新人教A版数学必修5课件：2.2 第一课时 等差数列的概念与通项公式

则
aa11

d 2, 3d 8,
解得
d=3,a1=-1.
所以 an=a1+(n-1)d=3n-4.
答案:3n-4
5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=
.
解析:设{an}的公差为 d,首项为 a1,
由题意得
aa11

a1 d
自我检测
1.下列说法中正确的是( D ) (A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差 数列 (B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就 叫等差数列 (C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列 就叫等差数列 (D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这 个数列就叫等差数列
3.等差中项的定义 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做 a 与 b 的等差
中项.事实上,若 a,A,b 成等差数列,即 A= a b ,则 A 就是 a 与 b 的等差中项;若 A= a b ,
2
2
即 A-a=b-A,则 a,A,b 成等差数列.
在等差数列{an}中,任取相邻的三项 an-1,an,an+1(n≥2,n∈N*),则 an 是 an-1 与 an+1 的等差 中项.
方法技巧 判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法: (1)定义法:若an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列. (2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n≥2且 n∈N*),则数列{an}是等差数列. (3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列.
an 2
an1 2an 2 an
an1 an 2
即{ 1 }是首项为 1 = 1 ,公差为 d= 1 的等差数列.
an
a1 2
2
(2)求an.
解:(2)由上述可知 1 = 1 +(n-1)d= n ,
an a1
2
所以 an= 2 . n
题型三 等差中项的应用
【例3】 一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和 为35,求这个数列.
2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念与通项公式
课标要求:1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运 用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简 单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.
自主学习
知识探究
1.等差数列的定义 (1)一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 前一项 的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的 公差 ,
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
解:设这三个数分别为 a-d,a,a+d,
则有
a d a a
(a

d )2

a2

d 9, (a d)2

35,
解得
a d
3, 2.
所以所求数列为 1,3,5 或 5,3,1.
方法技巧 三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解. 法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a3d,a-d,a+d,a+3d.
10 6 4 4
3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本
一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一
根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端
截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金
箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和A 为(
5.等差数列通项公式的推导
通项公式的推导,教材是根据等差数列的定义,通过归纳的方式得出的,还
可以采用以下的推导方法:
法一(累加法)
an-an-1=d, an-1-an-2=d, an-2-an-3=d, …
因为{an}是等差数列,所以
a2-a1=d, 两边分别相加得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
公差通常用字母d表示.
(2)由等差数列的定义知,等差数列{an}满足a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d, 其中d是与n无关的常数.
因此,等差数列的定义可用数学符号语言描述为an-an-1=d对任意的n≥2,n∈ N*均成立,故an+1-an=d对任意的n∈N*均成立,上述两式通常作为判断数列是 否为等差数列的依据.
即时训练 2-1:已知数列{an},满足 a1=2,an+1= 2an . an 2
(1)数列{ 1 }是否为等差数列?说明理由; an
解:(1)数列{ 1 }是等差数列,理由如下: an
因为 a1=2,an+1= 2an ,所以 1 = an 2 = 1 + 1 .所以 1 - 1 = 1 .
2
2
法二 (等差中项法)
因为 bn= 1 ,所以 bn+1= 1 =
1
= an .
an 2
an1 2 (4 4 ) 2 2(an 2)
an
4 4
所以 bn+2=
an 1
=
2(an1 2) 2(4
an 4 2)
= an 1 . an 2
an
所以 bn+bn+2-2bn+1= 1 + an 1 -2× an =0.
an 2 an 2
2(an 2)
所以 bn+bn+2=2bn+1(n∈N*),所以数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(2)解:由(1)知 bn= 1 +(n-1)× 1 = 1 n.
2
22
因为 bn= 1 , an 2
所以 an= 1 +2= 2 +2.
bn
n
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:法一 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
当 d= 3 时,an=a8+(n-8)d= 3 n- 4 ;
5
55
当 d=- 3 时,an=- 3 n+ 44 .
5
55
题型二 等差数列的判定与证明
【例 2】 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- 4 (n>1),记 bn= 1 .
an 1
an 2
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
a
2

d2

40,
解得
a d
13 2
3 2
,
或
a d

13 , 2 3
2
,
故所求数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
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即 d=± 3 . 5
当 d= 3 时,a1=- 1 ,an= 3 n- 4 ;
5
5 55
当 d=- 3 时,a1= 41 ,an=- 3 n+ 44 .
5
5
55
法二 因为 a3+a8+a13=3a8=12,所以 a8=4, a3a8a13=(a8-5d)a8(a8+5d)=28,
所以 16-25d2=7,所以 d=± 3 . 5
法二(迭代法) {an}是等差数列,则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+ 2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d. 法三(逐差法) {an}是等差数列,则an=an-an-1+an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ an-2=…=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
反之,若 an-1+an+1=2an 对任意的 n≥2,n∈N*均成立,则数列{an}是等差数列. 因此,数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*),用此结论可判断所给数列是否为 等差数列,称为等差中项法.
4.等差数列的通项公式 以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d .
变式探究:若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26, 第二个数与第三个数之积为40,求这个数列.
解:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,
由题意可知,
(a (a

3d) (a d)(a d
d )
) (a 40,

d
)

(a

3d
)

26,
即
4a 26,
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
法三
由数列{an}是等差数列,可设
an=kn+b.由
a15=8,a60=20
得
15k 60k
b b
8 a75=75×
4
+4=24.
b 4,
15
方法技巧 求等差数列的通项公式的两种思路 (1)设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通 项公式. (2)已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项 a1,直接写出等差数列的通项公式. 注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的 形式.
)
(A)6斤 (B)9斤 (C)9.5斤 (D)12斤
解析:由题意,金箠的每一尺的重量依次成等差数列,从细的一端开始,第 一段重2斤,第五段重4斤,由等差中项知,第三段重3斤,第二段加第四段 重3×2=6斤.故选A.
4.等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则通项公式an=
.
解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
(1)证明:法一
因为 bn+1-bn= 1 an1 2
-
1 an 2
=
(4
1 4
)2
-
1 an 2
an
= an - 1 = an 2 = 1 .b1= 1 = 1 ,
2(an 2) an 2 2(an 2) 2
a1 2 2
所以数列{bn}是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列.
即时训练1-1:在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.求数列{an}的 通项公式.
解:法一 设{an}的首项为 a1,公差为 d, 则由 a3+a8+a13=12,得 a1+7d=4,所以 a1=4-7d. 代入 a3a8a13=28,并整理得(4-5d)×4×(4+5d)=28,
则由题意得
aa11

14d 59d

8, 20,
解得
a1 d

64 , 15 4.
15
故 a75=a1+74d= 64 +74× 4 =24.
15
15
法二 因为 a60=a15+(60-15)d,所以 d= 20 8 = 4 ,所以 60 15 15
a75=a60+(75-60)d=20+15× 4 =24. 15