高中数学 综合素质检测1 北师大版高二选修1-1数学试题

第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1
y
，则x ＝y
B ．若x 2
＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2
<y 2
[答案] A
[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．
2．设a ∈R ，则“a >1”是“1
a
<1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析]a >1⇒1a <1，1
a
<1⇒/a >1，故选A.
3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A ．全称命题 B ．特称命题 C ．不是命题 D ．假命题
[答案] A
[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题． 4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；
若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的充分不必要条件．
6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且q
C．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)
[答案] A
[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；
∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，
∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．
∴p或q为真命题．
7．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．
8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2
<1是x <a
的充分不必要条件，则( )
A ．p 或q 为真命题
B ．p 且q 为假命题
C ．¬p 且q 为真命题
D ．¬p 或¬q 为真命题
[答案] A
[解析]∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2
＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；
由x 2
<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不一定成立，∴q 为真命题，从而A 正确．
9．“a ＝－1”是方程“a 2x 2
＋(a ＋2)y 2
＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 [答案] C
[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2
＋y 2
－2x －1＝0， 即(x －1)2
＋y 2
＝2表示圆，
若a 2x 2
＋(a ＋2)y 2
＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.
10．已知命题p ：存在x 0∈R ，使mx 2
0＋1≤1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2
＋mx ＋1≥0.若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值X 围是( )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．(0,2]
C ．[0,2]
D ．R
[答案] B
[解析] 对于命题p ，由mx 2
＋1≤1，得mx 2
≤0，若p 为真命题，则m ≤0，若p 为假命题，则m >0；
对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2
＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2
－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.
因为p ∨(¬q )为假命题，所以命题p 为假命题且命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
m >0－2≤m ≤2
，
得0<m ≤2.故选B.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l 1垂直于直线l 2，则它们的斜率之积为－1”
的逆命题为________________________．
[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l 1与直线l 2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直
12．存在实数x 0，y 0，使得2x 2
0＋3y 2
0≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．
[答案]∃x 0，y 0∈R,2x 2
0＋3y 2
0≤0 ∀x ，y ∈R,2x 2
＋3y 2
>0
13．在平面直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限的充要条件是________．
[答案] －1<m <3
2
或2<m <3
[解析] 点(2m ＋3－m 2
，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧
2m ＋3－m 2
>02m －3
2－m <0⇔－1<m <3
2
或2<m <3.
14．给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2
＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；
③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b
”的逆否命题是真命题；
④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件． 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)． [答案]①②③
[解析]①中，x 2
＋2x >4x －3⇔x 2
－2x ＋3>0⇔(x －1)2
＋2>0，故①正确．
②中，显然x ≠1且x >0，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，从而log 2x ＋log x 2<0，与已知矛盾，故x >1，故②正确
③中，命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b
”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确． ④“a ＝1”是直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直的充要条件，故④不正确． 15．在下列所示电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：
(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件． [答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要
[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件．(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件．(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件．(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件．
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出命题“若x 2
＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[答案] 逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2
＋7x －8＝0. 逆命题为真．
否命题：若x 2
＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．
逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2
＋7x －8≠0. 逆否命题为真．
17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1
x
≥2；
(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.
[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题
[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 18．指出下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；
(2)p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平行四边形．
[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件
[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件．这是因为：若(x －2)(x －3)＝0，则x －2＝0或
x －3＝0，即(x －2)(x －3)＝0⇒/x －2＝0，而由x －2＝0可以推出(x －2)(x －3)＝0.
(2)p 是q 的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．
19．对于下列命题p ，写出¬p 的命题形式，并判断¬p 命题的真假：
(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *
，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数； (3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆． [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题． (2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．
(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．
(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．
20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，某某数m 的取值X 围．
[答案] [2,4]
[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.
q ：m －1≤x ≤m ＋1，
∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.
又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －1≥1
m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.
经检验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4]．
21．(2014·马某某二中期中)设命题p ：f (x )＝
2
x －m
在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2
－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2
＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数
a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )且q 为真，试某某数m 的取值X 围．
[答案]m >1
[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2
＋8≤3，
∴m 2
＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )且q 为真，则p 假q 真，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m >1，m ≥1或m ≤－6，
∴m >1.。