2导数和数列综合问题构造函数法

导数和数列不等式的综合问题解决技巧之

构造函数法

1．已知曲线22

:20(1,2,

)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为

(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2

）证明：13521n n n

x

x x x x y -⋅⋅⋅<

<． 【解析】曲线222

:()n C x n y n -+=是圆心为(,0)n ，半径为

n 的圆，

切线:(1)n n l y k x =+ n =，解得22

21

n

n k n =+，又2220n n n x nx

y -+=， (1)n n n y k x =+ 联立可解得,11

n

n n n x y

n n =

=++，

=

n n x y = 先证：13521n x x x x -⋅⋅⋅

⋅

<

证法一：利用数学归纳法 当1n =

时，112x =

< 假设n k =时，命题成立，即13521k x x x x -⋅⋅⋅

⋅<

则当1n k =+时，135212121k k k x x x x x x -

++⋅⋅⋅

⋅<

=

∵22

22416161483

k k k k

++=>

++，

故

2(2)k <

=

+． ∴当1n k =+时，命题成立，故13521

n x x x x

-⋅⋅⋅

⋅<

成立． ==

121

214)12(4)12(2122

222+-=--<-=-n n n n n n n n ， n

n n x x n n n n n x x x x +-=

+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=

⋅⋅⋅⋅-11121

1

21

253

312124

32112

531

<

不妨设(0,3t =

，令()f t t t =，

则()10f t t

'=<在(0,]3

t ∈上恒成立，故()f t t

t =在(0,3

t ∈上单调递减，

从而()

(0)0f t

t t f =<=

< 综上，13521n n n

x

x x x x y -⋅⋅⋅⋅<

<成立．

2．设函数2()2(1)ln (),()k f x x x k N f x *

'=--∈表示()f x 的导函数．

（I ）求函数()y f x =的单调递增区间；

（Ⅱ）当k 为偶数时，数列{n a }满足2111,()3n n n a a f a a +'==-，求数列{2

n a }的通

项公式；

（Ⅲ）当k 为奇数时， 设()1

2

n b f n n '=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明不等式

()1

1

1n b

n b e ++>对一切正整数n 均成立，并比较20091S -与2009ln 的大小．

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）， 又212[(1)]()22(1)k k

x y f x x x x

--''==--= ， 0

1 当k 为奇数时，22(1)

()x f x x

+'=

， (0,),()0(0,)x f x '∈+∞∴>+∞在恒成立.即()f x '的单调递增区间为(0,)+∞．

2 当k 为偶函数时，22(1)2(1)(1)

()x x x f x x x

-+-'=

= (0,),0,10,x x x ∈+∞>+>又

由()0f x '>，得10,1x x -> ∴>，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞， 综上所述：当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞， 当k 为偶数时，()f x 的单调递增区间为(1,).+∞

（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知22(1)()x f x x -'=， 所以2

2(1)

().n n n a f a a -'=

根据题设条件有222222

1112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+ ∴{2

1n a +}是以2为公比的等比数列，

∴221211(1)22,2 1.n n n

n n a a a -+=+⋅= ∴=-

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x

'=+

11111(),1.223n n b f n n S n n

'∴=

-= =+++⋅⋅⋅+ 由已知要证1

11,n e n +⎛⎫+> ⎪

⎝⎭

两边取对数，即证11ln 1,1

n n ⎛⎫

+>

⎪+⎝⎭ 事实上：设11,t n +

=则1(1),1

n t t =>- 因此得不等式1

ln 1(1)t t t >-> …………………………………………①

构造函数1

()ln 1(1),g t t t t

=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．

211()0,g t t t '=->∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >=即1ln 1,t t

>-

∴ 11ln 1,1n n ⎛⎫+>

⎪+⎝⎭ ∴1

11,n e n +⎛⎫

+> ⎪⎝⎭

即()11

1n b n b e ++>成立．

由11ln

,1n n n +>+得111231

ln ln ln ln(1),23112n n n n

+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++ 即11ln(1),n S n +-<+当2008n =时，20091S -<2009.ln

3．已知0a >，函数1()ln x

f x x ax

-=

+． （Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；

（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n S ，求证：

111()(2)n n n

S f n S n N n n

---<-

<∈*≥且 解：

（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，2

1()ax f x ax

-'=

，由()0f x '=得1

x a =． 当1

(,)x a a

∈时，()0f x '<，()f x 递减； 当1(,)x a

∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增． 所以()y f x =不是定义域上的单调函数．

（Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1

a x

≥恒成立． 即1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭

1

1x

∴≤ 1a ∴≥． （Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x

f x x x

-=

+在[1,)+∞上为增函数， 111()ln ln ,n n n

f n n n n n n

----=+-=

又当1x >时，()(1)f x f >， 1l n 0

x x x -∴+>，即1

ln 1x x >-． 令()1ln ,g x x x =--则1

()1g x x

'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>

从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，

所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->

综上有：11ln 1,(1).x x x x -

<<-> 111ln .1x x x x

+∴<<+ 令1,2,...,1,(2)x n n N n *

=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x

+∴<<+也成立， 于是代入，将所得各不等式相加，得

1112311

...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++-- 即11111

...ln 1. (2321)

n n n +++<<+++

- 即111()(2).n n n

S f n S n N n n

*---<-<∈≥且

4．设函数()(1),()x

f x e x

g x e =-=．（e 是自然对数的底数）

（Ⅰ）判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1(0,1)a ∈，且1()(),,n n f a g a n N *

+=∈

①求证：01n a <<；②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．