追及与相遇问题专题及参考答案

追及与相遇问题
追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它经常涉及两个以上物体的运动过程，
每个物体的运动规律又不尽相同 . 对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理看法，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助解析，确认
两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在脑筋中建立起一幅物体运动关系的图景. 借助于v－ t 图象来解析和求解经常可使解题过程简捷了然.
知识要点：
一、相遇是指两物体分别从相距S 的两地相向运动到同一地址，它的特点是：两物体运动的距离之
和等于 S，解析时要注意：
（1）、两物体可否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；
（2）、两物体各做什么形式的运动；
（3）、由两者的时间关系，依照两者的运动形式建立 S=S1+S2方程；
二、追及问题
（1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

若甲物体追赶前面的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。

若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。

若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。

2、追及问题的特点及办理方法：
“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一地址，常有的状况有三种：
⑴速度小者匀加速追速度大者, 必然能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度，
即v甲 v乙。

⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个可否追上的问题。

判断
方法是：假设速度相等，从地址关系判断。

①若甲乙速度相等时，甲的地址在乙的后
方，则追不上，此时两者之间的距离最小。

②若甲乙速度相等时，甲的地址在乙的前
面，则追上。

③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一地址，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意两者可否同时出发，可否从同一地址出发。

⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，状况跟⑵近似。

三、解析追及问题的注意点：
⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，经常是解决问题的重要条件
⑵若被追赶的物体做匀减速运动，必然要注意追上前该物体可否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。

例题解析：
2
, 人
以 6m/s 的速度匀速追车, 可否追上若追不上, 人车之间最小距离是多少
2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以３ m/s２的加速度开始行驶，恰好此时一辆自行车以
６ m/s 速度驶来，从后边超越汽车．试求：
①汽车从路口开动后，追上自行车以前经过多长时间两车相距最远最远距离是多少
②经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少
3．公共汽车从车站开出以4m/s 的速度沿平直公路行驶，2s 后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追
赶，加速度为2m/s2。

试问
（ 1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车
（ 2）摩托车追上汽车时，离出发点多远
（ 3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少
4、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前面同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v2 做匀速运动，已知v1＞ v2司机马上以加速度 a 紧急刹车，要使两车不相撞，加速度 a 的大小应满足什么条
件
5、某人骑自行车以4m/s 的速度匀速前进，某时辰在他前面７m处以 10m/s 的速度同向行驶的汽车
开始关闭发动机，而以２m/s 2的加速度减速前进，求：①自行车未追上前，两车的最远距离；②自行车需要多长时间才能追上汽车．
6.某人骑自行车以 8m/s 的速度匀速前进，某时辰在他前面 8m处以 10m/s 的速度同向行驶的汽车开始关
闭发动机，而以２ m/s2的加速度减速前进，求：
①自行车未追上前，两车的最远距离；②
自行车需要多长时间才能追上汽车．
课后练习：
1、一列快车正以20m/s 的速度在平直轨道上运动时，发现前面180m处有一货车正以6m/s 速度匀
速同向行驶，快车马上制动，快车作匀减速运动，经40s 才停止，问可否发生碰车事故（会发生碰车事故）
2、同一高度有AB 两球， A 球自由下落 5 米后， B 球以 12 米 / 秒竖直投下，问 B 球开始运动后经过多少时
间追上 A 球。

从 B 球投下时算起到追上 A 球时， AB 下落的高度各为多少（ g=10m/s2）（秒；米）
3、以下列图， A、B 两物体相距ｓ＝ 7ｍ，物体 A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以ｖ1＝4m/s 的速
度向右运动，而物体 B 此时的速度ｖ２＝ 10ｍ / ｓ，由于摩擦力作用向右匀减速运动，加速度 a ＝－ 2m/s2，求，物体 A 追上 B 所用的时间。

（8 ）
s ｖ
１ｖ２
ＡＦ
Ｂ
ｓ
4、羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度 25m/s，并能保持一段较长的时间；猎豹从静止开始
奔跑，经过 60 m的距离能加速到最大速度 30m/s，今后只能保持此速度 s. 设猎豹距离羚羊 xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后 s 才开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同素来线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊， x 值应在什么范围
解析：先解析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再解析猎豹追上羚羊前，两
者所发生的位移之差的最大值，即可求x 的范围。

设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度v1 2s1 2 60
4s
s1 t1 t1
用时间 t2 ，则 2 v1 30 50m 达到最大速度用
，羚羊从静止开始匀加速奔跑
s2 v2
t 2 t 2
2s2 2 50 4s 2 v2 25
时间 t1 ，则，猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速
前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s 而被追上，此 x 值为最大值，即x=S 豹－ S 羊=[ （ 60 ＋30×4）－（ 50＋ 25× 3） ]=55m，所以应取 x<55m。

5、高为 h 的电梯正以加速度a 匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉零散．螺钉落到电梯底板上所用
的时间是多少
解析：此题为追及类问题，依题意画出反响这一过程的表示图，如图2— 27 所示．这样最少不会
误认为螺钉作自由落体运动，本质上螺钉作竖直上抛运动．从表示图还可以
看出，电梯与螺钉的位移关系：
S 梯一 S 钉= h 式中 S 梯＝ vt 十?at2 ， S 钉＝ vt －?gt2
可得 t= 2h / g a 错误：学生把相遇过程表示图画成以以下列图，则会出
现
V 0、a
S
梯＋ S钉 = h
式中 S 梯＝ v0t 十?at2 ， S 钉＝ v0t －?gt2
这样获取 v0t 十?at2 ＋ v0t －?gt2=h ，即 ?（ a－ g） t2 ＋ 2v0t － h=0
由于未知v0，无法解得结果。

鉴识方法是对上述方程解析，应该是对任何时间t ，都能相遇，即上式中的＝ 4v02＋ 2（ a－g） h≥ 0
也就是 v0≥a g h / 2
，这就对 a 与 g 关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。

参照答案：
1、
S -S =S
∴ v t-at
2
2
人
人
/2=S0
即 t -12t+50=0
车0
=b 2-4ac=122-4 × 50=-56<0
∴ 方程无解 . 人追不上车 当 v 人 =v 车=at 时 , 人车距离最小
t=6/1=6s
min
车
-S 人
2
× 6=7m
S =S +S
=25+1× 6 /2-6
2、
1．解一：速度关系，位移关系
v 汽 at v 自 t=2s
s v 自t 1 at 2
6 2
1 3 22
6(m)
2
2
解二：极值法
(1)
s
v 自t 1 at 2 6t 3 t 2
2
2 由二次函数的极值条件可知
t
6
2s 时， s 最大
2 (
3 / 2)
s m 6 2
3 22
6(m)
2
(2) 汽车追上自行车时，二车位移相等
v t '
1 at '
2 t '
2v
2 6 4s
2
t 3
v ' at '
3 4 12m / s
解三：用相对运动求解
选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远 , 这段时间内 , 开初相对此参照物的各个物理量为
初速 v 0 v
汽初
v 自
0 6 6m / s
末速 v t v 汽末 v 自 6 6 0
加速度 a
a 汽
a 自 3 0 3m / s 2
相距最远 s
v t 2
v 02
0 ( 6) 2
负号表示汽车落后 )
2a
2 3
6m (
解四：图象求解
v
V 汽
(1)
v 自 6 2s
t 3
v
a
1 at 2
1
V 自
s v t
6 2 3 2 2 6m
6
2
2
t
t
’
t
(2) t '
2t 4s
v '
2v 自 12 m / s
3、
解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过程中，摩托车
的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。

（ 1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即
v(t+2)= 1 at 2
2
解得摩托车追上汽车经历的时间为
t=
(2) 摩托车追上汽车时经过的位移为
s= 1
at 2=
2
(3) 摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即
v=at /
t /
= v
=2s
a
1
at /2 =12m
最大距离为△ s=v(t / +2)-
2
小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依照，涉及临界问题时要抓住临界条件。

4、
解法一：由解析运动过程下手
后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和 v2 相等以前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。

可见，当两车速度相等时，两车距离近来。

若后
车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。

综合以上解析可知，两车恰不相撞时应满足以下方程：
v 1t- 1 a 0t 2= v 2t+s v
t
-a 0t=v 2
2
联立上式可解得： a 0= (v 2 v 1 )
2
所以不 a ≥
(v 2
v 1 ) 2 时时两车即不会相撞 。

2s
2s
解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为
v 1t-
1
at 2≤ s+ v 2 t
2
1
即
2 at 2+(v 2-v 1)t+s ≥0
对于位移 s 和时间 t, 上面不等式都建立的条件为
△=(v 2-v 1) 2 -2as ≤ 0
由此得 a≥(v
2 v
1 )2
2s
解法三：以前车为参照系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2 、加速度为 a 的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/ ≤ s 时，则不会相撞。

由s/= v02 = (v2 v1 )2 ≤s 得a≥ (v2 v1 )2
2a 2a 2s
小结：上述三种解法中，解法一侧重了对物体运动过程的解析，抓住两车间距离有极值时速度应
相等这一要点条件来求解；解法二中由位移关系获取一元二次不等到式（一元二次方程）运用数
学知识，利用根的鉴识式△ =b2-4ac 来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方
法；解法三经过巧妙采用参照系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简短。

5、
解：①当v 汽＝ v 车时，有最远距离
s 7 s汽s自
16 100 4 10
7 4 16m
2 2 2
②
s自s
汽7
v1 t v0 t 1 at2 7 （错解）５ s 末汽车已停下
2
t 1=7s 应判断在追上前汽车可否已经停下t 1 ＇ =－１ s( 舍 )
经５ s 汽车停下且走了２５m，而 s 自 =20m, 20<7+25
相遇是在汽车停止后，s 自＝７＋２５＝３２（m）
t ＝３２／４＝８（ s）
若 s
自
＝８ m/s ，s ＝８m，何时相遇，相遇时v 汽＝
s自s汽s t=4s
v 汽＝２ m/s
8t=10t － t 2+8 t= － 2s( 舍 )
6、
6、解：①当 v 汽＝v 车时，有最远距离
s 7 s汽s自
16 100 4 10
7 4 16m
2 2 2
② s自s汽7
v1 t v0 t 1 at2 7 （错解）５ s 末汽车已停下
2
t 1=7s 应判断在追上前汽车可否已经停下t 1 ＇ =－１ s( 舍 )
经５ s 汽车停下且走了２５m，而s 自=20m, 20<7+25
相遇是在汽车停止后，s 自＝７＋２５＝３２（m）
t ＝３２／４＝８（s）
7、在平直公路上，一辆摩托车从静止出发追赶正前面100m处正以 v0=10m/s 的速度速度前进的卡车，若摩托车的最大速度为20m/s, 现要摩托车在2min 内追上上卡车，求摩托车的加速度为多大解析：设摩托车在2min 内素来加速追上了卡车，它的位移s1 同汽车的位移s2 的关系为s1= s2+s0
1
即2 a/t2= v0t+ s0
其中 t=2min=120s, vo=10m/s, s0=100m
13
解得 a/= 72 m/s2
13
若以加速度运动2min, 摩托车的未速度为v= a/t= 72 ×＞vm=20m/s
这说明摩托车应先做匀加加速运动，达到最大速度vm后，再做匀速运动运动去追赶卡车。

依照
上述解析可得
1
2at12+vm(t-t1)=so+vot
vm=at1
v m2
解得a= 2(v
m
t v
o
t s
o
)
202
= 2 （20 120 10 120100）m/s 2 ≈
这就是摩托车的加速度。

小结：上述解得应用了假设法，这是一种重要的思想方法，当物理过程或物理状态有多种可能性时，运用它消除错误，辩明真为是比较方便的。