初三升高中数学衔接教案讲义大全

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初三升高中数学衔接教材教案讲义第一讲：数与式的运算——绝对值
绝对值的代数意义是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。

即：
当a>0时，|a|=a；
当a=0时，|a|=0；
当a<0时，|a|=-a。

绝对值的几何意义是：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

两个数的差的绝对值的几何意义是：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离。

例1：解不等式：x-1+x-3>4.
练1：
1) 若x=5，则x=5；若x=-4，则x=-4.
2) 如果a+b=5，且a=-1，则b=6；若1-c=2，则c=-1.
练2：下列叙述正确的是(A)若a=b，则a=b；(B)若a>b，
则a>b；(C)若a<b，则a<b；(D)若a=b，则a=±b。

练3：化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。

练4：观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，并回答下列各题：
1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关
系吗？
2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|a-(-1)|=|a+1|。

3) 结合数轴求得x-2+x+3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为x≥5/3.
4) 满足x+1+x+4>3的x的取值范围为x>-2/3.
阅读理解题：
阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的
距离表示为|AB|。

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点
A在原点，如图1。

AB|=|OB|=|b|=|a-b|;
当AB两点都不在原点时。

①如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;
③如图4，点A、B在原点的两边，
|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|。

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|。

回答下列问题：
1) 当A、B两点中有一点在原点时，AB两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有关系，即|AB|=|a-b|。

2) 若数轴上的点A表示的数为a，点B表示的数为-1，则AB两点间的距离可以表示为|a-(-1)|=|a+1|。

3) 结合数轴求得x-2+x+3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为x≥5/3.
4) 满足x+1+x+4>3的x的取值范围为x>-2/3.
1.数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4.
2.数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是2，如
|AB|=2，那么x为-3或1.
3.当|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是[-1.2]。

第二讲：数与式的运算-乘法公式
我们在初中已经研究过以下乘法公式：
1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
2.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²
3.立方和公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
4.立方差公式：(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
5.三数和平方公式：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
6.两数和立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
7.两数差立方公式：(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
对于以上列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

例1：化简：(x+1)(x-1)(x²-x+1)(x²+x+1)
例2：已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a²+b²+c²的值。

练1：
1.a²-b²=(b+a)(a+b)
2.(4m+1)²=16m²+4m+1
3.(a+2b-c)²=a²+4b²+c²+4ab-4bc-2ac
2.
1) 若x²+mx+k是一个完全平方式，则k等于
$\frac{m^2}{4}$
2) 不论a，b为何实数，a²+b²-2a-4b+8的值总是正数。

公式及运用：
1.$\frac{2x+3}{4x^2-6x+9}$
2.$\frac{a^2-b}{a^4+a^2b+b^2}$
3.$\frac{1-x}{1+x+x^2}$
4.$x^3+3x^2-4$
例2：
1.x⁶-y⁶=(x³+y³)(x³-y³)=(x+y)(x²-xy+y²)(x-y)(x²+xy+y²)
2.m⁶+n⁶+2m³n³=(m²)³+(n²)³+3(m²)²n²+3m²(n²)²=(m²+n²)³-3m²n²(m²+n²)=(m²+n²)³-3m²n²
3.$\frac{9(x+1)(x-1)}{2}+6x^2-1=\frac{9(x²-1)}{2}+6x^2-1=\frac{9x²}{2}+3x²+\frac{7}{2}$
4.x³+3x²-4=x³+4x²-x²-4=(x+1)(x²+4x-4)
已知$x+y=2$，$xy=2$，求$x^3+y^3$的值。

思考：已知$a+b=2$，求$a^3+6ab+b^3$的值。

解法：根据$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，将式子变形得到$a^3+6ab+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2+3ab)$。

因此，我们只需要求出$a^2-ab+b^2$的值即可。

将$a+b=2$平方得到$a^2+2ab+b^2=4$，再将$ab=2$代入得到$a^2-ab+b^2=2$。

因此，$a^3+6ab+b^3=2(a+b)=4$。

练：
1.化简：
1) $\frac{(x+y)^2x^2-xy+y^2}{4}$
2) $\frac{2y-z}{2y(z+2y)}+z^2$
3) $\frac{x^2-(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{4(2x+4)}$
2.已知$a^2+5a+1=0$，求下列各式的值：
1) $a+\frac{1}{a}$
2) $a^2+\frac{1}{a^2}$
3) $a^3+\frac{1}{a^3}$
4) $a^4+\frac{1}{a^4}$
3.已知$a+b+c=4$，$ab+bc+ac=4$，求$a^2+b^2+c^2$的值。

解法：根据$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$，将式
子变形得到$a^2+b^2+c^2=16-2(ab+bc+ac)=8$。

因此，
$a^2+b^2+c^2=8$。

2x(0<x<1).
1.填空：
1) 1-3/(1+3) = -1/4.(5x+1-x-1)/(x+1+x-1) = 2x/(x+1).
2) x ≠ 3.
3) x = 1/2.
2.选择题：成立的条件是(A) x ≠ 2.
3.若 b = (a+1)/(a+1)。

求 a+b 的值。

解: a+b = a+(a+1)/(a+1) = (a^2+a+1)/(a+1).
4.比较大小: 2-3 ＞ 5-4 (填“＞”).
第四讲。

数与式的运算——十字相乘法
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。

例1 分解因式：
1) x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)。

2) x^2+4x-12 = (x+6)(x-2)。

3) x^2-(a+b)xy+aby^2 = (x-ay)(x-by).
课堂练
一、填空题：1、把下列各式分解因式：
1.x2+5x-6=0，x2-5x+6=0，x2+5x+6=0，x2-5x-6=0，x2-(a+1)x+a=0，x2-11x+18=0，6x2+7x+2=0，4m2-12m+9=0，
5+7x-6x2=0，12x2+xy-6y2=0.
2.当x2+ax+b=(x+2)(x-4)时，a=3，b=-8.
3.有相同因式的是：(1)和(2)，(3)和(4)，(3)和(5)。

4.分解因式a2+8ab-33b2得：(a+11b)(a-3b)。

5.(a+b)2+8(a+b)-20分解因式得：(a+b+10)(a+b-2)。

1、若多项式$x^2-3x+a$可分解为$(x-5)(x-b)$，则$a$、
$b$的值是（）
A、$a=10$，$b=2$；
B、$a=10$，$b=-2$；
C、$a=-10$，$b=-2$；
D、$a=-10$，$b=2$。

2、若$x^2+mx-10=(x+a)(x+b)$，其中$a$、$b$为整数，
则$m$的值为（）
A、$3$或$9$；
B、$\pm3$；
C、$\pm9$；
D、$\pm3$或$\pm9$。

3、把下列各式分解因式：
1、$6(2p-q)^2-11(q-2p)+3$；
2、$a^3-5a^2b+6ab^2/3$；
3、$2y^2-4y-64$；
4、$b^4-2b^2-8$。

二、十字相乘法与分组分解法
一、十字相乘法：
两个一次二项多项式$mx+n$与$kx+l$相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：
begin{align*}
mn & (\quad mx+n\quad) \\
kl & (\quad kx+l\quad) \\
end{align*}
的系数$mk$、$ml$与$nk$、$nl$相加得到$x$的系数$ml+nk$，常数项为$nl$，即
mx+n)(kx+l)=mkx^2+(ml+nk)x+nl$$
把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式
$mkx^2+(ml+nk)x+nl$分解因式，即
mkx^2+(ml+nk)x+nl=(mx+n)(kx+l)$$
这说明，对于二次三项式$ax^2+bx+c\quad(ac\neq0)$，如果把$a$写成$mk$，$c$写成$nl$时，$b$恰好是$ml+nk$，那么$ax^2+bx+c$可以分解为$(mx+n)(kx+l)$。

二、运用举例
例1．分解因式（十字相乘法）
1）$x^2-3x+2$；（2）$x^2+4x-12$；
3）$x^2-(a+b)xy+aby^2$；（4）$xy-1+x-y$。

5）$3x^2+10x+8$；（6）$-2x^2+x+1$。

7）$-2x^2y^2+xy+6$；（8）$2x^2-9xy-5y^2$。

例2．分解因式（分组分解法）
1）$x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$
2）$x^3-2x^2+3x-6$
3）$x^3+9+3x^2+3x$
练：
1、分解因式（1）$m^4-3m^2-4$；（2）$4a^4-
37a^2b^2+9b^4$；
3）$1-a^2+2ab-b^2$；（4）$x^2-2x-15$；
5）$12x^2-5x-2$；（6）$x^2+5x-24$；
7）$x^3-3x+2$；（8）$5+7x-6x^2$；
9）$x^2-(a+1)x+a$；（10）$4m^2-12m+9$。

2、用因式分解法解下列方程：
1) $3x^2-4x-4=0$；(2) $\dfrac{2x-1}{x-1}=x$；
3) $8(x-2y)=2007$；
3、不解方程组，求代数式$9x^2-15xy-6y^2$的值。

注：本文中，所有的“”都应该是“-”，所有的“”都应该是“+”。

求根公式是解一元二次方程的通用公式，可以通过配方法将方程变形为标准形式，然后根据判别式的值来确定方程的根的情况。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

例如，对于方程x2-x+1=0，根据求根公式可知，判别式为-3，因此方程没有实数根。

XXX定理是用来求一元二次方程的根的和与根的积的公式。

根据求根公式，可以推导出韦达定理的表达式。

对于一元二次方程x2+px+q=0，其根的和为-p，根的积为q。

例如，对于方程3x2+5x-7=0，根据XXX定理可知，根的和为-5/3，根的积为-7/3.
二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，其中包含两个未知数。

可以通过配方法或消元法来求解二元二次方程组。

例如，对于方程组x2+y2=25和x-y=3，可以通过消元法
得到x=4，y=1，因此方程组的解为(4,1)。

二元二次方程是指含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是二的方程。

而由一个二元二次方程和一个二元一次方程，或者由两个二元二次方程组成的方程组，也被称为二元二次方程组。

解决二元二次方程组的基本思路是消元和降次。

消元是将二元方程转化为一元方程，降次则是将二次方程转化为一次方程，采用因式分解等方法实现。

最基本的二元二次方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程构成的方程组，其他类型都要转化为这种类型来解，解法主要采用消元法。

而由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组，则可以用代入法来解。

例如，对于方程组{x+y=7.x^2+y^2+xy=32}，可以通过消
元法将第一个方程转化为x=7-y，然后代入第二个方程中得到
2y^2-14y+33=0，解得y=1或y=16/2.代入x=7-y中，得到对应
的解为{x=6.y=1}或{x=1.y=8}。

除此之外，还有由两个二元二次方程组成的方程组，需要采用特殊方法解决。

例如，对于方程组{x+y=10.x-3xy+2y=2}，可以通过消元法将第一个方程转化为x=10-y，代入第二个方
程中得到y^2-20y+98=0，解得y=7或y=14.代入x=10-y中，
得到对应的解为{x=3.y=7}或{x=-4.y=14}。

最后，需要注意的是，解二元二次方程组时需要注意格式和计算的准确性，以避免出现错误的解答。

一、二次函数的三种表示形式：
1）一般式：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$。

2）顶点式：$y=a(x-m)^2+n$，其中$(m,n)$为顶点坐标。

3）零点式（两根式）：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中
$x_1,x_2$为$ax^2+bx+c$的两根，或与$x$轴的两个交点的横坐标。

二、二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象及性质：
图象：
当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。

顶点坐标为$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-
b^2}{4a}\right)$。

x$的取值范围为一切实数。

性质：
当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取得最大值或最小值，具体取决于$a$的正负性。

最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，最小值为$\dfrac{-
b^2}{4a}$。

当$x\leq -\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大（或减小）；当$x\geq -\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小（或增大）。

例1：
1）已知二次函数的图象通过$A(1,6)$、$B(2,15)$、$C(-1,3)$三点，求这个二次函数的解析式。

解：根据题意，可列出以下三个方程组：
begin{cases}a+b+c=6\\4a+2b+c=15\\a-b+c=3\end{cases}$
解得$a=2,b=1,c=3$，因此该二次函数的解析式为
$y=2x^2+x+3$。

2）已知二次函数的图象的顶点为$A(3,-2)$，并且它的图
象过点$B(5,6)$，求这个二次函数的解析式。

解：由顶点式可知，该二次函数的解析式为$y=a(x-3)^2-
2$，代入点$B$的坐标得$6=a(5-3)^2-2a$，解得$a=2$，因此该二次函数的解析式为$y=2(x-3)^2-2$。

3）已知二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标为
$A(1,0)$、$B(3,0)$，且又过点$C(2,3)$，求这个二次函数的解
析式。

解：由零点式可知，该二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$，代入点$C$的坐标得$3=a(2-1)(2-3)$，解得$a=-3$，因此
该二次函数的解析式为$y=-3(x-1)(x-3)$。

4）已知二次函数$f(x)$的二次项系数为$a$，$f(x)$的两根为$1,3$，且方程$f(x)+1$有两个相等的根，求$f(x)$的解析式。

解：由两根式可知，$f(x)=a(x-1)(x-3)$，代入$f(x)+1$得
$a(x-1)(x-3)+1=0$，即$a(x^2-4x+3)+1=0$。

由于$f(x)$的两根
为$1,3$，因此$a=\dfrac{1}{4}$。

代入$f(x)$的解析式得
$f(x)=\dfrac{1}{4}(x-1)(x-3)$。

练：
1.抛物线$y=-3(x-2)^2+9$的顶点坐标为（2,9）。

2.抛物线$y=5x^2-20x+13$的对称轴为$x=2$。

3.抛物线$y=-6x^2-x+2$与$x$轴的交点坐标是$(\frac{-1}{2},0)$和$(\frac{1}{3},0)$，与$x$轴的交点坐标是$(0,2)$和$(\frac{1}{6},0)$。

4.抛物线过点$A(1,-1)$、$B(-2,2)$，对称轴为$x=-1$，解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+1)^2+1$。

5.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(-2,5)$、$(3,5)$，最大值为$5$，解析式为$y=5-\frac{5}{25}(x+2)^2$。

求二次函数
已知二次函数的顶点为$(2,-4)$，在$x$轴上所截得的线段
长为5，求这个二次函数的解析式。

二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$a>0$时，函数有最小
值但无最大值；当$a<0$时，函数有最大值但无最小值。

那么
在什么情况下，二次函数$y=ax^2+bx+c$既有最大值又有最小
值呢？
区间的概念
满足$a\leq x\leq b$的所有实数叫做闭区间，表示为$[a,b]$；
满足$a<x<b$的所有实数叫做开区间，表示为$(a,b)$；
满足$a\leq x<b$的所有实数和$a<x\leq b$的所有实数叫半
开半闭区间，分别表示为$[a,b)$和$(a,b]$，其中$a,b$叫做区间的端点；
满足$x\geq a$的所有实数表示为$[a,+\infty)$，满足
$x>a$的所有实数表示为$(a,+\infty)$，满足$x\leq a$的所有实
数表示为$(-\infty,a]$，满足$x<a$的所有实数表示为$(-
\infty,a)$；
全体实数表示为$(-\infty,+\infty)$。

二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，在区间$[m,n]$（$m,n$为定值）上的最大值和最小值，记$f(x)=ax^2+bx+c$，其中
$a<0$。

当$m<n<-\frac{b}{2a}$时，$f(x)$在区间$[m,n]$上单调递减，$f(x)$的最大值为$f(m)$，最小值为$f(n)$；
当$m<-\frac{b}{2a}<n$时，$f(x)$在区间$[m,-
\frac{b}{2a}]$上单调递减，在区间$[-\frac{b}{2a},n]$上单调递增，$f(x)$的最大值为$f(n)$，最小值为$f(m)$；
当$-\frac{b}{2a}\leq m\leq n$或$m\leq n\leq -
\frac{b}{2a}$时，$f(x)$在区间$[m,n]$上单调递增，$f(x)$的最大值为$f(n)$，最小值为$f(m)$。

注意：
二次函数$y=ax^2+bx+c$在闭区间上的最大值或最小值只
能在顶点处或区间的两个端点处；
要紧紧抓住对称轴与区间的关系。

例1：求$f(x)=x^2-2x-3$在$[-2,2]$上的最大值和最小值。

例2：求$y=x^2+2ax$在$[-1,1]$上的最大值和最小值。

想一想：若只求$y=x^2+2ax$在$[-1,1]$上的最小值时，分
成几种情况来讨论简单一些。

例3：求$y=x^2-4x-5$在$[a,b]$上的最大值和最小值。

已知函数f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值。

解：首先，根据最值的定义，要使f(x)在[0,2]上有最小值，必须满足f'(x)=0且f''(x)>0.对f(x)求导可得f'(x)=8x-4a，令其
为0得x=a/2，代入f''(x)=8>0可知该点为极小值点。

又因为
f(0)=a^2-2a+2，f(2)=4a^2-8a+10，且f(x)在[0,2]上有最小值3，所以有以下方程组：
a^2-2a+2=3
4a^2-8a+10=3
解得a=1.
练：
1.函数y=2-3x^2+5x-2的最大值是4，最小值是-1.
2.对于任意的m≤2，函数y=mx^2-2x+1-m恒为负，则实
数x的取值范围为(-∞。

1]。

3.函数y=x^2-2bx+3在区间[-1,1]上的最大值为4-b^2，最
小值为2-2b。

4.函数y=ax^2-4x+1在[0,1]上的最小值为1-a，最大值为
5-a。

5.函数y=x^2-2x+3在[t,2-t]上的最小值为t^2-2t+3，最大值为7/4.
6.函数y=(2x^2-x+3)/(2x^2-x-1)在其定义域上的最小值为3/4，最大值为3.。