2023-2024学年四川省雅安市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年四川省雅安市高一上册期末数学试题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合
{3213,Z}
x x x -<-<∈用列举法表示为（）A.{2,1,0,1,2}-- B.{1,0,1,2}
- C.{0,1}
D.{1}
【正确答案】C
【分析】直接求出集合中的元素即可.
【详解】{}{3213,Z}{12,Z}0,1x x x x x x -<-<∈=-<<∈=.故选：C.2.
函数y =定义域为（
）
A.(1,2)-
B.(1,2]
- C.(1,2)
D.(1,2]
【正确答案】A
【分析】由2
10
40x x +>⎧⎨->⎩
计算得解.【详解】由210
40x x +>⎧⎨->⎩
得12x -<<
，所以函数y =定义域为(1,2)-.故选：A.3.若a b >，则（）
A.22a b >
B.33a b
< C.n 0
()l a b -> D.33
a b >【正确答案】D
【分析】取特殊值排除AC ，a b >，则33a b >，B 错误，根据幂函数的单调性得到D 正确，得到答案.
【详解】对选项A ：取1,2a b ==-，满足a b >，22a b >不成立，错误；对选项B ：a b >，则33a b >，错误；
对选项C ：取1,0a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，错误；对选项D ：a b >，则33a b >，正确.故选：D 4.命题2:,10p x x x ∃∈-+=R 的否定为（
）
A.2,10x x x ∀∈-+=R
B.2,10x x x ∀∈-+≠R
C.
2,10
x x x ∃∈-+≠R D.
2,10
x x x ∃∉-+≠R 【正确答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.【详解】命题2:,10p x x x ∃∈-+=R 的否定为2,10x x x ∀∈-+≠R .
故选：B 5.已知0.95
0.95 1.950.95, 1.05,log 0.95a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A.a c b
<< B.c<a<b
C.a b c
<< D.
b a c
<<【正确答案】B
【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案.
【详解】根据幂函数0.95y x =在(0,)+∞上为增函数，可得0.950.9500.95 1.05<<，即0a b <<，又 1.95 1.95log 0.95log 10c =<=，所以c<a<b .故选：B
6.已知3log 21x =，则4x =（）
A.9
B.3
C.
D.
1
3
【正确答案】A
【分析】计算得到231
log 3log 2
x =
=，代入得到2log 942x =，得到答案.
【详解】3log 21x =，即231
log 3log 2
x ==，222log 32log 3log 944229x ====.
故选：A 7.“函数
2()318f x x m x =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.【详解】由函数
2
()318f x x
m x =-+在区间(0,3)上不单调，
可得3
032
m <<，即02m <<；由02m <<，得3
032
m <
<，得函数2()318f x x m x =-+在区间(0,3)上不单调，所以“函数2()318f x x m x =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的充分且必要条件.
故选：C
8.通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y （单位：升/小时）与液体所处环境的温度x （单位：C ︒）近似地满足函数关系e ax b y +=（e 为自然对数的底数，a ，b 为常数）.若该液体在
10C 的蒸发速度是0.2升/小时，在20C ︒的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸
发速度为（）
A.0.5升/小时
B.0.6升/小时
C.0.7升/小时
D.0.8升/
小时
【正确答案】D
【分析】由题意可得1020e 0.2
e
0.4a b a b ++⎧=⎨=⎩，求出,a b ，再将30x =代入即可得解.
【详解】由题意得1020e 0.2
e 0.4a b a b ++⎧=⎨=⎩
，
两式相除得10e 2a =，所以e 0.1b =，当30x =时，()
3
3010e e e 0.8a b a
b +=⋅=，
所以该液体在30C ︒的蒸发速度为0.8升/小时.故选：D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A.2y x
=- B.3
y x = C.||
y x = D.
22x x
y -=-【正确答案】BD
【分析】根据奇函数的定义判断函数奇偶性，利用单调性的定义和性质判断函数的增减性.【详解】选项四个函数定义域都是R ，
函数2y x =-的斜率为-2，在R 上单调递减，故A 错误；
函数3()f x x =，()3
3()()0f x f x x x +-=+-=，则3()f x x =是奇函数，
任取12x x <，则3322
2121212121()()()()0f x f x x x x x x x x x -=-=-++>，所以3
()f x x =在R 上单调递增；故B 正确；
,0
,0x x y x x x -≤⎧==⎨>⎩
，则||y x =在(],0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增，故C 错误；
()22x x g x -=-，则()()
()()22220x x x x
g x g x --+-=-+-=，所以()g x 是奇函数，
因为2x y =单调递增，2x
y -=单调递减，所以()g x 在R 上单调递增，故D 正确.故选：BD .
10.下列命题中正确的有（
）
A.集合{,}a b 的真子集是{},{}
a b
B.{x
x ∣是菱形}{x x ⊆∣是平行四边形}C.设,,{1,},{1,}a b A a B b ∈==-R ，若A B =，则2a b -=-D.{
}
2
10,x x x ∅∈+=∈R 【正确答案】BC
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A 不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B 正确；根据集合相等的概念求出,a b ，可知C 正确；根据{
}
2
10,x x x +=∈=∅R 可知D 不正确.
【详解】对于A ，集合{,}a b 的真子集是{},{}a b ，∅，故A 不正确；
对于B ，因为菱形一定是平行四边形，所以{x
x ∣是菱形}{x x ⊆∣是平行四边形}，故B 正确；
对于C ，因为{1,},{1,}A a B b ==-，A B =，所以1,1a b =-=，2a b -=-，故C 正确；对于D ，因为x 是实数，所以210x +=无解，所以{
}
2
10,x x x +=∈=∅R ，故D 不正确.故选：BC
11.设函数2()f x x bx c =++满足(0)1,(3)()f f x f x =--=，则下列结论正确的是（
）
A.10
b c -+< B.,()3x f x x ∀∈≥--R C.若1a ≥，则,()x f x ax ∀∈≥R D.若0,()x kf x x ∀>≥，则1
5
k ≥
【正确答案】ABD
【分析】根据(0)1,(3)()f f x f x =--=求出b c 、，继而判断A ；对于B.根据2(2)0x +≥化简得解；对于C.根据判别式小于等于0计算即可；对于D.0,()x kf x x ∀>≥等价于
113k x x
≥
++，借助基本不等式计算得解.
【详解】(0)1f c ==，3
322
b b -
=-∴= ，所以2()31f x x x =++对于A.10b c -+<，所以A 正确；
对于B.22(2)44x x x +=++23130x x x =++++≥，所以对于,()3x f x x ∀∈≥--R ，所以B 正确；
对于C.,()x f x ax ∀∈≥R 等价于()2
310x a x +-+≥恒成立，
所以2(3)4015a a --≤∴≤≤，所以C 错误；.对于D.0,()x kf x x ∀>≥等价于
221
(31),1313
x k x x x k x x x x
++≥≥=
++++∴1135,5
x k x ++≥≥
∴ 当且仅当1
x x
=即1x =时，等号成立故选：ABD.
12.已知函数41
()2
x x f x +=，则（）
A.()f x 的图象关于y 轴对称
B.2y =与()f x 的图象有唯一公共点
C.5()2f x <的解集为1,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D.(ln 15)(ln 3ln 6)
f f -<+【正确答案】ABD
【分析】利用偶函数的定义可判断A 正确；解方程()2f x =可判断B 正确；解不等式5
()2
f x <
可判断C 不正确；先证明()f x 在(0,)+∞上为增函数，再根据对数知识以及()f x 的单调性和奇偶性可判断D 正确.
【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，
又4114()()22x x
x x
f x f x --++-===，
所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；
由4122
x x
+=，得()222210x x -⋅+=，得()2210x
-=，得21x =，得0x =，所以2y =与()f x 的图象有唯一公共点(0,2)，故B 正确；
由5()2f x <，得41522
x x +<
，得()
2
225220x
x ⋅-⋅+<，得()()222210x x
-⋅-<，
得
1222
x <<，得11x -<<，即5
()2f x <的解集为()1,1-，故C 不正确；
设120x x >>，则1212
124141()()22x x x x f x f x ++-=-
12
12112222x x x x =-+-211
2
1222222
x x x x x x +-=-+()121212212x x x x
+⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，因为120x x >>，所以12220x x ->，1221x x +>，12
1102x x +->，
所以(
)12
12
122
12
x
x x x +⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
0>，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,)+∞上为增函数，
因为ln3ln 6ln18ln15+=>，()f x 为偶函数，所以(ln 3ln 6)(ln15)(ln15)f f f +>=-，故D 正确.故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知2()2x f x x =+，则[(1)]f f =___________.【正确答案】17
【分析】直接计算得到答案.
【详解】2()2x f x x =+，()1213f =+=，()3
2
[(1)]3238917f f f ==+=+=.
故17
14.已知幂函数(
)
2
1
1m y m m x
+=+-在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的值为___________.
【正确答案】1
【分析】根据幂函数的概念以及幂函数在(0,)+∞上的单调性可得结果.【详解】根据幂函数的定义可得211m m +-=，解得2m =-或1m =，当2m =-时，1y x -=在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m =时，2y x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意.故答案为.1
15.某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m （件）与售价x （元）满足一次函数1002m x =-，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为___________元.【正确答案】40
【分析】根据题意求出某商场每天获得销售利润y 关于售价x 的函数关系式，再根据二次函数知识可求出结果.
【详解】设某商场每天获得销售利润为y （元），
则()()3030(1002)y x m x x =-=--224020(0)x =--+，因为30x >，所以当40x =（元）时，y 取得最大值为200（元）.所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元.故40
16.已知函数222,,
()432,.x
x a f x x x x a ⎧-≥⎪=⎨⎪-+<⎩
若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
___________.
【正确答案】3a >或12
a <≤【分析】先求出2204
x
-=和2320x x -+=的根，再根据()f x 恰有2个零点，以及()f x 的
解析式可得a 的范围.
【详解】又2204
x
-=，得28x =，得3x =；
由2320x x -+=，得(1)(2)0x x --=，得1x =或2x =，因为()f x 恰有2个零点，
所以若1x =和2x =是函数()f x 的零点，则3x =不是函数()f x 的零点，则3a >；若1x =和3x =是函数()f x 的零点，则2x =不是函数()f x 的零点，则12a <≤，若2x =和3x =是函数()f x 的零点，1x =不是函数()f x 的零点，则不存在这样的a .综上所述：实数a 的取值范围是3a >或12a <≤.故3a >或12a <≤.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知集合211,{1}3x A x B x a x a x ⎧⎫
-=≤=<<+⎨⎬-⎩⎭
.
（1）求集合A ；
（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{23}A x x =-≤<（2）[2,2]
-【分析】（1）根据分式不等式的解法解不等式，即可得出集合A ；
（2）由A B B = ，得B A ⊆，再根据集合的包含关系列出不等式即可得解.【小问1详解】由
2113x x -≤-有21
103x x --≤-，即203
x x +≤-，所以(2)(3)030
x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得23x -≤<，
所以集合{23}A x x =-≤<；【小问2详解】
因为A B B = ，所以B A ⊆，
由（1）知{23}A x x =-≤<，而{1}B x a x a =<<+，显然B ≠
∅，
则有213a a ≥-⎧⎨+≤⎩
，解得22a -≤≤，
即实数a 的取值范围是[2,2]-.
18.已知函数()f x 与2log y x =互为反函数，记函数()(2)3()2g x f x f x =-+.（1）若()0g x ≤，求x 的取值范围；（2）若[0,2]x ∈，求()g x 的最大值.【正确答案】（1）[0,1]（2）最大值为6
【分析】（1）根据题意可得()2x f x =，根据一元二次不等式结合指数函数单调性解不等式；（2）换元令2x t =，结合二次函数求最值.【小问1详解】
因为()f x 与2log y x =互为反函数，则()2x f x =，故2()2
322x
x g x =-⋅+.
不等式()0g x ≤，即为223220x x -⋅+≤，
即()()
21220x
x
--≤，解得122x ≤≤，故01x ≤≤，
所以x 的取值范围是[0,1].【小问2详解】令2
,[0,2]x
t x =∈，则[1,4]t ∈，
函数()g x 等价转化为2
()32,[1,4]h t t
t t =-+∈，
则2
2
31
()32,[1,4]24
h t t t t t ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭，
所以当4t =时，()h t 取得最大值(4)6h =，故当[0,2]x ∈时，函数()g x 的最大值为6.
19.已知()23
203422
7log 20log 58981(lg 5),log 4912b a b -+-=-⋅-=-.（1）求a ，b 的值；
（2）若(1)3c a +=，用b ，c 表示49log 18的值.
【正确答案】（1）6a =，7log 4
b =（2）14
c b +【分析】（1）根据指数和对数的运算性质可求出a ，b 可得结果；
（2）根据指数式与对数式的互化以及对数的运算性质可得结果.
【小问1详解】
因为2
3
2034
22log 20log 58981(lg5)a -+-=-⋅-，所以()322()3243220log 329915
a ⨯-+=⨯-⨯-，所以1
2
21291a +=--，所以21231a +=--，所以6a =，因为()7log 4912b b =-，所以()27712b b =-，即(74)(73)0b b -+=，
解得74b =，73b =-（舍去），
故7log 4b =.
【小问2详解】
由（1）知，6a =，7log 4b =，
所以73c =，所以7log 3c =，
所以()
22497771log 18log 32log 3log 22
=⨯=+7711log 3log 444c b =+=+.20.设函数2()f x x ax b =-+，已知不等式()0f x <的解集是{12}x x <<.
（1）求不等式210bx ax -+>的解集；
（2）对任意12,x x ∈R ，比较122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭与()()122f x f x +的大小.【正确答案】（1）1{|2x x <
或}1x >（2）()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
【分析】（1）化为1,2x x ==是方程20x ax b -+=的解，求出,a b ，再解不等式22310x x -+>可得结果；
（2）作差比较可得结论.
【小问1详解】
因为不等式20x ax b -+<的解集是{12}x x <<.
所以1,2x x ==是方程20x ax b -+=的解，
由韦达定理得：3,2a b ==，
故不等式210bx ax -+>为22310x x -+>，解得其解集为1{|2
x x <
或}1x >.【小问2详解】
由（1）知，2()32f x x x =-+，所以
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭22212121122323232222x x x x x x x x ++-++-+⎛⎫=-⋅+- ⎪⎝⎭
222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=-≤，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
.21.在“①函数()f x 是偶函数；
②函数()f x 是奇函数.”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题.
已知函数()lg(1)lg(1)f x x k x =++-，且___________.
（1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 在(0,1)上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【正确答案】（1）选①，()2()lg 1,(1,1)f x x
x =-∈-，选②，1()lg ,(1,1)1x f x x x
+=∈--.（2）答案见解析【分析】（1）选①，解法一：由1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f f ，求出1k =，检验后即可；解法二：由()()f x f x -=求出1k =；
选②，解法一：由1122f f ⎛⎫⎛⎫-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出1k =-，检验后即可；解法二：由()()0f x f x -+=求出1k =-；
（2）由定义法求解函数的单调性步骤，取值，作差，判号，下结论.
【小问1详解】
若选择①函数()f x 是偶函数.
解法一：根据题意，易得函数()f x 的定义域为(1,1)-.
由()f x 为偶函数，因此1122⎛⎫⎛⎫-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，所以1331lg lg lg lg 2222
k k +=+，解得1k =，经检验1k =符合题设，
所以()2()lg(1)lg(1)lg 1,(1,1)f x x x x x =++-=-∈-.
解法二：由题，()()f x f x -=在(1,1)-上恒成立，
则lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)x k x x k x -++=++-恒成立，则有11lg lg 11x x k x x ++=--，即1(1)lg 01x k x
+-=-恒成立，所以，1k =.
所以()2()lg(1)lg(1)lg 1,(1,1)f x x x x
x =++-=-∈-.
若选择②函数()f x 是奇函数.
解法一：根据题意，易得函数()f x 的定义域为(1,1)-.
由()f x 为奇函数，因此1122f f ⎛⎫⎛⎫-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1331lg lg lg lg 2222
k k +=--，解得1k =-，经检验1k =-符合题设，所以1()lg(1)lg(1)lg
,(1,1)1x f x x x x x +=+--=∈--.解法二：()()0f x f x -+=在(1,1)-上恒成立，
lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)0x k x x k x -+++++-=恒成立，
即()2(1)lg 10k x
+-=恒成立，所以，1k =-.所以1()lg(1)lg(1)lg
,(1,1)1x f x x x x x +=+--=∈--.【小问2详解】
若选择①，函数()2()lg 1f x x =-在(0,1)上单调递减.
证明：12,(0,1)x x ∀∈，且12x x <，有
()()()()22222112121211x x x x x x x x ---=-=+-，
由1201x x <<<，得12120,0x x x x +>-<，
所以()()12120x x x x +-<，
于是22
12110x x ->->，所以222
11011x x -<<-，所以()()()()22222121211lg 1lg 1lg lg101x f x f x x x x --=---=<=-，即()()12f x f x >，
所以，函数()2()lg 1f x x
=-在(0,1)上单调递减.若选择②，函数1()lg 1x f x x
+=-在(0,1)上单调递增.
证明：12,(0,1)x x ∀∈，且12x x <，则()()()()()()()()()
211221212121211111211111111x x x x x x x x x x x x x x +--+--++-==------由1201x x <<<，得21210,10,10x x x x ->->->，
所以()()()
21212011x x x x ->--，即212111011x x x x ++>>--，于是2211
11111x x x x +->+-，所以()()2212211211
1111lg lg lg lg101111x x x x f x f x x x x x +++--=-=>=+---，即()()12f x f x <，所以函数1()lg 1x f x x
+=-在(0,1)上单调递增.22.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.
（1）求函数32()32f x x x =-+图象的对称中心；
（2）若（1）中的函数()f x 与1()1g x x
=-的图象有4个公共点()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y ，求1234y
y y y +++的值；（3）类比题目中的结论，写出：函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称图形的充要条
件（写出结论即可，不需要证明）.
【正确答案】（1）(1,0)
（2）0
（3）函数()y f x a =+为偶函数
【分析】（1）设对称中心坐标为(,)a b ，根据题意得到()y f x a b =+-为奇函数，得到32660 26420
a a a
b -=⎧⎨-+-=⎩，解得答案.（2）确定函数()f x 与()g x 图象4个公共点也关于(1,0)对称，得到答案.
（3）根据奇函数的对称类比得到答案.
【小问1详解】
设对称中心坐标为(,)a b ，由题意可知，()y f x a b =+-为奇函数，
对任意R,()()x f x a b f x a b ∈-+-=-++恒成立，
即3232()3()2()3()2x a x a b x a x a b -+--++-=-+++-+，
所以232(66)26420a x a a b -+-+-=恒成立，
则32660 26420a a a b -=⎧⎨-+-=⎩
，解得1,0a b ==.函数32()32f x x x =-+图象的对称中心为(1,0).
【小问2详解】对于函数1()1g x x =-，有11(1)1(1)g x x x
+==--+为奇函数.所以函数()g x 图象关于点(1,0)对称，
则函数()f x 与()g x 图象4个公共点也关于(1,0)对称，所以12340y y y y +++=.
【小问3详解】
函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称图形的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数.。