《一元二次方程的解法》教案

2
课 题
教 学
目 标
教 学
设 想
2.2 一元二次方程（1）
1、掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
2、会用因式分解法解一元二次方程.
【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】例 3 方程中含有无理系数，需将常数项 2 看成
( 2 ) ，
才能分解因式，是本节教学的难点.
教 学 程 序 与 策 略
一、复习引入
1、将下列各式分解因式：
(1)y 2 - 3 y (2)4 x 2 - 9
(3)(3x - 4)2 - (4 x - 3)2 (4) x 2 - 2 2 x + 2
教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2、你能利用因式分解解下列方程吗？（例 1）
(1)x 2 - 3x = 0
(2)25 x 2 = 16
请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像
上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（板书课题）
二、新课学习
1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
教师首先指出：当方程的一边为 0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，
用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）
① 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
② 将方程的左边分解因式；
③ 根据若 M·N=0，则 M=0 或 N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次
方程.
2、讲解例 2.
（1）解下列一元二次方程：
(1)(x - 5)(3x - 2) = 10
(2) x - 2 = x ( x - 2) (3)(3x - 4)2 = (4 x - 3)2
教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把 x-2 及 3x-4 和 4x-3 看成整体，还要
突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要
1 2
用“或”，而不能用“且.
（2）想一想：将第（ ），
（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，
等式成立吗？
教 学 程 序 与 策 略
（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：
①先变形成\一般形式，再因式分解：
②移项后直接因式分解.
在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能
否分解因式.
讲解例 3. 解方程 x 2 = 2 2 x - 2
在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项 2 看成 ( 2 )
，另外对于
方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范.
3、补充例 4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？
首先让学生设出未知数，列出方程（ x 2 = x ），再让学生求解.根据学生的求
解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去 x ，因为这里的 x 可以是 0.
三、巩固练习
课本第 31 页课内练习.
四、体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
先由学生自由发言，教师再投影演示：
1、能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边
可以分解成两个一次因式的积；
2、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3、用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两
个因式中至少有一个等于0.
4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为零；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5、数学思想：整体思想和化归思想.
五、课后作业
1、书本作业题
2、作业本
教
后
反
思
课题
教学目标
教学设想
2.2一元二次方程的解法（2）
(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。

(2)会用直接开平方法解一元二次方程。

(3)理解配方法。

(4)会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

[教学重点]掌握直接开平方法及配方法解某些一元二次方程。

[教学难点]理解掌握配方法。

教学程序与策略
一、复习旧知，引入新课
1、用因式分解法解方程x2－4=0。

2、若将方程先移项，得：x2=4。

你能直接得到该方程的解吗？其解是什么？
3、引入新课，板书课题。

二、讲解新课
1.了解直接开平方法解一元二次方程的概念。

将方程：x2－4=0，先移项，得：x2=4。

因此，x=±2即，x=2，x=－2。

12
讲（或提问）到此，指出：这种解某些一元二次方程的方法叫做开平方法。

2.初步掌握直接开平方法解一元二次方程。

提问：用直接开平方法解下列方程：
1、x2－144=0；
2、x2－3=0；
3、x2+16=0；
4、x2=0。

（解：1、x=12，x=－12；2、x=3，x=－3；3、无解——负数没有平1212
方根；4、x=0——0有一个平方根，它是0本身）。

3.深刻掌握直接开平方法解一元二次方程
例4解方程：(1)3x2－48=0(2)（2x-3）2=7。

说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。

实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法——配方法。

可以看出，原方程中2x-3是7的平方根。

练习：解下列方程：
1、（x+4）2=3；
2、（3x+1）2=－3。

（1、x=－4，x=+4；2、无解。

）
12
4.合作学习
(1)想一想：你能用直接开平方法解方程x2+6x+7=0吗？
(2)你能将方程x2+6x+7=0转化为(x+a)2=b的形式吗?
(3)请与同伴尝试解这个方程。

5.探索配方法解一元二次方程一般步骤
将方程：x2+6x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。

由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边
x = 2 x = (2)方程的两边同加一次项系数一半的平方，得 x 2+bx+ ⎪ =-c+ ⎪ , 得
x = 2 x = ⎛ b ⎫ 2 - 4c + b 2
都加上 32，即：x 2+2·x·3+32=－7+32，（x+3）2=2。

解这个方程，得：x =－3+ 2 ，x =－3－ 2 。

1
2
6. 总结配方法的概念：把一个一元二次方程左边配成一个完全平方式，右边
为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

7. 做一做——进一步理解配方的过程。

填空：
1、 2+6x+
（x+ ）；
2、 2－5x+ （x －
）
2
；
3、 2+ x+
（x+
）；
4、 2－9x+ （x －
）
2
填空后总结配方的关键：对二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2+bx=c 配方，只
需在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

8. 教学例 5
用配方法解下列一元二次方程
(1) x 2+6x=1
(2) x 2+5x-6=0
解答过程由学生口述，教师板书的形式完成。

通过例题 5 的讲解，帮助学生总结出配方的步骤：
教 学 程 序 与 策 略
(1)先把方程 x 2+bx+c=0 移项，得 x 2+bx=-c ；
⎛ b ⎫ 2 ⎛ b ⎫ 2
⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭
x
+⎪ =
⎝ 2 ⎭ 4 ；若-4c+b 2≥0,就可以用因式分解法或开平方法解出方程
的根。

9. 课堂练习
课本 P 课内练习第 3、4 两题。

33
三、课堂小结
(1)开平方法可解下列类型的一元二次方程：2=b（b≥0）；x－a）=b（b≥0）。

根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b≥0，当b＜0时，方程无解。

x2
(2)配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

四、课外作业
课后作业题
教
后
反
思
课题教学目标教学设想
2.2一元二次方程的解法（3）
1、巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；
2、会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。

1、教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。

2、当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。

教学程序与策略
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得 x 2 + bx + ( ) 2 = -c + ( ) 2 ，即
2( x + ) = ，当 - 4c + b 2 ≥ 0 时，就可以通过开平方法求出方程的根
一、回顾：解方程
(1)x 2
- 6 x = -8
(2) x 2
- 8x - 4 = 0
(3) - x 2
+ x 5x + 6 = 0
(4) x 2
= 4 3x - 11
板演 (并对的练习进行讲评)
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系（思考与领悟）
1、开平方法：形如 x 2 = a (a ≥ 0)
2、①先把 x 2 + bx + c = 0 移项得 x 2 + bx = -c
b
b
2 2
b
- 4c + b 2
2 4
二、新课教学
1、引例（当 a ≠ 1 时）解方程 5x 2 = 10 x + 1
观察与思考，小组讨论：领悟将二次项系数化为 1 的转化思想。

2、例 6 用配方法解下列一元二次方程
（1） 2 x 2 + 4 x - 3 = 0
（2） 3x 2 - 8x - 3 = 0
遇到二次项系数不是 1 的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项
系数，转化为我们能用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方法。

教 学 程 序 与 策 略
（2） x 2 - x + = 0
例 7 已知 4 x 2 + 8(n + 1) x + 16n 是一个关于 x 的完全平方式，求常数 n 的
值.
（教学生学会怎样去配方）
课堂练习
3、课本 P35 页，课内练习 1
学生完成解题后出示答案
4、增加二次项系数为小数与分数的方程：用配方法解下列方程
（1） 0.2 x 2 + 0.1x = 1
2 4 1
3 3 6
5、课本 P35 页，课内练习 2
学生先做，后挑选部分屏幕展示
三、课堂小结
问：这一节课学习了什么
四、布置作业
完成课本作业（做在书上）和作业本
教
后
反
思
录
课 题
教 学
目 标
教 学 2.2 一元二次方程的解法（4）
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2、会用公式法解一元二次方程.
重点：用公式法解一元二次方程.
难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方
方程的两个根为 x = 这个公式就叫做一元二次方程的 求根公
.
设 想
面的知识和能力，是本节的难点.
教 学 程 序 与 策 略
一、引入新课
用配方法解下列一元二次方程
完善“配方法”解方程的基本步骤.
1
(1) x 2 +15=10x (2) 3x 2 -12x + = 0
3
★一除、二移、三配、四开平方、五解 .
二、新课学习
1、做一做：
你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （a≠0)吗？
处理：给学生充足的时间做一做，配方法掌握好的学生最后求解的结果可能不
会考虑到 b 2 - 4ac ≥ 0 的条件，也可能答案不够简练；然后教师引导学生再去
探索.
思考： b 2 - 4a c < 0时 ，方程有实数解吗？
一般地，对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （a≠0),如果 b 2 - 4a c ≥ 0 ，那么
- b ± b 2 - 4ac
2a
式. 利用求根公式，由一元二次方程的系数 a ，b ，c ，直接求得一元二次方程
的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法（它是解一元二次方程的一把万
能钥匙）
2、现学现用：填空（用公式法解方程）课内练习
说明：利用求根公式，就是代入公式求值，关键是确定 a ， b ，c 的值，
目的就是应用求根公式时，应将方程化成一般式.进而引导学生总结出公式法
解一元二次方程的基本步骤
（3）代入求根公式 :
∴ x =
（4）写出方程 x , x 的解
2a
(4) x 2 - x = 1 ； (5) x 2 + x + 1 = 0
(1) x 2
= 1； (2) 5 x 2 = 2x ； (3) (x - 2) 2 = 9x 2 ；
(4) 3x 2
+ 1 = 4x ； (5) x( x -1) = (x - 2) 2
（1）把方程化成一般形式，并写出 a ，b ，c 的值.（2）求出 b 2 - 4a c 的值.
- b ± b 2 - 4ac
1 2
3、试一试：用公式法解下列方程
(1) x 2 + 3x - 4 = 0 ； (2) 2x 2 - 13x + 15 = 0 ； (3) x 2 + 3 = 2 3x
；
1 1
2 4
让学生独立完成，师生共同评价，由（3），（5）说明
方程根的情况： (1) 当b 2 - 4ac ≥ 0时，方程有两个不相等的实数根
（2） 当b 2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根
（3） 当b 2 - 4ac < 0时，方程没有实数根
4、问：解一元二次方程的方法都有哪些？
说明：至于选择哪一个方法解一元二次方程，看你觉得哪个方法好用或
方便就用哪个.（例 8，例 9 嵌入教学使用）
选择适当的方法解下列方程
16 25
1
2
提示（5）先化成一般式，再用公式法.
三、课堂小结
请谈谈你的收获！
1、一元二次方程的求根公式.（公式成立的条件）
2、公式法解一元二次方程的基本步骤.
四、布置作业:课后练习及作业题
教
后
反
思。