21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)

2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
方程有两个相等的实数根
−(−4)± 44
=
=2±
2×1
x1=x2=- =−
11，
即x1=2+ 11，x2=2− 11.

2
−2 2 2
= .
方法的步骤求出方程两根。
解：移项，得ax2+bx=-c。


2
二次项系数化为1，得x + x=



2




2
2−4
∴
≥0。
42
。
配方，得x2+ x+( )2=- +( )2。
2 2−4
即(x+ ) =
。
2
42
∵b2-4ac≥0，且4a2＞0，

2−4
直接开平方，得x+ =±
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
教材第12~14页
情境引入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直
上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位；m）为10x-4.9x2.
样的正方体形状的盒子的
全部外表面。你能算出盒
子的棱长吗？
根据平方根的意义，得x=±5，
即x1=5，x2=-5.
可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为
棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
教学新知
一般地，对于方程
x2=p，
（Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实
数根x1=- ，x2= ；
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法（1）
情境引入
一桶某种油漆可刷的面积 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒
为1500dm2，李林用这
子的表面积为6x2dm2.根据一桶油漆可刷的
2=1500.①
面积，列出方程10×6x
桶油漆恰好刷完了10个同
整理，得x2=25.
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解。
理论依据：若ab=0，则a=0或b=0。
小练习
例 1：一元二次方程x2=2x的根是（ C ）
A. x=2
B. x=0
C.x1=0,x2=2
D. x1=0，x2=-2
解析：移项，得：x2-2x=0.因式分解，得:x(x-2)=0.于是，得：x=0或x2=0.即x1=0，x2=2。
解：(2)移项，得2x2-3x=-1.
配方，得x2-8x+42=-1+42，
3
1
2
二次项系数化为1，得x - x=- 。
（x-4)2=15.
由此可得x-4=± 15，
x1=4+ 15，x2=4- 15。
2
2
3
3 2 1 3 2
3 2 1
2
配方，得x - x+( ) =- +( ) ，（x- ) =
2
为-16=-8×2，-6=-8+2，所以x2-6x-16+=(x-8)(x+2），这样二次方程步骤：
（1）化方程为一般形式；
____________。
解析：本题二次项系数为1，根据常数项是一次项常数的一半的平方直接配方。
即：x2-4x-1=x2-4x+22-1-22=(x-2)2-5。
知识梳理
知识点2：配方法解方程。
例2：把方程x2-4x-6=0配方，化为(x+m)2=n的形式应为（ C ）
A. (x-4)2=6
B. (x-2)2=4
,
2
2
−± 2−4
即x=
。
2
−+ 2−4
−− 2−4
∴x1=
，x2=
。
2
2
知识梳理
式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别
式，通常用希腊字母”Δ“表示它，即Δ=b2-4ac。
• 当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根。
• 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根。
方程有两个不等的实数根
方程无实数根。
−± 2−4 −(−4)±
x=
=
2
2×5
1
即x1=1，x2=− .
5
4±6
= ，
10
36
知识梳理
知识点1：根的判别式。
式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通
常用希腊字母”Δ“表示它，即Δ=b2-4ac。
• 当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根。
形如x2=p（p≥0），x既可以是单项式，也可以是含有未知数
的多项式。
二、直接开平方法解一元二次方程。
转化为x2=p（p≥0），开平方得：x=± 。
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法（2）
教学新知
解下列方程：
(1)x2-8x+1=0
(2)2x2+1=3x
解：(1)移项，得x2-8x=-1.
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）
无实数根。
探究
解方程(x+3)2=5
由方程(x+3)2=5，
得x+3=± 5，
即x+3= 5，x+3=- 5.
于是，方程（x+3)2=5的两个根为
x1=-3+ 5，x2=-3- 5。
3
4
4
1
4
由此可得x- =± ，
1
2
x1=1，x2= 。
2
4
4
16
.
教学新知
解下列方程：
(3)3x2-6x+4=0
解：移项，得3x2-6x=-4.
4
3
二次项系数化为1，得x2-2x=- ，
4
3
配方，得x2-2x+12=- +12，
1
2
(x-1) =- .
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任意实数时，(x-1)2
• 当Δ＜0时，方程无实数根。

−± 2−4
当Δ≥0时，方程的实数根可写为
，这个式子叫
2
作一元二次方程的求根公式，利用求根公式解方程的方
法叫作公式法。
②、⑧
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（1）x2-4x-7=0
（2）2x2-2 2x+1=0
解：a=1,b=-4,c=-7.
解：a=2,b=-2 2,c=1.
平方根法的条件知m≥0.
知识梳理
知识点2：直接开平方法解一元二次方程。
转化为x2=p（p≥0），开平方得：x=± 。
例 2 解方程：（2x+3)2-25=0
解：移项得(2x+3)2=25,
开平方得2x+3=±5，
则2x=±5-3，
即x1=1，x2=-4.
知识要点
一、直接开平方法的结构形式。
知识梳理

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程有两个不等的实数根
x1=-n- ，x2=-n+ ；
（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根
x1=x2=-n；
（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无
实数根.
知识梳理
知识点1：二次三项式的恒等变形。
若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，即：
2
2
2
x +nx+( ) =(x+ ) ;若二次项系数不为1，需先提取二次项系
2
2
数，括号内转化为二次项系数为1的二次三项式后再恒等变形。
例1：二次三项式x2-4x-1写成a(x+m)2+n的形式为
(x-2)2-5
知识要点
配方法的步骤：
①移项；②二次项系数化为1；③配方；④变为(x+n)2=p的形
式；⑤直接开平方法求取方程的解。
实质：
最终转化为(x+n)2=p的形式。
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
知识梳理
若一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配
例 2：一元二次方程x（x-6）=0的两个实数根中较大的根
是___
6
解析：原方程转化为x=0或x-6=0，∴x1=0，x2=6，∴原方程较大的根为6。
知识梳理
知识点2：选择合适的方法解一元二次方程。
（1）没有一次项的，可以使用直接开平方法；
（2）没有常数项的，可以利用因式分解法，提取公因式即可；
（3）三项都有，且二次项系数为1时，首先考虑利用十字相乘法
4
4
解：移项、合并同类项，得
4x2-1=0.
(x-2)(x+1)=0.
于是得
因式分解，得
(2x+1)(2x-1）=0.
x-2=0,或x+1=0，
x1=2，x2=-1
于是得
2x+1=0，或2x-1=0，
1
2
1
2
x1=- ，x2= .
知识梳理
知识点1：因式分解法解一元二次方程。
（1）化方程为一般形式；
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后
两位）？设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，
即10x-4.9x2=0.
解：左边分解因式整理得x（10-4.9x）=0,
100
所以x=0或x= 。
49
知识梳理
例：解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0
解：因式分解，得
1
3
2
2
（2）5x -2x- =x -2x+
• 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根。
• 当Δ＜0时，方程无实数根。
知识梳理
例 1：下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ A ）
A. x2-3x+1=0
B. x2+1=0
C.x2-2x+1=0
D. x2+2x+3=0
解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0.A选
项，Δ=（-3）2-4×1×1=5＞0，选项正确；B选项，Δ=0-4×1×1=-3＜0，
知识梳理
知识点1：直接开平方根法的结构形式。
形如x2=p（p≥0），x既可以是单项式，也可以是含有未
知数的多项式。
例 1 已知关于x的一元二次方程（x+1)2-m=0有两个实数
根，则m的取值范围是（ B ）
A.
3
m≥4
B. m≥0
C. m≥1
D. m≥2
解析：首先移项，把-m移到方程右边得到（x+1)2=m，再根据直接开
C.(x-2)2=10
D. (x-2)2=0
解析：移项，得x2-4x=6，配方，得x2-4x+4=6+4，即(x-2)2=10。
例3：把方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是（ A ）
A. (x+4)2=7
B. (x+4)2=25
C.(x+4)2=-9
D. (x+4)2=-7
解析：移项，得x2+8x=-9，配方，得x2+8x+16=-9+16，即(x+4)2=7。
∵Δ=（-3）2-4×1×（-1）=13＞0
−± 2−4 −(−3)± 13 3± 13
∴x=
=
=
。
2
2×1
2
知识要点
根的判别式：Δ=b2-4ac。
一般步骤：
（1）现将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；
（2）确定a、b、c的值(注意a、b、c的确定应包括各自的符号）；
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
知识梳理
用配方法解一元二次方程的基本步骤。
（1）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（2）二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数。
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为（x+n）2=p的形式。
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方法求取方程的解。
选项不正确；C选项，Δ=（-2）2-4×1×1=0，选项不正确；D选项，
Δ=22-4×1×3=-8＜0，选项不正确。
知识梳理
知识点2：公式法解一元二次方程。
用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
（1）现将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；
（2）确定a、b、c的值(注意a、b、c的确定应包括各自的符号）；