a，x∈R，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R递增，
②当a>0时，令f′(x)>0，解得：x>ln2a，令f′(x)<0，解得：x<ln2a，
故f(x)在(−∞,ln2a)递减，在(ln2a,+∞)递增，
综上：当a≤0时，f(x)在R递增，
当a>0时，f(x)在(−∞,ln2a)递减，在(ln2a,+∞)递增；
(Ⅲ)若对于任意x∈[0,+∞)，f(x)+g(x)≥x恒成立，
即e x−2ax−1+2aln(x+1)−x≥0在x∈[0,+∞)上恒成立，
设ℎ(x)=e x+2aln(x+1)−2ax−x−1，(x≥0)，问题转化为ℎ(x)min≥0，
−(2a+1)，
则ℎ′(x)=e x+2a
x+1
下面先证明：e x≥x+1，令p(x)=e x−x−1，
则p′(x)=e x−1，令p′(x)>0，解得：x>0，令p′(x)<0，解得：x<0，
故p(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故p(x)min=p(0)=0，
故e x≥x+1，
故ℎ′(x)=e x+2a
x+1−(2a+1)≥(x+1)+2a
x+1
−(2a+1)=x(x−2a+1)
x+1
，
①a≤1
2
时，x−2a+1≥0，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在[0,+∞)递增，ℎ(x)min=ℎ(0)=0，成立，
②a>1
2
时，2a−1>0，令ℎ′(x)>0，解得：x>2a−1，令ℎ′(x)<0，解得：x<2a−1，故ℎ(x)在(0,2a−1)递减，在(2a−1,+∞)递增，
故ℎ(x)min=ℎ(2a−1)=e2a−1+2aln2a−(2a)2，
令2a=t，则t>1，则H(t)=e t−1+tlnt−t2，H′(t)=e t−1+lnt+1−2t，
H″(t)=e t−1+1
t −2>t+1
t
−2>0，故H′(t)在(1,+∞)递增，
而H′(1)=−1<0，H′(2)=e−3+ln2>0，
故存在t0∈(1,2)使得H′(t0)=0，故e t0−1=2t0−lnt0−1，
故H(t)在(1,t0)递减，在(t0,+∞)递增，
故H(t)min=H(t0)=e t0−1+t0lnt0−t02=2t0−lnt0−1+t0lnt0−t02=(t0−1)[lnt0−(t0−1)]，
下面证明lnx≤x−1，令q(x)=lnx−x+1(x>1)，则q′(x)=1
x
−1<0，
故q(x)在(1,+∞)递减，故q(x)>q(1)=0，故lnx≤x−1，故lnt0−(t0−1)<0，
而t0−1>0，故ℎ(t0)<0，故a>1
2
时，存在实数x使得ℎ(x)<0，原命题不成立，
综上：a≤1
2
，
故a的取值范围是(−∞,1
2
].
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，根据切线斜率得到关于a的方程，解出即可；
(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(Ⅲ)问题转化为e x−2ax−1+2aln(x+1)−x≥0在x∈[0,+∞)上恒成立，设ℎ(x)=e x+2aln(x+1)−2ax−x−1，(x≥0)，问题转化为ℎ(x)min≥0，求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．
21.【答案】解：(1)设动圆C的半径为r，由题意知|CC1|=3−r，|CC2|=1+r
从而有|CC1|+|CC2|=4，故轨迹E为以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(−2,0)，
从而轨迹E方程为x2
4+y2
3
=1(x≠−2)．
(2)设l 方程为x =my +1，联立{x 24+y 2
3=1x =my +1
， 消去x 得(3m 2+4)y 2+6mx −9=0，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
有y 1+y 2=−6m
3m 2+4,y 1y 2=−9
3m 2+4，有|AB|=√1+m 212√1+m 2
3m 2+4
=12(1+m 2
)
3m 2
+4， 点P(−2,0)到直线了的距离为2，点Q(2,0)到直线了的距离为2，
从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2
)3m 2+4
×√1+m
2
=24√1+m 23m 2+4
令t =√1+m 2,t ≥1，有S =24t
3t 2+1=24
3t+1t
，由函数y =3t +1
t 在[1,+∞)单调递增
有3t +1
t ≥4，故S =24t 3t 2+1=24
3t+1t
≤6，四边形APBQ 面积的最大值为6．
【解析】(1)根据椭圆的定义以及圆和圆的位置关系可得，
(2)设l 方程为x =my +1，联立{x 2
4+y 2
3=1x =my +1，利用韦达定理以及弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出四边形的面积，再根据函数的单调性即可求出．
本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于难题
22.【答案】解：(Ⅰ)∵曲线C 1：ρ=4cosθ(0≤θ<π
2)，C 2：ρcosθ=3．
∴联立{ρcosθ=3ρ=4cosθ,cosθ=±√3
2, ∵0≤θ<π
2，θ=π
6
∴ρ=2√3
∴C 1与C 2交点的极坐标为(2√3,π
6)
(Ⅱ)设P(ρ,θ)，Q(ρ0,θ0)且ρ0=4cosθ0，θ0∈[0,π
2) 由已知OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3
QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{ρ0=2
5ρθ0=θ
∴2
5ρ=4cosθ，
∴点P 的极坐标方程为ρ=10cosθ,θ∈[0,π
2)
【解析】(Ⅰ)联立{ρcosθ=3
ρ=4cosθ
，能求出C 1与C 2交点的极坐标．
(Ⅱ)设P(ρ,θ)，Q(ρ0,θ0)且ρ0=4cosθ0，由OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23
QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，能求出点P 的极坐标方程． 本题考查曲线的交点的极坐标的求法，考查点的极坐标方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。