人教版高中数学选修4-5第3讲 柯西不等式与排序不等式2ppt课件

2．若 a21＋a22＋…a2n＝1，b21＋b21＋…＋b2n＝4，则 a1b1＋a2b2
＋…anbn 的最大值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案： C
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析： 3a＋ 2b＋ c
＝
3

a1·1a1＋
a2·1a2＋…＋
an·1an2＝n2.
于是a1＋a2n＋…an≥a11＋a12＋n …＋a1n.
②
由①，②知原不等式成立．
柯西不等式的几何背景
柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不 等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等 式．设 α＝(a1，a2，…，an)，β＝(b1，b2，…bn)，由|α|·|β|≥|α·β|， 可得i∑＝n1a2i i∑＝n1b2i ≥(∑i＝n1aibi)2.
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2.
①
∵0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得
n(12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x)
≥(12 ＋ 12 ＋ … ＋ 12){(1x)2 ＋ (2x)2 ＋ … ＋ [(n － 1)x]2 ＋
(a·nx)2}≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
∴要证
f(2x)≥2f(x)，只要证
12x＋22x＋…＋n－12x＋a·n2x
lg
n
≥2lg1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx，
即证12x＋22x＋…＋nn－12x＋a·n2x
≥1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx2，
也即证 n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
a＋
2b＋
1 3
3c
≤
3＋1＋31a＋2b＋3c
＝ 39，故最大值为 39.
答案： 39
4．已知正实数 a，b，c 满足条件：a＋b＋c＝3， 求证： a＋ b＋ c≤3. 证明： 根据柯西不等式 ( a＋ b＋ c)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1) 因为 a＋b＋c＝3， ∴( a＋ b＋ c)2≤9， 则 a＋ b＋ c≤3， 当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号．
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2
＝(a＋b＋c)2，即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
又 a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c＞0，∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
1．已知正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，求证 a3＋b3＋
c3≥a2＋b32＋c2. [思路点拨]
(a21＋a22＋…＋a2n)12(1＋1＋…＋1)21
≥(a1＋a2＋…＋an)，
于是 a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an，
即得 a12＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an.
①
再次由柯西不等式得
(a1＋a2＋…＋an)a11＋a12＋…＋a1n≥
• 2．已知x＋4y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值．
• [思路点拨] 利用柯西不等式求最值时，关键是对原 目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时， 要注意等号成立的条件．
解析： 根据已知条件和柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋42＋32)≥(x＋4y＋3z)2＝4， 所以 x2＋y2＋z2≥246＝123， 当且仅当1x＝4y＝3z，即 x＝113，y＝143，z＝133时， x2＋y2＋z2 的最小值是123.
又因为 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，在此不等式两边同乘以 2， 再加上 a2＋b2＋c2 得，(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)．
∵(a2＋b2＋c2)2≤(a3＋b3＋c3)·3(a2＋b2＋c2)， 故 a3＋b3＋c3≥a2＋b32＋c2.
利用柯西不等式求最值
设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4 ＋ 5z＋6的最大值．
柯西不等式的形式的特点
• 从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量 的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运 算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和 方”．等号成立条件比较特殊，要牢记．此外应注 意在这个式子里不要求各项均是正数．
柯西不等式的应用
• 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式 时是经常使用的理论根据，但我们在使用柯西不等 式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子 的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构， 继而达到使用柯西不等式的目的．在应用柯西不等 式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要 善于构造，技巧如下：
[思路点拨] 解答本题的关键是研究如何去掉根号，并且 正确应用结构 2x＋3y＋5z，最后转化为能利用柯西不等式的形 式．
[解题过程] 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30. 当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即 x＝367，y＝298，z＝2125时等号成立， 此时 umax＝2 30.
•二 一般形式的柯西不等式
目标定位
• 1.认识一般形式的柯西不等式的几种表现形式． • 2.理解一般形式的柯西不等式的几何意义． • 3.会用一般形式的柯西不等式进行简单的数学应用.
• 1.一般形式的柯西不等式的应用．(重点) • 2.常与不等式的性质、最值问题等综合考查． • 3.等式中“＝”号成立的条件．(易错点)
即①式显然成立，故原不等式成立．
3．设 a1，a2，…，an 为实数，运用柯西不等式证明： a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an≥a11＋a12＋n …＋a1n.
[思路点拨] 对于较复杂的证明问题，可采用“分析法” 进行“抽丝剥茧”，从而找到柯西不等式的结构．
证明： 由柯西不等式
2．一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21 ＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥_(_a1_b_1＋__a2_b_2＋__a3_b_3 ______ __＋_…_＋__a_nb_n)_2 ________，当且仅当_bi_＝_0_(i_＝_1_,2_,3_，__…_，_n_)或__存_在__一________ ___个_数__k，__使_得__a_i＝_k_b_i(_i＝_1_,2_,_3，__…_，_n_)_______________时，等号成立．
利用柯西不等式处理综合问题
设 f(x)＝lg1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx，若 0≤a≤1， n∈N＋且 n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．
[思路点拨] 解答本题首先要把结论 f(2x)≥2f(x)具体化， 然后结合柯西不等式处理．
[解题过程] ∵f(2x)＝lg12x＋22x＋…＋nn－12x＋a·n2x
3．Rn 中柯西不等式的向量形式，记 Rn＝{α|α＝(a1，a2，…， an)，aj∈R，j＝1,2，…，n}．
称 α 为 Rn 中的向量，aj(j＝1,2，…，n)称为 α 的分量．当 α 的 n 个分量都是零时，称其为零向量，记为 0.
设 α，β 为 Rn 中的向量，λ∈R， 令 α＝(a1，a2，…，an)，β＝(b1，b2…，bn)．
• ①巧拆常数； • ②重新安排某些项的次序； • ③结构的改变从而达到使用柯西不等式； • ④添项．
柯西不等式有两个很好的变式
n
ai2
n
变式 1：设 ai∈R，bi＞0(i＝1,2，…，n)，
i＝1
ab2ii ≥
i＝1 n
，
bi
i＝1
当且仅当 bi＝λai 时，(1≤i≤n)等号成立．
3．二维柯西不等式的三角形式
设 x1，y1，x2，y2∈R， 那么 x12＋y12＋ x22＋y22≥_____x1_－__x_2_2_＋___y1_－__y_2_2___.
1．三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋ b23)≥_(_a_1b_1＋__a_2b_2＋__a_3b_3_)2______.当且仅当b_1_＝_b_2＝__b_3＝__0_或_存__在_一__个______ _数__k，__使_得__a_1＝__kb_1_，_a_2＝__k_b2_，_a_3_＝_k_b_3 ___________时，等号成立．
预习学案
• 1．二维形式的柯西不等式的代数形式
• 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋ (ac＋bd)2
d2)≥_________，当且仅当_____________时，等号成
立．
ad＝bc
• 2．二维形式的柯西不等式的向量形式
• 设α，β是两个向量，则|α·β|≤_____|_α_||_β|_，当且仅当 _β_是_零_向__量______或__存_在_实__数_k_，_使_α_＝_k_β____________时，等 号成立．
1．已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小
值为( )
A．24
B．30
C．36
D．48
解 析 ： 利 用 柯 西 不 等 式 ， (x ＋ y ＋ z) 1x＋4y＋9z ≥ x·1x＋ y·2y＋ z·3z2＝36，
∴1x＋4y＋9z≥36，当且仅当 x2＝41y2＝19z2，即 x＝16， y＝13，z＝21时等号成立． 答案： C
柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…
＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥( a1b1＋ a2b2＋…＋ anbn)2，其中 ai，
bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时，准确构造左侧
的两组数是解决问题的关键．
证明： 利用柯西不等式 (a2＋b2＋c2)2 ＝(a32a21＋b32b21＋c32c12)2 ≤[(a32)2＋(b32)2＋(c32)2][a＋b＋c] ＝(a3＋b3＋c3)(a＋b＋c)2(因 a＋b＋c＝不为 0(i＝1,2，…，n)，则：
i＝1
ai bi
n
ai2
i＝1
≥
，当且仅当 bi＝λ 时，等号成立.
n
aibi
i＝1
课后练习
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课堂学案
利用柯西不等式证明有关的不等式
设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. [思路点拨] 解答本题时要先分析柯西不等式的结构特 征，构造两组数的积的形式，然后以柯西不等式求解即可．
[解题过程] ∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝ ab2＋ bc2＋ ca2·[( b)2＋( c)2＋( a)2]
则 α·β＝a1b1＋a2b2＋…anbn， 称其为向量 α 与 β 的内积，特别地： α·α＝a21＋a22＋…＋a2n≥0， α·α＝0⇔a1＝a2＝…＝an＝0⇔α＝0， 记|α|＝ a21＋a22＋…＋a2n. 定理(柯西不等式的一般(向量)形式)：设 α，β∈Rn，则 |α||β|≥_|_α·_β_| ____，当且仅当__α_，__β共__线________时，等号成立．