114互逆命题

11.4互逆命题
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重点：1．知道命题和逆命题的相互关系，能写出一个命题的逆命题．
2．知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．
3．会用符号“⇒”简明地表述推理过程．
难点：知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．
考点:写出一个命题的逆命题并判断其假．
重点难点透视
教材知识点详解
详解点一互逆命题（重点）
(1)定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
(2)构造方法：每个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，所得的命题即为原命题的逆命题．
(3)命题的组成形式：一般情况下，命题可有如下的一些形式：①如果……那么……；
②若……则……；③因为……所以……．通常为标准形式，其他的都可以化为标准形式，并且“如果……”部分为命题的条件，“那么……”为命题的结论部分．
(4)互逆命题的真假：
延伸：如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．
【例1】写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题：
(1)同位角相等；
(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
解: (1)条件：两个角是同位角；结论：这两个角相等．
逆命题：相等的角是同位角．
(2)条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
名师点睛：给出一个命题写出客观存在的逆命题，把题设和结论进行交换的同时还要注意语句是否通顺．
详解点二假命题的证明（难点）
要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这在数学上称为“举反例”．
【例2】证明下列命题为假命题．
(1)质数都是奇数；
(2)两个互余的角不相等．
分析：证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了．
证明：(1)因为2是质数，且它是偶数，所以这个命题是假命题．
(2)取α=45°，β=45°，则α+β=90°，而α=β且α、β互余．所以这个命题是假
命题．
方法归纳：证明一个命题是假命题的方法是举反倒．
详解点三用“⇒”表述推理过程(重点、难点)
为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○
C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行
推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条
理清晰．
【例3】图l1一4—2，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平
分线相交于点O ，过O 点的直线MN∥BC，分别交AB 、AC 于点M 、N 求证：MN=BM+CN ．
分析：欲证明MN=BM+CN ，只需要证明OM=BM ，ON=CN.
方法归纳：(1)因为A ，所以B ，可用A “⇒”B ；
(2)若C 为已知或已证，而B 与C 结合可推出D ，可按下面推理(注意“⇒”指向
):
方法规律聚焦
类型一 逆命题的书写及逆命题的真假判断
【例4】说出下列命题的逆命题，判断每个逆命题的真假，并说明理由． (1)在△ABC 中，如果∠A 是钝角，那么∠B 和∠C 是锐角． (2)平行四边形是四边形．
(3)若a 2
是有理数，则a 是有理数．
(4)如果m >0，则m≠0．
(5)四边形的内角和是360°．
分析：把原命题改写成逆命题，关键是分析清楚原命题的条件与结论，然后把原命题的结论变成逆命题的条件，而把原命题的条件变成逆命题的结论．现将各题的条件与结论列表如下：
解：(1)逆命题为：在△ABC 中，如果∠B 和∠C 是锐角，那么∠A 是钝角．逆命题是假命题．因为∠A 可能是锐角，也可能是直角，还有可能是钝角．
(2) 逆命题为：四边形是平行四边形．逆命题是假命题．因为平行四边形是一种较为特殊的四边形，如梯形是四边形，但不是平行四边形．
(3) 逆命题为：若a 是有理数，则a 2
是有理数．逆命题是真命题.因为有理数平方后还是一个有理数．
(4) 逆命题为：如果m≠0，则m >0．逆命题是真命题．因为一个非零实数的绝对值一定大于O ．
点石成金 “⇒ ”前的是条件，“⇒ ”后的是由条件推出的结论.
(5) 逆命题为：如果一个多边形的内角和是360°，那么该多边形一定是四边形．逆命题是真命题．根据多边形内角和公式：(n-2)180°=360°，得n=4，因此这是一个四边形．名师点睛：(1)一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题． (2)要说明一个命题是真命题需进行严密的逻辑推理，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
类型二命题的证明
【例5】证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
图11．4—1
分析：此为文字叙述的证明题，命题的条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行．
已知：如图11．4—1，直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c．
证明：作直线a、b、c的截线d．
因为b∥a(已知)，
所以∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)．
因为c∥a(已知)，
所以∠3=∠l(两直线平行，同位角相等)，
所以∠2=∠3(等量代换)，
所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．
用符号“⇒”简明表述上述的推理过程如下：
名师点睛：用“⇒”符号表述推理过程可以使证明过程变得简单明了，同时也有利于培养解答者的逻辑推理能力．
综合应用探究
类型三证明逆命题真假
【例6】请写出“如图11．4—2，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=1
2 BC”
的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．
图11．4—2 图11．4—3
分析：命题“在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=1
2
BC”的条件是“若DE是
△ABC的中位线”，结论是“BE=1
2
BC”．将条件与结论相反，则为它的逆命题．
解:逆命题：若DE=1
2
BC，则DE是△ABC的中位线．假命题，反例如图11．4—3所示．
方法归纳：在判断某个命题是真命题时，要进行说理；在判断某个命题是假命题时，举个反例就行了．
常见思维误区警示
易错点一叙述逆命题时出错
易错点导析在由原命题写逆命题时，未进行语言加工，只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，这是出错的主要原因．
【例7】写出命题“等腰三角形两个底相等”的逆命题．
错解：两个底角相等的三角形是等腰三角形.
纠错秘方：在改写逆命题时，要把握逆命题和原命题的关系，特别注意某些概念内在的先后顺序．
正解：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
易错点二对命题的条件和结论表述不清
在叙进命题时,有些命题的条件和结论不是很明显，很容易混淆，从而出现错误．【例8】写出“命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．
错解：逆命题为：如果对应边相等，那么它是全等三角形．
纠错秘方：在由原命题写它的逆命题时，未进行
语言加工,只是机械地照搬原命题中的条件和结论两
部分，造成逆命题的语句不通，因为对应边是针对两
个三角形而言，所以“对应边相等”应改为“两个三
角形的对应边相等”．
正解：逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，
那么它们是全等三角形．
知识方法归纳
快乐测试
经典基础题
1．“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是 ( ) A．对角线互相平分的是平行四边形
B．互相平分的是平行四边形的对角线
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．如果是平行四边形的对角线，那么互相平分
【C 提示：A答案差一个主语“四边形”，B,D两答案原命题的题设与结论没有弄清．】
2．下列命题的逆命题为真命题的是 ( ) A．对顶角相等
B．等边三角形是锐角三角形
C．若x>y，则x2>y2
D．能被5整除的数，它的末位数字是5
【D 提示：A答案相等的角不一定是对顶角；B锐角三角形不一定是等边三角形；C当x、y是负数时,若x2>y2，则x<y．】
3．下列定理有逆定理的是 ( ) A．对顶角相等
B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．正方形的四个角都是直角
【B 提示：A、C、D三个命题的逆命题都是假命题．】
4．每一个命题都 (填“有”或“没有”)它的逆命题．
【有】
5．原命题成立，它的逆命题 (填“一定”或“不一定”)成立．
【不一定】
6．“如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”是命题．它的逆命题是．
【假，全等三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等】
7.判断下列命题的真假．
(1)同位角相等；
(2)9的平方根是3；
(3)同角的余角相等；
(4)三个连续自然数的积是6的倍数．
解：(1)(2)假命题，(3)(4)真命题．
点拨：根据定义，同位角是两条直线被第三条直线所截形成的位置相同的角，只有当这两条直线平行时才相等，故“同位角相等”是假命题．9的平方根是±3，因为(±3)2=9．故9的平方根有两个，故“9的平方根是3”是假命题．同角的余角都等于90°减这个同角，故是真命题．三个连续自然数中必有一个是2的倍数和3的倍数，故它们的积是6的倍数，故是真命题．
8.指出下列命题中的互逆命题．
(1)直角都相等；
(2)同位角相等，两直线平行；
(3)如果a+b>0，那么a>0，b>0；
(4)两直线平行，同位角相等；
(5)相等的角都是直角；
(6)如果a>0，b>0，那么ab>0．
分析：互逆命题的两个命题的条件与结论正好互换．因此分别说出各个命题的条件和结论，比较一下则易判断它们是否互为逆命题．
解：(1)与(5)、(2)与(4)
名师点睛：(3)与(6)不是互逆命题．由于(3)的条件不是(6)的结论．另外(5)虽然是假
命题，但它条件和结论与(1)的条件和结论正好互换，因此是互逆的．
10.【章末】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．
(1)若ac2>bc2,则a>b；
(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
(3)若ab=0．则a=0．
分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下即可．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例．千万不能想当然．
解：(1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．
假命题，如c=0时，ac2=bc2．
(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．
(3)逆命题为：若a=0,则ab=0．真命题．
点拨：真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的．而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．
9.请用“ ”符号表述下面的证明过程．
已知：点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．
求证：∠l=∠2．
证明：因为DE∥BC，EF∥AB(已知)，
所以∠1=∠DEF，∠2=∠DEF(两直线平行，内错角相等)．
所以∠1=∠2(等量代换)．
解：改写如下：
10．写出下面命题的逆命题，并判断其真假
原命题真假性逆命题真假性
(1)奥巴马是美国总统
(2)如果x=l，那么x(x-1)=0
(3)两个三角形全等则对应边相等
(4)在一个三角形中，等边对等角
(5)等边三角形是等腰三角形
【】
能力拓展题
11．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图11．4—4)，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．”
彬彬：“作△ABC的角平分线AD．”
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．
(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
图11．4—4
【 (1)只有等腰三角形具备“三线合一”性质，此题等腰三角形是求证部分，故过点A 只能作BC的垂线AD，垂足为D．
(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD =∠CAD，又因为∠B =∠C，AD = AD，所以△ABD≌△ACD，所以AB=AC．】
12．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC；②AB=CD；
③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
(1)构造一个真命题，画图并给出证明；
(2)构造一个假命题，举反例加以说明．
【 (1)③④为条件时，此命题是真命题．如图答11．4—1所示：
图答¨．4一l
因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC = 180°．又因为∠BAD =∠DCB．所以∠DCB+∠ABC = 180°，所以AB∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．
(2)②④为条件时，此时可以构成一梯形．】
参考答案与点拨：。