2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理

3．1.2 共面向量定理
[对应学生用书P50]
如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答
问题．
问题1：AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗？
提示：可以，因为AC ＝11A C ，三个向量可移到平面ABCD 内． 问题2：1AA ，AC ，1AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．
问题3：1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等．
1．共面向量
一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理
如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .
1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．
3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．
[对应学生用书P51]
[例1]给出以下命题：
①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；
②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；
③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝x OA＋y OB，则O、P、A、B四点共面；
④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；
⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．
其中正确命题的序号是________．
[思路点拨]先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．
[精解详析]①错：空间中任意两个向量都是共面的；
②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；
③正确：因为OP、OA、OB共面，
∴O、P、A、B四点共面；
④错：没有强调零向量；
⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．
[答案]③
[一点通]共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；
②设平行六面体的三条棱是AB、
1
AA、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的
向量是AB＋
1
AA＋AD；
③若OP＝1
2(
PA＋PB)成立，则P点一定是线段AB的中点；
④在空间中，若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共面．
⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．
解析：①②③⑤不正确，④正确．
答案：④
2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b ＋22c，试问向量p、q、r是否共面？
解：设r ＝x p ＋y q ，
则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝－5，
∴r ＝3p －5q . ∴p 、q 、r 共面.
[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝2
3
DD 1.证明：1AC 与AE 、AF 共面．
[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE 、AF 线性表示出1AC 即可． [精解详析] ∵1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋2
31AA
＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋2
31AA )
＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF ，
∴1AC 与AE 、AF 共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC ＝x AE ＋y AF 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE 、AF 表示1AC .
3．如图，正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量1A B ，1B C ，EF 是共面向量．
证明：法一：EF ＝EB ＋1BA ＋1A F ＝121B B －1A B ＋1
211A D ＝1
2
(1B B ＋BC －1A B
＝1
2
1B C －1A B . 由向量共面的充要条件知，1A B ，1B C ，EF 是共面向量．
法二：连接A
1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊1
2DD 1，
BE 綊1
2DD 1，
∴FG 綊BE .
∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .
BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD
∴EF ∥平面A 1BD .
同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴1A B ，1B C ，EF 都与平面A 1BD 平行． ∴1A B ，1B C ，EF 是共面向量．
4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝k 1AC ，
BN ＝k BC (0≤k ≤1)．求证：MN 与向量AB ，1AA 共面．
证明： 如图，在封闭四边形MABN 中，MN ＝MA ＋AB ＋BN .① 在封闭四边形MC 1CN 中，MN ＝1MC ＋1C C ＋CN ②
∵AM ＝k 1AC ， ∴AM ＝k (AM ＋1MC )
∴(1－k )AM ＝k 1MC ，即(1－k )MA ＋k 1MC ＝0， 同理(1－k )BN ＋k CN ＝0.
①×(1－k )＋②×k 得MN ＝(1－k )AB ＋k 1C C ， ∵1C C ＝－1AA ，∴MN ＝(1－k )AB －k 1AA ， 故向量MN 与向量AB ，1AA 共面.
[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .
[思路点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG ＝x EF ＋y EH 即可．
(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD 与向量FH 、EG 共面即可． [精解详析] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则：
EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋1
2(BC ＋BD )
＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH . 由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则BD ＝AD －AB ＝c －a .
EG ＝EA ＋AG ＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋1
2c ， HF ＝HA ＋AF ＝－1
2c ＋1
2(a ＋b )＝1
2a ＋1
2b －1
2c .
假设存在x ，y ，使BD ＝x EG ＋y HF . 即c －a ＝x ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －12c ＝⎝⎛⎭⎫y 2－x 2a ＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2b ＋⎝⎛⎭⎫
x 2－y 2c . ∵a ，b ，c 不共线．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 2－x
2
＝－1，x 2＋y
2＝0，
x 2－y 2＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1.
∴BD ＝EG －HF .
∴BD 、EG 、HF 是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]
1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使MP ＝x MA ＋y MB .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；
(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．
5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．
求证：B 1C ∥平面ODC 1.
证明：设11C B ＝a ，11C D ＝b ，1C C ＝c ，则1B C ＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以
1OD ＝1211B D ＝1
2(b －a )．
因为D 1D 綊C 1C ，
所以1D D ＝c ，OD ＝1OD ＋1D D ＝1
2
(b －a )＋c .
1OC ＝－1
2(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，
使1B C ＝x OD ＋y 1OC ，
所以c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c －y ·1
2
(a ＋b ) ＝－1
2(x ＋y )a ＋x c ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2b ，且a ，b ，c 不共线， 所以x ＝1，1
2(x ＋y )＝1，且x －y 2
＝0，即x ＝1，y ＝1.
所以1B C ＝OD ＋1OC ，所以1B C ，OD ，1OC 是共面向量，
又因为1B C 不在OD ，1OC 所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.
6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．
证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，
∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有PE ＝23PM ，PF ＝2
3
PN ，
PG ＝23PQ ，PH ＝2
3PR .
∵MNQR 为平行四边形，
∴EG ＝PG －PE ＝23PQ －23PM ＝2
3MQ
＝2
3
(MN ＋MR ) ＝23(PN －PM )＋2
3
(PR －PM ) ＝23·⎝⎛⎭⎫32 PF －32 PF ＋23⎝⎛⎭⎫3
2 PH －32 PF ＝EF ＋EH .
∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．
向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0. 若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.
空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使MP ＝x MA ＋y MB .
[对应课时跟踪训练(十九)]
1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；
③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .
解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．
答案：②③
2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP ＝15OA ＋2
3OB ＋
λOC 确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.
解析：∵P 与A ，B ，C 共面， ∴AP ＝αAB ＋βAC ，
∴AP ＝α(OB －OA )＋β(OC －OA )， 即OP ＝OA ＋αOB －αOA ＋βOC －βOA ＝(1－α－β)OA ＋αOB ＋βOC ， ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋2
3＋λ＝1.
解得λ＝2
15.
答案：2
15
3．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝1
3BB 1，
DF ＝2
3
DD 1，若EF ＝x AB ＋y AD ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.
解析：EF ＝AF －AE
＝AD ＋DF －(AB ＋BE )＝AD ＋231DD －AB －1
31BB
＝AD －AB ＋1
31AA
∴x ＝－1，y ＝1，z ＝1
3.
∴x ＋y ＋z ＝1
3
.
答案：13
4．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB ＝i －2j ＋2k ，BC ＝2i ＋j －3k ，CD ＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．
解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量AB 、BC 、CD 共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，
使得a AB ＋b BC ＋c CD ＝0.
即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0. ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＋λ
c ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝c ，
b ＝－
c ，λ＝1.
答案：1
5．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，
则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．
解析：AM ＝OM －OA ＝－23OA ＋13OB ＋1
3OC
＝13(OB －OA )＋13(OC －OA )＝1
3
(AB ＋AC )． 令BC 中点为D ，则AM ＝2
3AD ，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故
命题为真命题．
答案：真
6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足OM ＝13OA ＋13OB ＋1
3OC .
判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面．
解：(1)由已知得OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )， 即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ， ∴MA ，MB ，MC 共面．
7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．
解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，
亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，
x ＋3y －4z ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝7，
z ＝5，
从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面． 法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，
即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，
1＝3λ－4μ.
解这个方程组得λ＝7，μ＝5，
从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．
8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．
求证：FH ∥平面EDB .
证明：因为H 为BC 的中点，所以FH ＝12(FB ＋FC )＝12
(FE ＋EB ＋FE ＋ED ＋
DC )＝1
2(2FE ＋EB ＋ED ＋DC )．
因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ， 所以2FE ＋DC ＝0，
所以FH ＝12(EB ＋ED )＝12EB ＋1
2
ED .
又EB 与ED 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH ，EB ，ED 共面．由于FH 不在平面EDB 内， 所以FH ∥平面EDB。