三角函数恒等变换含答案及高考题.

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
β
α+－
2
β
α-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=
a
b
确定。

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==
x
x
x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x
2．求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο
ο
ο
οοο----的值．
解：原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο
οοοοο
3．若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ，求sin x cos x 的值．
解：法一：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得
，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-
=103
cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-
=10
3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．
证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6
π
2sin(2+
=x
y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．
(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，
令t =cos x ，则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=
，)4
π
sin(+x ，则
]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-∈y
7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是4
1个周期，这样求得
44
=T ，T =16，所以⋅=8πω
又由)28π
sin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ϕ
8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域．
解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时，
f (x )取最小值为.2-
1． 已知2tan =
θ，求（1）
θθθ
θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解：（1）
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθθθθθ； (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2
2222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222
-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2． 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈，则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
，因为[t ∈，所以
当t =
时，max 3y =12t =-时，min 3
4
y =，
所以，函数的值域为3
[34
y ∈，。

3．已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。

解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-
=+，即38
π
x k π=+时，()f x
最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842
ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。

4． 已知函数y=2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1
=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：
（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6
π
)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6
π
)的
图像；
（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。

综上得到y=
2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题
一，选择题
1.（08全国一6）2
(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）
A ．向左平移
π
6个长度单位 B ．向右平移
π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2
5.（08安徽卷8）函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ） A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x
7.（08广东卷5）已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32 D. －2，32 9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′，若
F ′的一条对称轴是直线,1
x π
=
则θ的一个可能取值是 （ ）
A.
512π B.512π- C.11
12
π D.1112π-
10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =+是 （ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为 （ ）
A ．1
B
C
D ．2
12.（08山东卷10
）已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值是（ ） A
．5
-
B
．
5
C ．45-
D ．45
13.（08陕西卷1）sin330︒等于 （ ） A
．2
-
B ．12-
C ．12
D
．
2
14.（08四川卷4）()2
tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭
R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝⎭
R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则 （ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
17.（08浙江卷2）函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）
A.
2
π
B .π C.32π D.2π
18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2
32cos(ππ
，∈+=x x y 的图象和
直线2
1
=y 的交点个数是 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.4 二，填空题
19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为
5
π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
22.（08浙江卷12）若3
sin(
)25
π
θ+=，则cos2θ=_________。

23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
三，解答题
24. （08四川卷17）求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

25. （08北京卷15）已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
26. （08天津卷17）已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 23.2 24. 解：2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25. 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=
11
2cos 222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． 26. 解：
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=+++⋅
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2
π
，可得222πωπ=，所以2=ω．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
πx x f ．
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
，即()Z k k x ∈+
=
216
π
π
时，⎪⎭⎫ ⎝
⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数
()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ
27. 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+Q
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+-
sin(2)6
x π
=- 2T 2
π
π=
=周期∴ （2）5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈-Q 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减，
所以 当3
x π
=
时，()f x 取最大值 1
又
1()()12
222f f π
π-
=-
<=Q ，∴当12
x π
=-时，()f x
取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[2- 28. 解：（Ⅰ）()f x
Q sin
22x x =π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
． ()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛
⎫=+
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =． Q ()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
常用三角恒等变换技巧
1 “角变换”技巧
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。

例1 已知534cos =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+πx ，4743ππ<
<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。

【分析】考虑到“已知角”是4
π
+
x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到4
4π
π-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。

【简解】因为ππ4743<<x ，所以ππ
π24
<+<x ， 又因为0534cos >=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πx ，所以πππ2423<+<x ，544sin -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x ， 从而102
cos -=x ，7tan =x . 原式=
75
28tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】（1）若先计算出10
2
cos -
=x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2
422π
π-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，运用诱导公式和倍角公式求出x 2sin 。

例2 已知)tan()tan(βαλβα-=+，其中1≠λ，求证：
1
12sin 2sin -+=λλβα
【分析】所给条件中出现的“已知角”是βα+与βα-，涉及的“未知角”是α2与β2，将三个角比较分析发现)()(2βαβαα-++=，)()(2βαβαβ--+=，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。

【简证】
()()[]()()[]
βαβαβαβαβα--+-++=sin sin 2sin 2sin )
sin()cos()cos()sin()
sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-+--+-++-+=
)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++=
1
1
)tan()tan()tan()tan(-+=----+-=λλβαβαλβαβαλ
【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出αtan 与βtan 的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。

常用的角变换关系还有： ()ββαα-+=，()ββαα+-=，
()ββαβα-+=+22，()ββαβα+-=-22，)4
(24αππαπ--=+，︒
+︒=︒304575等.
2 “名变换”技巧
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。

例3 已知向量)1,tan 1(x a -=，)0,2cos 2sin 1(x x b ++=，求b a x f ⋅=)(的定义域和值域；
【分析】易知)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。

【简解】)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=
()
1cos 2cos sin 21cos sin 12
-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=x x x x x ()()x x x x sin cos sin cos 2+-= x 2cos 2= 由0cos ≠x 得，Z k k x ∈+
≠,2
π
π，22cos 2-≠x
所以，x x f 2cos 2)(=.的定义域是⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
≠Z k k x x ,2π
π，值域是(]2,2-. 【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解. 例4 已知βα,都是锐角，且ααααβcos sin cos sin tan +-=
，求α
αβcos sin sin -的值。

【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化
切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.
【简解1】显然0cos ≠α时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-=4tan 4tan tan 14tan
tan 1cos sin 1cos sin tan παπαπ
αααααβ，
因为βα,都是锐角，所以4
π
αβ-=，
所以，
22
4sin 2sin cos sin sin =
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=
-παβα
αβ
. 【简解2】由
ααααββcos sin cos sin cos sin +-=得，α
αβ
ααβcos sin cos cos sin sin +=-， 设
A =+=-α
αβααβcos sin cos cos sin sin ，则
()()[]
2
2
222cos sin cos sin cos sin ααααββ++-=+A ，
所以，122
=A ，2
2=
A ，即22
cos sin sin =-ααβ.
【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简
解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元. 3 “常数变换”技巧
在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 x x 22cos sin 1+=，︒=45tan 1，3
tan
3π
=等.
例5 （1）求证: 2
3
cos sin 1cos sin 14
466=----x x x x ；（2）化简：x x 2cos 32sin +. 【分析】第（1）小题运用()
3
22cos sin 1x x +=和()
2
22cos sin 1x x +=把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的
()ϕω+=x A y sin 的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.
【简解】（1）左边=x x x x x
x x x 4422266322cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin --+--+
2
3cos sin 2)cos (sin cos sin 32
22222=+=x x x x x x . （2）原式=x x 2cos 3
tan
2sin π
+
x x 2cos 3
cos 3sin
2sin ⋅+
=π
π3
cos
3sin
2cos 3
cos
2sin π
π
π
x x +=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+=32sin 2πx
【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了
x x 22cos sin 1+=把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了︒=45tan 1，把分
式变成了整式.
4 “边角互化”技巧
解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.
例6 在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2a sin A = (2b +c ) sin B + (2c +b ) sin C ，
（1）求角A 的大小；
（2）若sin sin 1B C +=，证明ABC ∆是等腰三角形.
【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。

【简解】（1）（角化边）由正弦定理
C
c
B b A a sin sin sin =
=得， c b c b c b a )2()2(22
+++=，整理得，bc c b a ++=222，
所以212cos 222-=-+=bc a c b A ，因为π<<A 0，所以3
2π
=A .
（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，
C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22
+++=
即C B C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 22
2
-+=，从而4
1
sin sin =C B ， 又sin sin 1B C +=，所以2
1sin sin ==C B . 所以C B =，ABC ∆是等腰三角形. 法二：由（1）知3
π
=
+C B ，B C -=
3
π
，代入sin sin 1B C +=得，
1sin 21cos 23sin =-+
B B B ，所以13sin =⎪⎭
⎫
⎝⎛+B π，23ππ=+B ， 所以6
π
=
B ，6
π
=
C ，ABC ∆是等腰三角形.
【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件sin sin 1B C +=化为边的关系，而把条件2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.
5 “升降幂变换”技巧 当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降
幂”技巧，常见的公式有：2
2cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛
±=±x x x ，2cos 2cos 12x x =+，
2
sin 2cos 12
x
x =-，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”. 例7 化简：6sin 16sin 1-++ 【分析】含有根号，需“升幂”去根号. 【简解】原式=+++3cos 3sin 23cos 3sin 2
2
3cos 3sin 23cos 3sin 22-+
=3cos 3sin 3cos 3sin -++
因为
ππ<<343，所以043sin 23cos 3sin <⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+π，03cos 3sin >-，
所以，原式3cos 2)3cos 3(sin )3cos 2(sin -=-++-=.
例8 求函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，的最大值与最小值． 【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致..
【简解】π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+- ⎪⎝⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合
各种技巧与方法才能顺利地解题。

如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.
6 “公式变用”技巧
几乎所有公式都能变形用或逆向用，如αααcos 22sin sin =
，α
α
αsin 22sin cos =，
()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=±等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等
也是一种公式变用或逆用技巧.
例9 求值：（1）︒︒︒︒80cos 60cos 40cos 20cos ；
（2）︒︒-︒-︒10tan 70tan 310tan 70tan 。

【分析】第（1）小题中，除︒60是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为︒60，而3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。

【简解】（1）原式＝
16
1
20sin 16160sin 80sin 2160sin 60cos 40sin 280sin 20sin 240sin =
︒︒=︒︒︒︒︒︒︒。

（2）原式＝︒︒-︒︒+︒-︒10tan 70tan 3)10tan 70tan 1)(1070tan(＝3。

【反思】第（1）小题的一般性结论是： ()
*1
sin 22sin 2
cos 2cos cos N n n n n ∈=-α
α
αααΛ.
例10 求证：[]n x
nx
nx x n x x x x -=
-+++tan tan tan )1(tan 3tan 2tan 2tan tan Λ。

【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.
【简证】因为()[]x
k kx x
k kx x k kx x )1tan(tan 1)1tan(tan 1tan tan -+--=
--=，n k ,,4,3,2Λ=
所以1tan )1tan(tan tan )1tan(---=
-x
x
k kx kx x k ，
左边=x x x tan tan 2tan -x x x tan 2tan 3tan -+x x x tan 3tan 4tan -+n x
x n nx ---++tan )1tan(tan Λ
=n x
nx -tan tan 【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.
7 “辅助角变换”技巧 通常把)sin(cos sin 22ϕ++=
+x b a x b x a 叫做辅助角公式（也叫化一公式）
，其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为()ϕω+=x A y sin 的形式，来研究其图象与性质. 尤其是
当
1±=b a ，3±，33±
时，要熟记其变换式，如⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+4(sin 2cos sin πx x x ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-6(sin 2cos sin 3πx x x 等.
例11 求函数x
x
y cos 3sin 1++=
的值域.
【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了x b x a cos sin +，然后利用三角函数的有界性建立关于y 的不等式. 【简解】由x
x
y cos 3sin 1++=
得x x y y sin 1cos 3+=+，所以13cos sin -=-y x y x ，
从而13)sin(12-=++y x y ϕ， 其中辅助角ϕ由2
1sin y
y +-
=ϕ，2
11cos y
+=
ϕ决定.
所以，由()1113sin 2
≤+-=
+y y x ϕ解得4
30≤
≤y . 【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果. 事实上，x b x a cos sin +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x a b x a cos sin ，可设ϕtan =a b ，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”.. 8 “换元变换”技巧
有些函数，式子里同时出现x x cos sin +（或x x cos sin -）与x x cos sin ，这时，可设
x x t cos sin +=（或x x t cos sin -=）
，则21cos sin 2-=t x x （或2
1cos sin 2
t x x -=），把三角函数转化为熟悉的函数来求解. 例12 求函数⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++⋅=
2,0cos sin 1cos sin πx x x x x y 的值域． 【分析】同时出现x x cos sin +与x x cos sin 时，可用()x x x x cos sin 21cos sin 2
+=+. 【简解】设t x x =+cos sin ，因为2
0π
≤
≤x ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
4(sin 2πx t ，所以]2,1(∈t ，
又由()x x x x cos sin 21cos sin 2
+=+得，2
1
cos sin 2-=t x x ，
所以，2
1
121
cos sin 1cos sin 2-=
+-=++⋅=t t t x x x x y ， 由]2,1(∈t 得，2
1
20-≤
<y . 【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式()x x x x cos sin 21cos sin 2
+=+应用广泛，如在解答命题“已知θsin ，
θcos 是方程012=++-k kx x 的两根，求k 的值．”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。

例13 求证：
zx
x
z yz z y xy y x zx x z yz z y xy y x +-⋅+-⋅+-=+-++-++-111111。

【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论 C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。

【简解】设z y x ===γβαtan ,tan ,tan ，因为()()γαγββα-=-+-， 所以()()[]()γαγββα-=-+-tan tan ，
()()()()
()γαγββαγββα-=----+-tan tan tan 1tan tan ，
变形整理得()()()=-+-+-αγγββαtan tan tan ()()()αγγββα---tan tan tan
所以，
α
γα
γγβγββαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan +-++-++-
αγα
γγβγββαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan +-⋅+-⋅+-=
即，
zx
x
z yz z y xy y x zx x z yz z y xy y x +-⋅+-⋅+-=+-++-++-111111 【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐. 9 “万能置换”技巧
“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切. 例14 讨论函数2
12x x
y +=
的最大值与最小值.
【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式
2
tan 12tan
2sin 2
x
x
x +=
相同，于是问题得到转化. 【简解】设()ππ<<-=t t x 2tan ，则2
12x
x y +=t t t
sin 2
tan 12tan
22
=+=， 当且仅当2π=t 也就是14
tan ==π
x 时，1max =y ，
当且仅当2
π
-
=t 也就是14tan -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=πx 时，1min -=y . 【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公
式；（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化
为代数问题，如例11中，可设2tan
x
t =，则4
2
tan 212tan 22tan cos 3sin 122
+++=++=x x
x x
x y ，即
4
2122
2+++=t t t y ，然后可用判别式法求解.。