4.4.2 对数函数的图象和性质-高一数学新教材课件(人教A版必修第一册)

解析:由题意,得
解得 a>2.
课堂小结
课堂建构
课堂作业 作业：完成对应练习
(2)你能解释为什么对数函数 y=logax 的图象恒过定点(1,0)吗? 由此类推函数 y=loga(x-1)的图象恒过哪个定点?
提示:根据loga1=0,知无论a(a>0,且a≠1)取何值,对数函数 y=logax的图象恒过定点(1,0).令x-1=1,则x=2,所以函数y=loga(x-1) 的图象恒过定点(2,0).
例 3 (1)如果函数 y=a-x(a>0,且 a≠1)是单调递减函数,那么 函数 f(x)=loga 的图象大致是 ( )
解析:由 y=a-x=( )x,且函数为减函数,知 0< <1. 又因为 f(x)=loga =-loga(x+1)=lo (x+1),所以函数 y=lo x 的图象向左平移 1 个单位长度即可得到 f(x)的图 象,故选 C. 答案:C
两类对数不等式的解法 (1)形如 logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当 0<a<1 时,可转化为 f(x)>g(x)>0; ②当 a>1 时,可转化为 0<f(x)<g(x). (2)形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<logaab. ①当 0<a<1 时,可转化为 f(x)>ab; ②当 a>1 时,可转化为 0<f(x)<ab.
解析:原不等式可化为 log0.7(2x)<log0.70.7<log0.7(x-1),
所以
即
解得 1<x<1.7. 答案:(1,1.7)
4.若 loga >1,则 a 的取值范围是 ( ,1) . 解析:原不等式可化为 loga >logaa. 当 a>1 时可得 a< ,此时原不等式无解. 当 0<a<1 时可得 a> ,即 <a<1. 综上,知 a 的取值范围是( ,1).
当 0<a<1 时,y=logaf(x)的单调性在 f(x)>0 的前提下与 y=f(x)的单调性相反.
跟踪训练
6.函数 f(x)=lg(
)是 ( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析:因为
+x>0,所以 f(x)的定义域为 R.
又因为 f(-x)=lg(
)=lg(
+x)=0,
(2)函数 y=lo (8+2x-x2)的值域是 [-2,+∞) .
解析:设 u=8+2x-x2,则 u=-(x-1)2+9≤9,由题意,知 u>0,所以 0<u≤9. 又因为 y=lo u 在区间(0,+∞)上为减函数,所以 lo u≥lo 9=-2,
所以 y=lo (8+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
小试牛刀
1.函数 y=lg x 与 y=lo x 的图象关于 x轴 对称.
解析:题中两个对数函数的底数互为倒数,因此它们的 图象关于x轴对称.
2.若函数 f(x)的图象与函数 y=ln x 的图象关于 x 轴对称,
lo x
则 f(x)=
.
3.若对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是减函数, 则 a 的取值范围是 (0,1) .
解析:根据对数函数的性质,知0<a<1.
4.函数 y=loga(x+1)(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 (0,0) . 解析:令x+1=1,得x=0, 则函数y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,0).
5.函数 y=ln x 的反函数是 y=ex .
解析:根据反函数的定义,知y=ln x的反函数是y=ex. 6.函数 y=10x 的反函数是 y=lg x . 解析:根据反函数的定义,知y=10x的反函数是y=lg x.
2 经典例题
例1（课本例3）
题型一 比较两个数值的大小
对数值比较大小的常用方法
(1)比较大小的对数式的底数是同一常数,真数不同, 可根据对数函数的单调性直接进行判断.
(2)在比较底数不同,真数相同的两对数的大小时,可 以用图象法,还可以利用换底公式转化为分子为 1,分母上 为底数相同,真数不同的形式,再利用函数的单调性比较两 个分母的大小,来完成比较两对数值的大小.
跟踪训练
4.如图所示,四条曲线是对数函数 y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx 的图
象,则 a,b,c,d 及 1 的大小关系为 b>a>1>d>c .
解析:由对数函数底数大小与图象位置的关系,知b>a>1>d>c.
5.函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0,且 a≠1)的图象必过 定点 (0,2) .
3、反函数 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,
且 a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
思考 3
若指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象过点(1,3),则对数函 数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象也过点(1,3)吗?
提示:根据反函数的定义,知对数函数y=logax(a>0,且a≠1) 的图象过点(3,1).
1.形如 y=logaf(x)的函数的值域或最值问题的解法
先求 f(x)的值域,取大于零的部分.再根据 y=logau(u=f(x)) 的单调性求 y=logaf(x)的值域或最值.
2.形如 y=logaf(x)的函数的单调性问题的解法
要确保 f(x)>0,当 a>1 时,y=logaf(x)的单调性在 f(x)>0 的 前提下与 y=f(x)的单调性一致.
答案:D
题型二 解对数不等式 例 2 (1)不等式 lo (5+x)<lo (1-x)的解集为 (-2,1).
解析:原不等式可化为
即
解得-2<x<1.
(2)若 loga <1,则 a 的取值范围是 (0, )∪(1,+∞) . 解析:由 loga <1,得 loga <logaa. 当 a>1 时,y=logax 是增函数,解得 a> ,所以 a>1; 当 0<a<1 时,y=logax 是减函数,解得 a< , 所以 0<a< .综上所述,0<a< 或 a>1.
4.4.2 对数函数的图象和性质
学习目标
1.能借助描点法或信息技术作出具体对数函数的图象,探索并 了解对数函数的单调性与特殊点,发展直观想象素养. 2.知道对数函数 y=logax 与指数函数 y=ax 互为反函数(其中 a>0, 且 a≠1).
1 自主学习
1、函数 y=logax 与 y=lo x 的图象间的关系 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)与 y=lo x(a>0,且 a≠1)的图
(2)已知函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 也在
函数 f(x)=3x+b 的图象上,则 f(log32)= .
解析:令 x+3=1,得 x=-2,y=-1,即定点为 A(-2,-1). 因为点 A 在函数 f(x)=3x+b 的图象上,所以 f(-2)=3-2+b=-1,得 b=- ,
所以 f(x)=3x- ,所以 f(log32)=
- =2- = .
1.对数函数的图象过定点问题
当所求函数 y=m+logaf(x)(a>0,且 a≠1)的图象过定点时, 只需令 f(x)=1 求出 x,即得定点为(x,m).
2.根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线 y=1,与所给图象相交,交点的横坐标即为各个 底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的 底数逐渐变大,可比较底数的大小.
跟踪训练 3.解不等式 loga(x-1)≤loga(6-2x)(a>0,且 a≠1).
解:①当 a>1 时,不等式等价于
解得 1<x≤ ;
②当 0<a<1 时,不等式等价于
解得 ≤x<3.
综上可得,当 a>1 时,不等式的解集为 ; 当 0<a<1 时,不等式的解集为 .
题型三 对数函数图象和性质
(3)若两个对数的底数与真数都不相同,则需借助中间 量间接地比较两对数值的大小,常用的中间量有 0,1,-1 等.
跟踪训练 1.若 a=log2π,b=lo π,c=π-2,则 ( )
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 解析:因为 log2π>1,lo π<0,0<π-2<1,所以 a>c>b,故选 C.
象间的关系 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)与 y=lo x(a>0,且 a≠1)的图
象关于 x轴 对称.
思考 1
如何从数的角度说明函数 y=logax 与 y=lo x 的图象关于
x 轴对称? 提示:因为点(x,y)与点(x,-y)关于 x 轴对称,且 y=lo x=-logax,
所以 y=logax 图象上任一点 P(x,y)关于 x 轴的对称点 P1(x,-y)都 在 y=lo x 的图象上,反之亦然,由此可知,底数互为倒数的两个 对数函数的图象关于 x 轴对称.
答案:C
2.若 a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是( )
A.b<a<c C.c<b<a
B.a<b<c D.b<c<a
解析:因为函数y=log4x是增函数,
所以log23=log49>log46>1.
又因为log32<1,所以b<c<a,故选D.
答案:D
3.解不等式 log0.7(2x)<1<log0.7(x-1)。
解析:令2x+1=1,得x=0, 此时f(0)=2, 即原函数的图象过定点(0,2).
题型四 对数函数性质的综合应用
例 4 (1)若函数 f(x)=log2(x+ a= ±1.
)是奇函数,则
解析:由函数 f(x)是奇函数,得 f(-x)=-f(x),
所以 log2(
-x)+log2(
即 log2a2=0,所以 a2=1,解得 a=±1.
5.函数 f(x)=lo (x2+2x+3)的值域是 (-∞,-1] . 解析:f(x)=lo (x2+2x+3)=lo [(x+1)2+2], 因为(x+1)2+2≥2,所以 lo [(x+1)2+2]≤lo 2=-1, 所以函数 f(x)的值域是(-∞,-1].
6.若函数 f(x)=log2(ax-2)在区间[1,3]上是增函数,则实数 a 的取 值范围是 (2,+∞) .
)=lg(
+x),
且 f(-x)+f(x)=lg(
+x)+lg(
)
=lg[(
+x)·(
)]=lg1=0,
所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数. 答案:A
3 当堂达标
1.函数 y=x+a 与 y=logax 的图象只可能是下面选项中的( )
A
B
C
D
解析:选项A中,由y=x+a的图象,知a>1, 由y=logax的图象知0<a<1,选项A不符合题意; 选项B中,由y=x+a的图象,知0<a<1, 由y=logax的图象知a>1,选项B不符合题意; 选项C中,由y=x+a的图象,知0<a<1, 由y=logax的图象知0<a<1,所以选项C符合题意; 选项D中,由y=x+a的图象,知a<0, 由y=logax的图象知a>1,选项D不符合题意.
答案:C
2.若 a=log32,b=log52,c=log23,则 ( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 解析:由 1<log23<log25,得 1> > , 即 1>log32>log52.又因为 log23>1, 所以 log23>log32>log52,即 c>a>b,故选 D.
(3)函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (4,+∞) .
解析:由 x2-2x-8>0,得 x>4 或 x<-2,即 x∈(-∞,-2)∪(4,+∞). 令 u=x2-2x-8,则 u=(x-1)2-9, 则 u 在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增. 又因为当 u∈(0,+∞)时,y=ln u 单调递增, 所以当 x∈(4,+∞)时,y=ln(x2-2x-8)单调递增.
2、对数函数的图象和性质
对数函数
0<a<1
a>1
图象
定义wk.baidu.com 值域
性质
(0,+∞)
R 过定点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0
减函数
增函数
思考 2
(1)在第一象限内观察函数 y=log2x,y=log3x,y=lo x,y=lo x 的
图象,你能发现底数的大小与图象左右位置的关系吗? 提示:底数越大,图象越靠右边.