新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()()
2log 2x
f x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实
数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =
B ．{}0|m m ≤
C ．{}|0m m ≥
D ．{}|1m m =
2．已知函数()()
2
log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是
（ ） A ．(],1-∞-
B ．[)1,-+∞
C ．[)1,1-
D ．(]3,1--
3．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >
C ．1ac =
D ．01ac <<
4．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知函数()()
2
ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．5-
D ．5
6．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的
大小关系是（ ）
A ．a <b <1<c <d
B ．b <a <1<d <c
C ．1<a <b <c <d
D ．a <b <1<d <c
7．函数2y 34
x x =
--+ ）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-， 8．已知函数()
a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数222,0()2,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
C ．[]1,2
D ．(]
0,2 10．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞ 11．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
B ．3
,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
12．已知函数()()
213
log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭
，
都满足不等式()()
2121
0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
二、填空题
13．现有下列四个结论：
①若25a b m ==且a b =时，则1m =； ②若236log log log a b c ==，则c ab =；
③对函数()3x
f x =定义域内任意的1x ，都存在唯一的2x ，使得()()121f x f x ⋅=成立；
④存在实数a ，使得函数()()
2
ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R .
其中所有正确结论的序号是_________.
14．()()
2
lg 45f x x x =--+的单调递增区间为______.
15．已知21()1,()log 2x
f x
g x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，若()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.
16．设函数123910()lg 10
x x x x x a
f x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时
()f x 有意义,则a 的取值范围是________.
17．已知函数()4
sin 22
x x f x π=
++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
______.
18．下列五个命题中：
①函数log (21)2015(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象过定点()1,2015； ②若定义域为R 函数()f x 满足：对任意互不相等的1x 、2x 都有
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则()f x 是减函数；
③2(1)1f x x +=-，则2()2f x x x =-；
④若函数22()21
x x a a f x ⋅+-=+是奇函数，则实数1a =-；
⑤若log 8
(0,1)log 2
c c a c c =
>≠，则实数3a =. 其中正确的命题是________.（填上相应的序号）.
19．函数
()2
12
log 2y x x =-的定义域是______，单调递减区间是______. 20．设函数()122,1
2log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩，若()()04f f x =则0x ______.
三、解答题
21．设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠． （1）求函数()f x 的定义域
（2）若(1)2f =，求函数()f x 在区间3
[0,]2
上的最大值． （3）解不等式：log (1)log (3)a a x x +>-． 22．已知函数()2
1log 1x
f x x
-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；
（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减. 23．化简与求值： （1）2ln 4
3
(0.125)
e
-
++；
（2）若11
2
2
x x -+=1
x x --的值.
24．（1）求函数(
)
2
2log 32y x x =-+的定义域； （2）求函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域； （3）求函数2
23y x x =--的单调递增区间.
25．已知函数1
1()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭
.
（1）先求1(2)2f f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值，再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡
⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的值； （2）求()f x 的定义域，并证明()f x 在定义域上恒正.
26．已知函数
2
14
()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1
[,2]2
上的值域；
（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集
R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得
0m ≤，再求交集即可. 【详解】
若()()
2log 2x
f x m =+定义域为实数集R ，
则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立，
因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =
若()()
2log 2x
f x m =+值域为实数集R ，
则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.
2．C
解析：C 【分析】
由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】
由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.
对于函数()()
2
log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得
31x -<<.
所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.
由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[
)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，
由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[
)1,1-. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：
（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；
（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数
()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 3．D
【分析】
作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有
()()()f a f c f b >>，
∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.
4．C
解析：C 【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，
y x a a -[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)1a -1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485
＝log 28＝3. 故选C 【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．D
解析：D
由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合
(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.
【详解】
解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4， 又(1)0f =，
68ln()0b
a c
a a
b
c ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪
⎩
，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=
⎩.
18
2533
a b c ∴-+=++=.
故选：D. 【点睛】
本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】
根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，
根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】
本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】
要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1
{41
x x >--<<，所以1 1.x -<<
故选C
8．C
解析：C 【分析】
由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】
由恬24a =，2a =，222
log (1),10
()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨
+≥⎩，
函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．
9．A
解析：A 【分析】
根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+转化为
2log 1a ≤进行求解即可.
【详解】
当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2
()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，
∴222122
(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.
又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，
∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得1
22
a ≤≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】
因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，
因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23
<a ， 综上023
a <<． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
11．B
解析：B 【分析】
先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】
由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，
2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，
ln y t =在定义域内单调递增，
234t x x =-++对称轴为3
2
x =
，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,
2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
单调递减， 所以2
()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题
12．C
解析：C 【分析】
由题意可知，函数()()2
13log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛
⎫
-∞-
⎪⎝⎭
上单调递减，且0>u 对任
意的1,2x ⎛⎫
∈-∞- ⎪⎝⎭
恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上是增函数， 令2u x ax a =--，而13
log y u =是减函数，所以
2u x ax a =--在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递
减，
且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022a
a a ⎧≥-⎪⎪⎨
⎛⎫⎛⎫⎪-
---≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1
12
a -≤≤
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．①②③【分析】利用换底公式结合求得的值可判断①的正误；设利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由求得可判断③的正误；求出函数的定义域值域分别为时对应的实数的取值范围可判断④的正误【详
解析：①②③ 【分析】
利用换底公式结合a b =，求得m 的值，可判断①的正误；设
236log log log a b c t ===，利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正
误；由()()121f x f x ⋅=求得21x x =-，可判断③的正误；求出函数()g x 的定义域、值域分别为R 时，对应的实数a 的取值范围，可判断④的正误. 【详解】
对于①，由于250a b m ==>，可得2lg log lg 2m a m ==
，5
lg log lg 5
m
b m ==， 由于a b =可得lg lg lg 2lg 5
m m
=，则lg 0m =，解得1m =，①正确；
对于②，设236log log log a b c t ===，可得2t a =，3t b =，6t c =，则
236t t t ab c =⋅==，②正确；
对于③，对任意的1x R ∈，则()()121
2
123331x
x
x x f x f x +⋅=⋅==，120x x ∴+=，可得
21x x =-，③正确；
对于④，若函数()(
)
2
ln g x x ax a =++的定义域为R ，对于函数2
y x ax a =++，
240a a ∆=-<，解得01a <<；
若函数()(
)
2
ln g x x ax a =++的值域为R ，则函数2
y x ax a =++的值域包含()0,∞+，
则240a a ∆=-≥，解得0a ≤或1a ≥.
所以，不存在实数a ，使得函数()()
2
ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R ，④错误.
故答案为：①②③. 【点睛】
关键点点睛：解本题第④问的关键点在于找到函数()()
2
ln g x x ax a =++的定义域为R
的等价条件∆<0；函数()()
2
ln g x x ax a =++的值域为R 的等价条件0∆≥.
14．【分析】由复合函数的单调性只需求出的增区间即可【详解】令则由与复合而成因为在上单调递增且在上单调递增所以由复合函数的单调性知在上单调递增故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性对数函数的单调 解析：(]5,2--
【分析】
由复合函数的单调性，只需求出245t x x =--+的增区间即可. 【详解】
令245t x x =--+，
则()()
2
lg 45f x x x =--+由lg y t =与245t x x =--+复合而成，
因为lg y t =在(0,)t ∈+∞上单调递增，
且2
45(0)t x x t =--+>在(5,2]x ∈--上单调递增，
所以由复合函数的单调性知，()()
2
lg 45f x x x =--+在(5,2]x ∈--上单调递增.
故答案为：(]
5,2-- 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.
15．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数
解析：9,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】
当[1,3]x ∈时，11[,1]28x
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，因此9()[,2]8f x ∈；
当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+， 因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即
99
88
m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.
16．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞
【分析】
由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数
的单调性求得981()101010x x x
g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】
根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010
x x x x x a
+++++>恒成立，
即10210x
x
a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x x
a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 因为函数981()101010x x x
g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，
所以1
1
1
981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：[ 4.5,)-+∞
【点睛】
本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.
17．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题
解析：2019 【分析】 观察122019101010101010⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利
用倒序相加法求解. 【详解】
因为()()()244
2sin sin 222222
x x
f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f
12019120191010101010101010f f f f ⎛
⎫
⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22019=⨯
1220192019101010101010f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴+
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
故答案为：2019.
【点睛】
本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.
18．①③⑤【分析】对①由对数函数恒过即可判断；对②由函数单调性的定义即可判断函数的单调性；对③利用换元法即可求得函数的解析式；对④由奇函数的定义即可判断；对⑤由换底公式即可求得的值【详解】解：对①令解得
解析：①③⑤ 【分析】
对①，由对数函数恒过(1,0)，即可判断； 对②，由函数单调性的定义即可判断函数的单调性； 对③，利用换元法即可求得函数()f x 的解析式； 对④，由奇函数的定义即可判断； 对⑤，由换底公式即可求得a 的值. 【详解】
解：对①，令211x -=， 解得：1x =，则(1)2015f =，
()f x ∴的图象过定点()1,2015，故①正确；
对②，
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，
当12x x <时，()()12f x f x <； 当12x x >时，()()12f x f x >；
()f x ∴是R 上的增函数，故②错误；
对③，令1t x =+，则1x t =-；
2()2f t t t ∴=-，
即2
()2f x x x =-，故③正确； 对④，由题意知()f x 的定义域为R ， 又
()f x 为奇函数，
(0)0f ∴=，
解得：1a =，故④不正确； 对⑤，log 8lg83lg 2
=3log 2lg 2lg 2
c c a =
==，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 【点睛】
方法点睛：求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于()f x 与1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
或()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
19．【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是
解析：()(),02,-∞+∞ ()2,+∞
【分析】
由表达式可知220x x ->，解出对应x ，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间 【详解】
由题可知，()
()2
20,02,x x x ->⇒∈-∞+∞，
()
2
12
log 2y x x =-可看作12
log y t =，22t x x =-，
12
log y t =在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当()
2,x ∈+∞，内
层函数为增函数，则()212
log 2y x x =-在对应区间为减函数，故函数
()2
12
log 2y x x =-的定义域是()(),02,-∞+∞，单调递减区间是()2,+∞
故答案为：()(),02,-∞+∞；()2,+∞
【点睛】
本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题
20．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算
解析：1-或2 【分析】
已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】
令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1t
t t +≤==，
若01
0001,()2
1,1x x f x x +≤===-，
若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===， 当221
1,()2log 4,log 2,4
t f t t t t >=-==-=（舍去） 故答案为：1-或2. 【点睛】
本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）(1,3)-；（2）2；（3）答案见解析. 【分析】
（1）由10
30x x +>⎧⎨->⎩
得解定义域
（2）由(1)2f =求得2a =．化简 2
2()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，求得函数单调性得解
（3）分类1a >和01a <<讨论得解 【详解】 （1）由10
30x x +>⎧⎨
->⎩
得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-．
（2）因为(1)2f =，所以log 42(0,1)a a a =>≠，所以2a =．
2
2222()log (1)log (3)log [(1)(3)]log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦，
所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数， 故函数()f x 在(1,3)-上的最大值是2(1)log 42f ==．
（3）当1a >时1330x x x +>-⎧⎨->⎩解得1
3x x >⎧⎨<⎩不等式解集为：{|13}x x <<
当01a <<时1310
x x
x +<-⎧⎨+>⎩解得11x x <⎧⎨>-⎩不等式解集为：{|11}x x -<<
【点睛】
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按1a >和
01a <<进行分类讨论．
22．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】
(1)由()f x 的定义域满足
101x
x
->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出21
21
11011--<
<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21
2
221
11log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】
解：（1）令
101x
x
->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-
（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称 由2
211()log log ()11x x
f x f x x x
+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<<
设()()()()()()()()()
122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x
∵1211x x -<<<
∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴21
21
11011--<
<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21
2221
11log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <
故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】
关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关
键是先得出2211x x -+与1
111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到
21
2
221
11log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 23．（1）14；（2
） 【分析】
（1）利用幂的运算法则和对数的运算法则计算；
（2）利用完全平方公式求得1x x -+，再求得22x x -+，然后可求得1x x --． 【详解】
(1)原式
=236
342
464⎛⎫-⨯- ⎪
⎝⎭
++=++＝14;-
(2)
由11
22x x -+=
1+25x x -+=，所以13x x -+=
所以2222+29=7x x x x --+=+， 则12
2
2
()2=5x x x x ---=-+ 所以1=x x -
- 【点睛】
幂的运算法则从整数范围推广到有理数范围，实数范围后，乘法公式也随之推广过来， 即公式2
2
2
()2a b a ab b +=++，2
2
2
()2a b a ab b -=-+，2
2
()()a b a b a b +-=-中
,a b 是是分数指数幂时，公式也适用，解题时要注意体会．
24．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[
)3,+∞. 【分析】
（1）解不等式2320x x -+>可求得函数(
)
2
2log 32y x x =-+的定义域；
（2）利用二次函数的基本性质可求得函数2
21y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；
（3）将函数2
23y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间. 【详解】
（1）对于函数(
)
2
2log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()
2
2log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞；
（2）当[]2,2x ∈-时，()[]2
22119,0y x x x =-+-=--∈-，
因此，函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-； （3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >，
所以，22
2223,12323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩
.
二次函数2
23y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =. 当1x <-时，函数2
23y x x =--单调递减；
当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；
当3x >时，函数2
23y x x =--单调递增.
综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[
)3,+∞.
【点睛】
本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）0；0，（2）定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，见解析 【分析】
（1）先求出1(2)02f f ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，再证明1()0f x f x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，即得解；（2）先求出函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，再分类讨论证明()f x 在定义域上恒正.
【详解】 （1）1(2)02f f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭. 对任意(0,1)
(1,)x ∈+∞，
11
1111()ln ln 11221f x f x x x x
x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭
1111111ln ln ln 1ln 121212121x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0=.
所以[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++-+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111(11)(12)(29)(66)011122966f f f f f f f f ⎡
⎤⎡
⎤⎡
⎤⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
. （2）由题得0x >且1x ≠，
所以函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，
1
()ln 2(1)
x f x x x +=
-.
当(0,1)x ∈时，10x -<，ln 0x <，10x +>，所以()0f x >； 当(1,)x ∈+∞时，10x ->，ln 0x >，10x +>，所以()0f x >. 综上，()f x 在定义域上恒正. 【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，考查函数值的求法，考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．（Ⅰ）11
44
55log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣
⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
（Ⅰ）把1m =代入，可得
()12
2
()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1
[,2]2
上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用
二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】
（Ⅰ）当1m =时，
()12
2
()log 238f x x x =-+， 此时函数()f x 的定义域为1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
因为函数2
238y x x =-+的最小值为2428355
88
⨯⨯-=
. 最大值为2
2232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
（Ⅱ）因为函数
14
log y x =在(0,)+∞上单调递减，
故2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,
34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥
，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。