第七章 静电场02-高斯定理

i =1 n
（4）仅高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献。 对通过高斯面的电通量有贡献。 ） 高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献 高斯面内外所有电荷有关 电荷有关。 （5）高斯面上的 E 与高斯面内外所有电荷有关。 ）
***下面从点电荷和点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷 点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷和 出发证明高斯定理
dΦe = E dS = EdS cos θ
dS⊥ = dS cosθ dΦ e E= dS⊥
π θ1 < , 2 π θ2 > , 2 d Φe1 > 0
E
dS
nθ
E
E
d Φe2 < 0
θ1
θ2
dS 2
E2
dS1
Φe =
∫ dΦ = ∫s E dS = ∫ E cos θ d S s
S e
E1
Φe =
∫ E dS = ε ∑ q
S 0 i =1
1
n
i
说明： 说明： 电场是有 （1）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是有 ）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是 源场。 源场。 （2）闭合曲面称为高斯面。 ）闭合曲面称为高斯面。 （3） ∑ qi 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。 ） 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。为通过这个面的电通量“ 称为通过这个面的电通量“Φ e ”。 单位：Nm 2C 1 或者 Vm 单位： 匀强电场 ，E 垂直平面
S
E
Φe = ES
均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
S
Φ e = E S = ES cos θ
θ
θ
n
E
非均匀电场强度电通量
dS = dS n
σ S′ 2 S ′E = ε0
σS＇ ∫ E dS = ε 0 S
E
S′
S′
n
E
S′
σ E= 2ε 0
σ E = n 2ε 0
+σ
E
x
O
(σ > 0)
σ
E
E E
E
思考：多个无限大均匀带电平面间的电场叠加问题。 思考：多个无限大均匀带电平面间的电场叠加问题。
+σ
σ ε0
+σ
σ ε0
0
+σ
0
σ ε0
z
n
∫
∫
S
S
E dS =
1
E
o
n n
y
ε0
∑q
S内
i
E dS =
+
∫
∫
E dS +
E dS =
∫
E dS
h
x
r
+ + +
s ( 柱面）
s ( 上底）
∫
E dS
s (下底）
s ( 柱面）
∫
S
E dS =
∫
E dS =
∫
E dS = E 2 π rh
s ( 柱面）
s ( 柱面）
1
ε0
∑
σ
0
选讲 的球体， 例4 一半径为 R 、均匀带电 q 的球体，求其电场的分布 E(r)。 将球体看成许多薄球壳组成。 将球体看成许多薄球壳组成。 解：（1）对称性分析， ：（ ）对称性分析，
R q q R
结论：球内外都是球对称分布。 结论：球内外都是球对称分布。
选讲 （2）作半径为 的球面 ） 由高斯定理： 由高斯定理：
Φe =
∫
S
E dS =
1
ε0
∑q
i =1
n
i
总结： 总结： （1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度。 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度。 所有内外电荷的总电场强度 （2）高斯面一定为封闭曲面。 高斯面一定为封闭曲面。 （3）穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负。 穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负。 （4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献。 高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献。 的电荷对高斯面的电通量有贡献 （5）静电场是有源场。 静电场是有源场。 有源场
（1）点电荷位于球面中心 ）
E =
q 4 πε 0 r
2
r0
r
+
dS
r0
Φe =
∫
S
E dS
q q =∫ dS = S 4 πε r 2 ε0 0
（2）点电荷在任意封闭曲面内 ） 总可以在封闭曲面内做一 个以点电荷为球心的球面，由 个以点电荷为球心的球面， 于电力线的连续性， 于电力线的连续性，穿出球面 和穿出封闭曲面的电通量相等， 和穿出封闭曲面的电通量相等， q 仍然有： 仍然有： 。 Φe =
真空中的高斯定理真空中的高斯定理静止带电体所激发的静电场中各点电场强度的大小和方向是确定的可以用曲线形式表示出来点电荷的电场线点电荷的电场线正点电荷正点电荷负点电荷负点电荷等量异号点电荷的电场线等量异号点电荷的电场线等量正点电荷的电场线等量正点电荷的电场线非等量异号点电荷的电场线非等量异号点电荷的电场线带电平行板电容器的电场线带电平行板电容器的电场线电力线的特性
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷， 例1 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度 为
λ
，求距直线为
处的电场强度。 r 处的电场强度。
解：电场分布具有柱对称性，带电体轴线即为对称轴。 电场分布具有柱对称性，带电体轴线即为对称轴。 选取闭合的柱形高斯面 闭合的柱形高斯面， 选取闭合的柱形高斯面，侧面 上各点电场强度大小相等， 上各点电场强度大小相等，且 平行于侧面各处的法线； 平行于侧面各处的法线；上下 底面的法线与场强方向垂直。 底面的法线与场强方向垂直。 + +
r
θ
dS＇
dS
（3）点电荷在闭合曲面外 ）点电荷在闭合曲面外
d Φ1 = E1 d S 1 > 0
dΦ2 = E2 dS 2 < 0
dS1
d Φ1 = d Φ 2
E2
q
dS2
E1
d Φ1 + d Φ 2 = 0
∫
S
E dS = 0
（4）由多个点电荷构成的点电荷系产生的电场中
E = E1 + E2 + E3 + = ∑ Ei
r
(R ≤ r < ∞)
S
∫
S
E dS =
1
ε0
∑q
S内
i
dS
+ + + RR + q++ + + + +q + +
∫
S
E cos0 dS =
1
E ∫ dS =
S
1
ε0
∑q
S内
i
r
ε0
1
q
E4π r =
2
E(r)
q
ε0
E(r) =
q 4πε0r
2
r 0
选讲 （2）作半径为 ） 由高斯定理： 由高斯定理：
1
1
qr ρr E= r = r 0 3 0 3 0 ε 4 0R πε
选讲
q 0 4πε r2 r (R < r < ∞) 0 E(r) = qr r (0 ≤ r < R) 4πε0R3 0
E(r)
R
r
O
（2） r > R ）
s2
Q
+ + +
R
r
+ + + +
∫
∫
S2
S2
E dS =
ε0
E d S = 4 πr 2 E
E dS =
∫
S2
Q 4π ε0R2
E
Q E= 4 πε 0 r 2
o
R
r
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷， 例3 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度 处的电场强度。 为 σ ，求距平面为 r 处的电场强度。 通过对称性分析可知， 垂直平面，若平面带正电， 解：通过对称性分析可知， E 垂直平面，若平面带正电，则 场强方向外指；反之，场强方向内指。 场强方向外指；反之，场强方向内指。 选取闭合的柱形高斯面
Φe =
∫ E dS = ∫ ∑ E dS = ∑ ∫ = ∑ ∫ E dS
S S i i i
i
S
Ei dS
i (内 ）
S
i
+
∵
（外） i
∑∫
S
Ei dS
Ei dS = 0
q1
q2
E
dS
（外） i
∑ ∫
S
s
1
qi
∴ Φe =
（内） i
∑ ∫
S
Ei dS =
ε0
∑
i (内 ）
qi
高斯定理： 高斯定理：
§3 真空中的高斯定理
一、电力线（电场线） 电力线（电场线）
静止带电体所激发的静电场中， 静止带电体所激发的静电场中 ， 各点电场强度的大小和 方向是确定的，可以用曲线形式表示出来 方向是确定的，可以用曲线形式表示出来—— （ 曲线上每一点切线方向为该点电场强度方向； 规定： 规定： 1）曲线上每一点切线方向为该点电场强度方向； （2）某点附近邻域内，通过垂直于电场方向单位面积 某点附近邻域内， 的电力线根数代表该点电场强度的大小。 的电力线根数代表该点电场强度的大小。
S内
λh qi = ε0
z
+ +
λh ∴ 2 πrhE = ε0
λ E= 2 π ε 0r
r>R
E
o
n
y
h
x
r
+ + +
λ E= r0 2 πε 0 r
思考： 思考：若求 r < R 空间内的 电场强度分布，如何求？ 电场强度分布，如何求？
求内部电场分布时的对称性分析
z
+ + +n + + + + + + + + r
r
+
ε0
——也可以严格证明“点电荷在任意封闭曲面内”的情形。 也可以严格证明“点电荷在任意封闭曲面内”的情形。 也可以严格证明
q dΦe = E dS = dS cos θ 2 4 πε 0 r
q dS ′ = 4 πε 0 r 2
其中立体角
dS＇dS
+
d S＇ S＇ = 2 r
d
q q Φe = ∫ d = ε0 4 πε 0
n
o
R
E
+
E
h
+ +
o
+
y
x
λr E= r 2 0 2 πε 0 R
r<R
+ +
+ + + +
n
的薄球壳。 例2 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球壳。 求：球壳内外任意点的电场强度。 球壳内外任意点的电场强度。 解（1） ）
0<r < R
r
E =0
∫
S1
E dS = 0
+ + +
+
S1 +
E = E = d N / d S = d Φe / d S
S
E
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
等量异号点电荷的电场线
等量正点电荷的电场线
+
+
+
非等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
电力线的特性： 电力线的特性： （1）始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远)； 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远) 电场线不相交； （2）电场线不相交； 静电场电场线不闭合。 （3）静电场电场线不闭合。
四、高斯定理的应用
求电通量； 求电通量； 求电场强度。 求电场强度。 ——用高斯定理求解静电场的场强，要求静电场的 用高斯定理求解静电场的场强， 用高斯定理求解静电场的场强 对称性。 分布必须具有一定的对称性 分布必须具有一定的对称性。 解题步骤： 解题步骤： 进行电场分布的对称性分析； 对称性分析； 进行电场分布的对称性分析 根据电场分布的对称性选择合适的高斯面 电场分布的对称性选择合适的高斯面； 根据电场分布的对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理进行计算。 应用高斯定理进行计算。 合适的高斯面的选择： 合适的高斯面的选择： （1）使得所选高斯面上各点的场强大小相等，且 E // dS ； ）使得所选高斯面上各点的场强大小相等， （2）使得所选高斯面某些点满足上述条件，而其它部分或 ）使得所选高斯面某些点满足上述条件， 者 E ⊥ dS ，或者 E = 0 。
r的球面 (0 ≤ r < R)
1
∫
S
E dS =
ε0
∑q
S内
2
i
∫
S
E dS = ∫ E cos0 dS
S
R qS
= E ∫ dS = E 4π r
S
r
dS
4 3 E(r) ∑qi = ε ρ 3 πr ε0 S内 0 q ρr 1 qr ρ= E= = 4 3 3 πR 3ε0 4πε0 R 3
通过闭合曲面的通量
Φe =
∫
S
E dS =
∫
S
E cos θ d S
E
θ
dS
S 为闭合曲面
E
S
三、真空中的高斯定理
在真空中，通过任一闭合曲面的电通量， 在真空中，通过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所 闭合曲面的电通量 包围的所有电荷的代数和除以真空介电常数0 ε 外电荷无关。 外电荷无关。 无关 。与闭合曲面