高考数学(命题热点提分)专题11 数列求和及数列的简单应用 理(2021年最新整理)

2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题11 数列求和及数列的简单应用理
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专题11 数列求和及数列的简单应用
1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2
，n －2a n ＋1(n ∈N ＊
),则a 2 017＝（ ） A ．1 B ．0 C ．－1
D ．2
解析：∵a n ＋1＝（a n －1)2
，又a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0，…，∴数列{a n ｝的奇数项为1，∴a 2 017＝1,故选A 。

答案:A
2．已知正项数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝错误!2
6n n －（n ∈N *
），b n ＝log 2a n ，则数列｛b n }的前n 项和S n 中的最大值是（ ） A ．S 6 B ．S 5 C ．S 4
D ．S 3
解析：S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝log 2（a 1a 2…a n ）＝log 2错误!2
6n n －＝log 222
122n n －＝－2n 2＋12n ＝－2(n －3）2
＋18。

∴当n ＝3时，S n 最大，即S 3最大．故选D 。

答案：D
3．已知函数y ＝f （x )的定义域为R,当x <0时，f (x )〉1,且对任意的实数x 、y ∈R,等式f （x )f （y )＝f (x ＋y ）恒成立．若数列{a n ｝满足a 1＝f （0),且f （a n ＋1）＝错误!(n ∈N *
),则a 2 017的值为( ) A ．4 033 B ．4 029 C ．4 249
D ．4 209
解析：根据题意，不妨设f (x )＝错误!x
,则a 1＝f (0）＝1，∵f (a n ＋1)＝错误!，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n ｝是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 017＝4 033。

答案:A
4．等差数列{a n｝中的a4，a2 016是函数f(x）＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则log
1
4a
1 010
＝（）
A。

错误!B．2
C．－2 D．－错误!
解析:因为f′（x)＝3x2－12x＋4,而a4和a2 016为函数f（x）＝x3－6x2＋4x－1的极值点，所以a4和a2 016为f′（x)＝3x2－12x＋4＝0的根，所以a4＋a2 016＝4，又a4，a1 010,a2 016成等差数
列，所以2a1 010＝a4＋a2 016，即a1 010＝2，所以log
1
4a
1 010
＝－错误!，故选D.
答案：D
5．已知数列｛a n｝满足错误!·错误!·错误!·…·错误!＝错误!(n∈N*)，则a10＝( )
A．e26B．e29
C．e32D．e35
答案：C
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15>0，S16<0，则错误!，错误!,…，错误!中最大的项为（)
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析:由S15＝15a1＋a15
2
＝15a8>0,得a8>0。

由S16＝错误!＝错误!〈0，得a9＋a8<0，所以a9〈0，
且d<0。

所以数列｛a n}为递减数列．所以a1，…，a8为正，a9，…，a n为负，且S1,…，S15为正．所以错误!〈0，错误!<0，…,错误!<0.又0<S1〈S2<…〈S8,a1〉a2>…〉a8〉0，所以0〈错误!<错误!<…〈错误!。

所以最大的项为错误!,故选D.
答案：D
7．数列{a n｝满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N＊都有：
a m
＋n
＝a m＋a n＋mn，则错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝( ）
A。

错误! B。

错误! C.错误!D。

错误!
解析法一因为a n＋m＝a n＋a m＋mn，则可得a1＝1，a2＝3,a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项a n＝错误!，
∴错误!＝错误!＝2错误!，
∴错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝
2错误!
＝2错误!＝错误!.故选D。

法二令m＝1，得a n＋1＝a1＋a n＋n＝1＋a n＋n,∴a n＋1－a n＝n＋1，
用叠加法：a n＝a1＋(a2－a1）＋…＋（a n－a n－1）＝1＋2＋…＋n＝错误!，
所以1
a n
＝错误!＝2错误!。

于是错误!＋错误!＋…＋错误!＝2错误!＋2错误!＋…＋2错误!＝2错误!＝错误!，故选D。

答案D
8．设a1，a2，…,a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且（a1＋1）2＋(a2＋1）2＋…＋(a50＋1）2＝107,则a1，a2，…，a50当中取零的项共有（）
A．11个B．12个C．15个D．25个
解析(a1＋1)2＋(a2＋1）2＋…＋（a50＋1)2＝a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＋2(a1＋a2＋…＋a50）＋50＝107，∴a2，1＋a错误!＋…＋a错误!＝39，∴a1，a2,…，a50中取零的项应为50－39＝11(个）,故选A.
答案A
9．在数列｛a n}中,a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1）n(n∈N＋)，则S100＝( )
A．1 300 B．2 600 C．0 D．2 602
解析原问题可转化为当n为奇数时，a n＋2－a n＝0；当n为偶数时，a n＋2－a n＝2.进而转化为当n为奇数时，为常数列{1};当n为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S
＝S奇
100
＋S偶＝50×1＋(50×2＋错误!×2）＝2 600.
答案B
10．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R,都有f（x）f（y)＝f(x＋y），
若a1＝错误!,a n＝f(n)(n∈N＊），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）
A。

错误! B.错误! C.错误!D。

错误!
解析f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x）f(y)＝f(x＋y)，a
＝错误!，a n＝f（n)（n∈N*），a n＋1＝f(n＋1）＝f(1）f(n）＝错误!a n，∴S n＝错误!＝1－错误!错误!。

1
则数列{a n}的前n项和的取值范围是错误!。

答案C
11．设数列{a n｝的前n项和为S n，且a1＝a2＝1,{nS n＋(n＋2）a n｝为等差数列，则a n＝（)
A。

错误! B.错误!C.错误! D.错误!
解析设b n＝nS n＋(n＋2）a n，有b1＝4，b2＝8，则b n＝4n，
即b n＝nS n＋（n＋2）a n＝4n，
当n≥2时，S n－S n－1＋错误!a n－错误!a n－1＝0，
所以错误!a n＝错误!a n－1,
即2·错误!＝错误!，
所以错误!是以错误!为公比，1为首项的等比数列,
所以错误!＝错误!错误!,a n＝错误!.故选A.
答案A
12．已知定义在R上的函数f(x）、g（x)满足错误!＝a x，且f′(x)g(x)<f(x）g′（x)，错误!＋
错误!＝错误!，若有穷数列错误!(n∈N*)的前n项和等于错误!,则n＝（)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案A
13。

设S n为数列｛a n}的前n项和，S n＝（－1)n a n－错误!，n∈N＊,则
（1）a3＝________；
（2）S1＋S2＋…＋S100＝________。

解析（1)当n＝1时,S1＝（－1）a1－错误!，得a1＝－错误!。

当n≥2时，S n＝(－1）n（S n－S n
)－错误!。

当n为偶数时,S n－1＝－错误!，当n为奇数时,S n＝错误!S n－1－错误!，从而S1＝－－1
错误!,S3＝－错误!，又由S3＝错误!S2－错误!＝－错误!，得S2＝0,
则S3＝S2＋a3＝a3＝－错误!.
(2)由（1）得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－错误!－错误!－错误!－…－错误!，S101＝－错误!,
又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋错误!＋2S5＋错误!＋2S7＋错误!＋…＋2S101＋错误!＝0,
故S1＋S2＋…＋S100＝错误!错误!.
答案(1）－错误!（2)错误!错误!
14．已知向量a＝(2，－n)，b＝(S n,n＋1），n∈N＊,其中S n是数列｛a n｝的前n项和，若a⊥b,则数列错误!的最大项的值为．
解析依题意得a·b＝0，即2S n＝n（n＋1），S n＝错误!。

当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝错误!－错误!
＝n；又a1＝1，因此a n＝n，错误!＝错误!＝错误!＝错误!≤错误!，当且仅当n＝错误!,n∈N＊，即n＝2时取等号,因此数列错误!的最大项的值是错误!.
答案1 9
15．设{a n｝是公比大于1的等比数列，S n为数列｛a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，
a
3
＋4构成等差数列．
（1）求数列｛a n｝的通项公式．
(2）令b n＝na n，n＝1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n.
解（1）由已知，得
错误!解得a2＝2.
设数列{a n}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝错误!，a3＝2q.
又S3＝7,可知错误!＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或错误!.由题意得q>1，所以q＝2。

则a1＝1。

故数列{a n}的通项为a n＝2n－1.
（2)由于b n＝n·2n－1，n＝1，2，…，
则T n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，
所以2T n＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n,
两式相减得－T n＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n×2n
＝2n－n×2n－1，
即T n＝(n－1）2n＋1。

16．已知{a n｝是单调递增的等差数列，首项a1＝3,前n项和为S n，数列{b n}是等比数列,首项
b
1
＝1,且a2b2＝12，S3＋b2＝20。

(1)求{a n｝和{b n｝的通项公式；
(2）令c n＝S n cos（a nπ）(n∈N＊）,求｛c n}的前n项和T n。

解（1）设数列{a n}的公差为d,数列｛b n｝的公比为q，则a2b2＝(3＋d)q＝12,
S
＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d，
3
则(3＋d）(11－3d）＝33＋2d－3d2＝12，
即3d2－2d－21＝0，
(3d＋7）(d－3)＝0.
∵｛a n｝是单调递增的等差数列,∴d〉0，
∴d＝3，q＝2,a n＝3＋（n－1)×3＝3n，b n＝2n－1.
(2)由（1)知c n＝S n cos 3nπ
＝错误!
①当n是偶数时，
T n＝c
＋c2＋c3＋…＋c n＝－S1＋S2－S3＋S4－…－S n－1＋S n＝a2＋a4＋a6＋…＋a n＝6＋12＋18＋…
1
＋3n＝错误!。

②当n是奇数时，
T n＝T n
－S n
－1
＝错误!－错误!n2－错误!n
＝－错误!(n＋1)2。

综上可得，
T n＝错误!
17．设数列｛a n｝的前n项和为S n,a1＝10，a n＋1＝9S n＋10.
（1）求证：｛lg a n｝是等差数列;
(2）设T n是数列错误!的前n项和，求T n；
（3)求使T n〉错误!（m2－5m）对所有的n∈N＊恒成立的整数m的取值集合．
（2）解由（1）知，T n＝3错误!
＝3错误!
＝3－3
n＋1。

(3)解∵T n＝3－错误!,
∴当n＝1时,T n取最小值错误!.
依题意有错误!>错误!（m2－5m）,解得－1〈m<6，
故所求整数m的取值集合为
{0，1，2,3，4，5｝．
18.已知数列｛a n｝前n项和为S n,首项为a1，且错误!，a n,S n成等差数列。

(1)求数列｛a n}的通项公式；
(2）数列｛b n｝满足b n＝（log2a2n＋1)×(log2a2n＋3),求数列错误!的前n项和.解（1)∵错误!，a n，S n成等差数列，∴2a n＝S n＋错误!，
当n＝1时，2a1＝S1＋错误!，∴a1＝错误!,
当n≥2时,S n＝2a n－错误!,S n－1＝2a n－1－错误!,
两式相减得：a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1,
∴错误!＝2，所以数列{a n}是首项为错误!，公比为2的等比数列，
即a n＝错误!×2n－1＝2n－2。

（2）∵b n＝(log2a2n＋1）×(l og2a2n＋3）＝(log222n＋1－2)×（log222n＋3－2)＝（2n－1)（2n＋1)，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!错误!，
∴数列错误!的前n项和T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!
＝1
2错误!
＝错误!错误!＝错误!。

19．已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n＝错误!a n－1(n∈N＊）．（1)求数列{a n｝的通项公式；
(2)设b n＝2log3错误!＋1,求错误!＋错误!＋…＋错误!.
解析：(1)当n＝1时，a1＝错误!a1－1，∴a1＝2，
当n≥2时，∵S n＝错误!a n－1，①
S n
－1
＝错误!a n－1－1（n≥2)，②
①－②得：a n＝错误!－错误!，即a n＝3a n－1，
∴数列｛a n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴a n＝2×3n－1.
（2)由（1)得b n＝2log3错误!＋1＝2n－1,
∴错误!＋错误!＋…＋错误!
＝
1
1×3
＋错误!＋…＋错误!
＝错误!错误!
＝错误!.
20．设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n，已知a3＝5，S8＝64.
(1)求数列{a n｝的通项公式；
（2)令b n＝a n·2n，求数列{b n｝的前n项和T n。

解析：（1）由已知得错误!，
解得错误!。

2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题11 数列求和及数列的简单应用 理
11 ∴数列{a n ｝的通项公式为a n ＝1＋2（n －1）＝2n －1。

（2）由（1)得b n ＝(2n －1）·2n
，
则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋（2n －3)×2n －1
＋(2n －1）×2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1
,②
①－②得
－T n ＝2＋2×（22＋23＋…＋2n ）－(2n －1)×2n ＋1
＝2＋2×错误!－（2n －1）×2n ＋1
＝－6－(2n －3)×2n ＋1，
∴T n ＝6＋(2n －3）×2n ＋1
.
21．已知等比数列｛a n ｝满足2a 1＋a 3＝3a 2,且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
（1）求数列{a n }的通项公式;
(2）若b n ＝a n ＋log 2错误!,S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ,求使S n －2n ＋1
＋47〈0成立的n 的最小值．
解析：（1）设等比数列{a n ｝的公比为q ，依题意,有错误!，即错误!, 由①得q 2－3q ＋2＝0,解得q ＝1或q ＝2.
当q ＝1时,不合题意，舍去;
当q ＝2时，代入②得a 1＝2,所以a n ＝2·2n －1
＝2n .
故所求数列｛a n }的通项公式a n ＝2n （n ∈N *
)．
(2）因为b n ＝a n ＋log 21a n
＝2n
＋log 2错误!＝2n
－n ，
所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋ (2)
－n
＝（2＋22＋23＋…＋2n ）－（1＋2＋3＋…＋n ）
＝错误!－错误!＝2n ＋1－2－错误!n －错误!n 2。

因为S n －2n ＋1
＋47〈0，所以2n ＋1－2－错误!n －错误!n 2－2n ＋1＋47<0，
即n 2＋n －90〉0，解得n >9或n 〈－10.
因为n ∈N ＊，所以使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10。