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《圆周运动》练习（二）
1.如图所示，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点 )放在水平圆盘上， a 与转轴 OO ′的距离为 l ， b 与转轴的距离为 2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的
k 倍，重力加速度大小为
g.若圆盘
从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A ． b 一定比 a 先开始滑动
B ．a 、 b 所受的摩擦力始终相等
C ．ω＝
kg
是 b 开始滑动的临界角速度
2l
D ．当 ω＝
2kg
时， a 所受摩擦力的大小为 kmg
3l
2．如图所示，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为 m 的小
环 (可视为质点 )，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为 g.当小环滑到大环的最低点时，大环
对轻杆拉力的大小为 (
)
A ． Mg － 5mg
B ． Mg ＋ mg
C ．Mg ＋ 5mg
D ． Mg ＋ 10mg
3．如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从
M 点出发经 P 点到达 N 点，已
知弧长 MP 大于弧长 PN ，质点由 M 点运动到 P 点与从 P 点运动到 N 点所用的时间相等．则下列说法 中正确的是 (
)
A ．质点从 M 到 N 过程中速度大小保持不变
B ．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同
C ．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同
D ．质点在 M 、 N 间的运动不是匀变速运动
4．如图所示，质量相同的钢球①、②分别放在 A 、 B 盘的边缘， A 、 B 两盘的半径之比为 2∶ 1，a 、 b 分别是与 A 盘、 B 盘同轴的轮， a 、 b 轮半径之比为 1∶ 2.当 a 、 b 两轮在同一皮带带动下匀速转动时，
钢球①、②受到的向心力大小之比为 ( )
A ． 2∶ 1
B ． 4∶ 1
C ．1∶ 4
D ． 8∶ 1
5．利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，
如图所示，
用两根长为 L 的细线系一质量为
m 的小球，两线上端系于水平横杆上的
A 、
B 两
点， A 、 B 两点相距也为 L ，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运
动到最低点时，每根线承受的张力为 ( )
A ． 2 3mg
B ． 3mg
73mg
C．2.5mg D. 2
6．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离
3
(设最大静摩擦力等于
2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为 2
滑动摩擦力 )，盘面与水平面的夹角为30°， g 取 10 m/s2.则ω的最大值是 ()
A. 5 rad/s
B. 3 rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/ s
7.如图所示，在竖直平面内有xOy 坐标系，长为 l 的不可伸长细绳，一端固定在 A 点，A 点的坐标为 (0，
l
2)，另一端系一质量为m 的小球．现在x 坐标轴上 (x>0)固定一个小钉，拉小球使细绳绷直并呈水平位
置，再让小球从静止释放，当细绳碰到钉子以后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动．
5
(1) 当钉子在 x＝4 l 的 P 点时，小球经过最低点时细绳恰好不被拉断，求细绳能承受的最大拉力；
(2) 为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，而细绳又不被拉断，求钉子所在位置的范围．
8.如图所示，一小物块自平台上以速度v0水平抛出，刚好落在邻近一倾角为α＝53°的粗糙斜面AB 顶端，并恰好沿该斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝ 0.032 m ，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A 点离 B 点所在平面的高度H＝ 1.2 m．有一半径为R 的光滑圆轨道与斜面AB 在 B 点相切连接，
已知 cos 53 °＝ 0.6， sin 53 ＝°0.8， g 取 10 m/s2.求：
(1)小物块水平抛出的初速度v0是多少；
(2) 若小物块能够通过圆轨道最高点，圆轨道半径R 的最大值．
9.如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的 AB 段轨道与
四分之一光滑圆弧轨道 BC 在 B 点水平相切．点 A 距水面的高度为 H ，圆弧轨道 BC 的半径为 R ，圆心 O 恰在水面．一质量为
m 的游客 (视为质点 )可从轨道 AB 的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1) 若游客从 A 点由静止开始滑下，到 B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面
D 点， OD ＝ 2R ，求游客滑
到 B 点时的速度 v B 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功 W f ；
(2) 某游客从 AB 段某处滑下，恰好停在
B 点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到
P 点后滑离轨
道，求 P 点离水面的高度 h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所
2
受的向心力与其速率的关系为 F 向 ＝m v )
R
10．如图所示， 一块足够大的光滑平板放置在水平面上，
能绕水平固定轴 MN 调节其与水平面的倾角． 板
上一根长为 l ＝ 0.6 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为
m 的小球 P ，另一端固定在板上的
O 点．当平
板的倾角固定为 α时，先将轻绳平行于水平轴 MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度
v 0＝ 3 m/s.若小球能在板面内做圆周运动，倾角
α的值应在什么范围内 (取重力加速度 g ＝10 m/ s 2)?
11．半径为 R 的水平圆盘绕过圆心
O 的竖直轴匀速转动， A 为圆盘边缘上一点．在 O 的正上方有一个
可视为质点的小球以初速度
v 水平抛出时，半径 OA 方向恰好与 v 的方向相同，如图所示．若小球与圆
盘只碰一次，且落在 A 点，重力加速度为g，则小球抛出时距O 的高度 h＝ ________，圆盘转动的角速度大小ω＝ ________.
12．一长 l＝ 0.80 m 的轻绳一端固定在O 点，另一端连接一质量m＝ 0.10 kg 的小球，悬点O 距离水平地面的高度H＝ 1.00 m．开始时小球处于 A 点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图所示．让小球从静
止释放，当小球运动到 B 点时，轻绳碰到悬点O 正下方一个固定的钉子P 时立刻断裂．不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝ 10 m/s2.求：
(1)当小球运动到 B 点时的速度大小；
(2) 绳断裂后球从 B 点抛出并落在水平地面上的 C 点，求 C 点与 B 点之间的水平距离；
(3)若 OP＝ 0.6 m，轻绳碰到钉子 P 时绳中拉力达到所能承受的最大拉力断裂，求轻绳能承受的最大拉力．
4
答案
1. 答案 AC
解析
小木块 a 、 b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即
f ＝ m ω 2R.当角速度增加时，静摩擦力增
大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块 a ： f a
2 l ，当
a
2 a
a
a
＝m ω f ＝kmg 时， kmg ＝ m ω
l ， ω
＝
kg
2 b
2 b
kg
；对木块 b ： f b
b
b
，所以 b 先达到最大静摩
l ＝m ω ·2l ，当 f ＝ kmg 时， kmg ＝ m ω ·2l ， ω ＝
2l
擦力，选项 A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则
f a
2 b 2 a b
＝m ω l ， f ＝ m ω ·2l ， f <f ，选项 B 错误；
kg
2kg
2 当 ω＝
2l 时 b 刚开始滑动，选项
C 正确；当 ω＝ 3l 时， a 没有滑动，则
f a ＝ m ω2l ＝ 3km
g ，选
项 D 错误． 2. 答案 C
解析 设大环半径为 R ，质量为
m 的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以
1
2
2mv ＝ mg ·2R.小环滑
mv 2
到大环的最低点时的速度为
v ＝2 gR ，根据牛顿第二定律得
F N － mg ＝ R ，所以在最低点时大环对小
mv
2
环的支持力 F N ＝ mg ＋ R ＝ 5mg.根据牛顿第三定律知， 小环对大环的压力
F N ′＝ F N ＝ 5mg ，方向向下．对
大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力 T ＝ Mg ＋ F N ′ ＝ Mg ＋ 5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为 T ′ ＝T ＝ Mg ＋ 5mg ，故选项 C 正确，选项 A 、 B 、D 错误．
3. 答案 B
解析 由题图知，质点在恒力作用下做一般曲线运动，不同地方弯曲程度不同，即曲率半径不同，
所以
速度大小在变，所以
A 错误；因是在恒力作用下运动，根据牛顿第二定律 F ＝ ma ，所以加速度不变，
根据
v ＝a t 可得在相同时间内速度的变化量相同，故 B 正确， C 错误；因加速度不变，故质点做匀
变速运动，所以 D 错误．
4. 答案 D
解析
皮带传送，边缘上的点线速度大小相等，所以
v a ＝ v b ，因为 a 轮、 b 轮半径之比为 1∶ 2，根据线 速度公式 ωa 2
v ＝ ωr 得： b
＝ ，共轴的点， 角速度相等， 两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，
2 ω 1 a 1 8 F 1 8 ω1 2 则 ω2＝
1.根据向心加速度 a ＝ r ω，则 a 2＝ 1，由 F ＝ ma 得F 2
＝
1，故 D 正确， A 、 B 、C 错误．
5. 答案 A 2
解析
小球恰好过最高点时有：
mg ＝ m v 1
R
解得 v 1 ＝
3
2 gL ①
根据动能定理得：
1 2 1 2
mg · 3L ＝ 2mv 2 － 2mv 1②
2
由牛顿第二定律得：
v 2
3T － mg ＝m
③
5
联立 ①②③ 得， T ＝ 2 3mg
故 A 正确， B 、C 、 D 错误．
6. 答案 C
解析
当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，
μmgcos 30 °－ mgsin 30 °＝ m ω2r
解得 ω＝1.0 rad/s ，故选项 C 正确．
7. 审题突破
(1)由数学知识求出小球做圆周运动的轨道半径， 由机械能守恒定律求出小球到达最低点
时的速度，然后由牛顿第二定律求出绳子的拉力．
(2)由牛顿第二定律求出小球到达最高点的速度，由
机械能守恒定律求出钉子的位置，然后确定钉子位置范围．
解析 (1) 当钉子在 x ＝ 5
l
2 ＋x 2
4 l 的 P 点时，小球绕钉子转动的半径为： R 1＝ l －
2
小球由静止到最低点的过程中机械能守恒：
mg( l ＋ R )＝ 1
mv 2
1
1
2
2
2
v 1
在最低点细绳承受的拉力最大，有：
F － mg ＝m R 1
联立求得最大拉力
F ＝ 7mg.
(2) 小球绕钉子做圆周运动恰好到达最高点时，有：
2 v 2
mg ＝ m R 2
运动中机械能守恒： mg( l － R 2)＝ 1
mv 22
2 2
钉子所在位置为 x ′ ＝ l － R 2 2
l 2
－ 2
联立解得 x ′ ＝
7
6 l
因此钉子所在位置的范围为
7
5 6 l ≤ x ≤ 4 l .
答案 (1)7 mg (2)
7
5
6 l ≤ x ≤
4 l
8. 解析 (1) 小物块自平台做平抛运动， 由平抛运动知识得： v y ＝ 2gh ＝ 2× 10× 0.032 m/s ＝ 0.8 m/ s(2
分 )
由于物块恰好沿斜面下滑，则
tan 53 ＝°
v y
(3 分 )
v 0
得 v 0＝ 0.6 m/s.(2 分 )
(2) 设小物块过圆轨道最高点的速度为v ，受到圆轨道的压力为 N.
v 2
则由向心力公式得： N ＋ mg ＝ m R (2 分)
μ mgHcos 53 °
1 2 1 2
由动能定理得： mg(H ＋ h)－ sin 53 °－ mg(R ＋ Rcos 53
)°＝2mv － 2mv 0 (5 分 )
小物块能过圆轨道最高点，必有 N ≥ 0(1 分 )
联立以上各式并代入数据得：
8
8
R ≤21 m ，即 R 最大值为 21 m ． (2 分 )
答案
(1)0.6 m/s
(2) 8
m
21
9. 答案
(1) 2gR － (mgH － 2mgR) (2)2
R
3
解析
(1) 游客从 B 点做平抛运动，有
2R ＝v B t ①
1 R ＝2gt
2 ②
由 ①② 式得
v B ＝ 2gR ③
从 A 到 B ，根据动能定理，有
1 2
mg(H － R)＋W f ＝ 2mv B － 0④
由 ③④ 式得
W f ＝－ (mgH － 2mgR)⑤
(2) 设 OP 与 OB 间夹角为 θ，游客在 P 点时的速度为 v P ，受到的支持力为 N ，从 B 到 P
由机械能守恒定
律，有
1 mg(R － Rcos θ)＝ mv
2 － 0⑥
P
2
过 P 点时，根据向心力公式，有
2 v P
mgcos θ－ N ＝ m R ⑦
N ＝0⑧
h
cos θ＝R
⑨
2
由 ⑥⑦⑧⑨ 式解得 h ＝3R ⑩
10. 答案 α≤ 30°
解析
小球在板面上运动时受绳子拉力、板面弹力、重力的作用．在垂直板面方向上合力为
0，重力在
沿板面方向的分量为
mgsin α，小球在最高点时， 由绳子的拉力和重力分力的合力提供向心力：
T ＋ mgsin
2 mv 1
α＝ l ①
研究小球从释放到最高点的过程，据动能定理：
1
2
1
2 － mglsin α＝ 2mv 1 － 2mv 0② 若恰好通过最高点绳子拉力 F T
2
＝ 0，
v 3
2
1
联立 ①② 解得： sin α＝ 0
3gl ＝ 3× 10× 0.6 ＝ 2.
故 α最大值为 30°，可知若小球能在板面内做圆周运动，倾角
α的值应满足
α≤ 30°.
11.答案gR22nπv
2v2R (n＝ 1,2,3，⋯ )
解析小球做平抛运，在直方向：
12 h＝gt ①2
在水平方向R＝ vt②
gR2
由①②两式可得h＝2v2
③
小球落在 A 点的程中， OA 的角度θ＝2nπ＝ωt (n＝1,2,3，⋯ )④
2nπv
由②④两式得ω＝R(n＝ 1,2,3，⋯ )
12.答案 (1)4 m/s (2)0.80 m (3)9 N
解析(1) 小球运到 B 点的速度大小v B，由机械能守恒定律得
12＝mgl
2mv
B
解得小球运到 B 点的速度大小v B＝2gl＝ 4 m/s
(2)小球从 B 点做平抛运，由运学律得
x＝ v B t
1
y＝ H－ l＝ gt2
解得 C 点与 B 点之的水平距离
x＝ v B 2 H － l
＝ 0.80 m g
(3) 若碰到子，拉力恰好达到最大F m，由牛定律得
2
v B
F m－mg＝m r
r ＝ l－ OP
由以上各式解得F m＝ 9 N。