材料力学(第六讲)-2

t, max t
但是， 但是，对于以下几种情况， 对于以下几种情况，需考虑弯曲切应力条件： 需考虑弯曲切应力条件：
①短梁（ 短梁（非细长梁） 非细长梁）或在支座附近的截面； 或在支座附近的截面； ②(铆接或焊接的工字梁) 铆接或焊接的工字梁)腹板深而高的梁； 腹板深而高的梁； ③经铆接、 经铆接、焊接或胶合而成的梁， 焊接或胶合而成的梁，对铆钉、 对铆钉、焊缝或胶合面 等一般要进行剪切强度计算。 等一般要进行剪切强度计算。
№22a满足要求
d
σ t ,m a x
第六章 弯曲应力 例4-2：已知
[σ + ] = 40 MPa
[σ − ] = 100 MPa
校核梁的强度。 校核梁的强度。
20 kN
20 kN
C
A
B
D
1m
3m
1m
200
a
30
y1
讨论： 讨论：材料拉压强度不
170
z
相等问题的危险截面与 危险点
yC
b 30
第六章 弯曲应力
第六章 弯曲应力 §6-3 弯曲切应力 引言： 引言：问题的提出 19世纪， 世纪，铁路开始发展， 铁路开始发展，人们很不理解， 人们很不理解，枕木为 什么沿纵向中截面开裂？ 什么沿纵向中截面开裂？
D.J Jourawski (1821－1891)是俄国桥梁与铁路 工程师， 工程师，发展了现在广泛应用的梁的剪切近似理论
h 2
FS
C
τ ( y)
z
h 2 2
y
//剪力( 剪力(或截面侧边) 或截面侧边)，并沿 假设: 横截面上各处的 τ(y) 均//剪力 截面宽度均匀分布
第六章 弯曲应力 由图示微体平衡： 由图示微体平衡：
1 M 2 M + dM
∑ F = 0,
x
F = ∫ ω σ dA
σ=
My Iz
h2
ω
b 2 b 2
y
b h 2 = −y 2 4
2
bh3 Iz = 12
3FS 4 y2 τ ( y) = 1 − 2 2bh h
最大切应力发生在中性轴
τ max = 3 FS
2 A
第六章 弯曲应力 工字形截面梁的弯曲切应力
Fs
b
Fs S z (ω ) τ (η ) = I zt
第六章 弯曲应力 讨论： 讨论：如何确定可能危险点 a σ C ,max d
b b
z
σ1
τ1
O
a
τ
σ C ,max τ1
σ1
c
b'
c
b'
τ max
σ1
b
τ max
τ1
y
c τ max
d
d
y
σ t ,max
d
σ t ,max
分析思路： 分析思路：画截面应力分布图。 画截面应力分布图。 可能正应力危险点： 可能正应力危险点：a,d； 可能切应力危险点： 可能切应力危险点：c。
可能正应力和切应力联合作用危险点： 可能正应力和切应力联合作用危险点：b,b’（第九章讨论） 第九章讨论）
第六章 弯曲应力 解：1. 内力分析 (确定危险截面） 确定危险截面）
当载荷靠近支座时， 当载荷靠近支座时，FS, max = FS (0) = F 当载荷位于跨度中点时， 当载荷位于跨度中点时， M max =
z
3) 求[P]：
τ胶
QS* Z = ≤ [τ ]胶 bI Z
Sz*=100×50× 50×50=25000mm3
→ [P] ≤ 38.3(kN )
4)求最大剪应力
τ max
3 Q = = 3.83MPa 2 bh
第六章 弯曲应力 5)求最大正应力
σ max
PL = = 102 MPa WZ
注：若叠梁的板间接触面光滑无约束， 若叠梁的板间接触面光滑无约束，则每层板承受的弯 矩相等。 矩相等。
∗
F + τ ′ ⋅ b ⋅ dx = F + dF 1 dF ′ τ = τ (y ) = b dx
M = y * dA ∫ ω Iz
MSz (ω ) = Iz
y y*
FS
m n
FS
σ
1 2
dx
σ + dσ
x
∫ω
y ∗ dA = S z (ω )
m
n
Sz(ω)－面积 ω 对中性轴 z 的静矩 Iz －整个横截面对中性轴z的惯性矩
20 kN 20 kN
C
分析： 分析：危险截面是否一定 是弯矩绝对值最大截面？ 是弯矩绝对值最大截面？
A
B
D
1m
3m
1m
画剪力弯矩图
M 图:
10 kN ⋅ m
My σ= Iz
C截面： 截面：弯矩绝对值最大。 弯矩绝对值最大。a点拉应 力，b点压应力都可能达危险值。 点压应力都可能达危险值。 B截面： 截面：弯矩绝对值不是最大， 弯矩绝对值不是最大， 但b点拉应力可能达危险值。 点拉应力可能达危险值。
σ max ≤ [σ ]
τ max ≤ [τ ]
有时需考虑 σ, τ 联合作用的强度条件
第六章 弯曲应力
梁强度问题的分析步骤： 梁强度问题的分析步骤：
1、内力分析——确定危险截面 2、应力分析——确定危险点 3、根据强度条件进行强度校核等。 根据强度条件进行强度校核等。
设计截面时
σ max ≤ [σ ]
为校核梁的强度， 为校核梁的强度，需计算 C 截面a点的拉应力与b点 压应力， 压应力， B截面b点拉应力
170
yC y1
b 30
第六章 弯曲应力
20 kN 20 kN
C
C截面： 截面：
6 M y 20 × 10 × 61 + C 1 = σa = Iz 40.3 × 106
验证
确定截面尺寸
τ max ≤ [τ ]
第六章 弯曲应力
例 4-1 简易吊车梁， 简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m，[σ] = 100 MPa ， [τ] = 60 MPa，选择工字钢型号
•关于危险截面的讨论 •关于[σ]与[τ]两个强度条件的讨论
第六章 弯曲应力 讨论： 讨论：如何确定可能危险截面 画剪力弯矩图或列剪力弯矩 方程 分别确定剪力弯矩最大截面
第六章 弯曲应力
§6-4 梁的强度条件
梁应力公式回顾 1.对称弯曲正应力公式 1.对称弯曲正应力公式
My σ = Iz
σ max =
M Wz
2.矩形截面梁的弯曲切应力 2.矩形截面梁的弯曲切应力 3 Fs FS S z (ω ) τ max = τ (y ) = 2A Izb 3.对称薄壁截面梁的弯曲切应力 3.对称薄壁截面梁的弯曲切应力
Fl 4
a σ C ,m a x
b
σ1
正应力的危险截面是梁中截面 切应力的危险截面是梁端截面 2. 危险截面应力分析 (确定危险点） 确定危险点） 可能正应力危险点： 可能正应力危险点：a或d 可能切应力危险点： 可能切应力危险点：c
c
b'
τ max
σ1
d
σ t ,m a x
第六章 弯曲应力 3. 设计（ 设计（选择） 选择） 截面 通常按正应力强度条件设计截 面，由切应力强度条件校核 M max σ max＝ ≤ [σ ] WZ
2
t2
H
h
z
y
η
t1
τ min =
FS (bH 2 − bh 2 ) 8 I z t2
τ max
τ max与τ max差值很小， 当腹板厚度t 当腹板厚度t2远小于翼缘宽度b 远小于翼缘宽度b时， 差值很小， 因此， 因此，腹板上的切应力可近似看成是均匀分布。 腹板上的切应力可近似看成是均匀分布。
第六章 弯曲应力
M max ≤ [σ ] WZ
对于拉、 对于拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁, 压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,应分别计算最大 拉应力点和最大压应力点. 拉应力点和最大压应力点.
σ t ,max ≤ [σ t ]
σ c ,max ≤ [σ c ]
•弯曲切应力强度条件： 弯曲切应力强度条件：
η
t1
第六章 弯曲应力 例、由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁， 由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，尺寸如图所示。 尺寸如图所示。 胶合层的拉剪强度较小， 胶合层的拉剪强度较小，[τ]=3.4MPa,试求其许用载荷P，并在 此载荷作用下梁中的τmax和相应的σmax。 外力分析： 解： 1) 外力分析： 2) 内力分析(Q、M图)：
Fs S z (ω ) τ ( s) = Izt
第六章 弯曲应力 梁的强度条件 • 弯曲正应力强度条件： 弯曲正应力强度条件：
σ max
M = W ≤ [σ ] z max
拉、压强度相等的 压强度相等的塑性材料制成的 塑性材料制成的等截面 制成的等截面梁 等截面梁:
σ max＝
第六章 弯曲应力 §6-3 弯曲切应力 横力弯曲时, 横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 横截面上既有正应力, 又有切应力。 又有切应力。 推导切应力公式的方法： 推导切应力公式的方法： 假设切应力的分布规律， 假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件 然后根据平衡条件求出切应力 平衡条件求出切应力。 求出切应力。 一、矩形截面梁( 矩形截面梁(h>b)的弯曲切应力
τ ( y)
1
F
τ′
m n
ω
b
1
F + dF
2
Sz (ω ) dM τ ( y) = bI z dx
F S (ω ) τ ( y) = S z I zb
dx
第六章 弯曲应力
FS S z (ω ) τ (y ) = Izb
截面静矩与惯性矩
h2
FS
C
y
z
O
τ
τ max
h 1h S z (ω ) = b − y ⋅ + y 2 2 2
Fs b
腹板切应力的近似公式 腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布 腹板切应力近似为均匀分布; 因为: (1) 腹板切应力近似为均匀分布; (2)腹板负担了绝大部分剪力 (2)腹板负担了绝大部分剪力。 腹板负担了绝大部分剪力。
H
h
t2
y
z
近似公式: 近似公式:
FS τ= ht2
b
C
z
h
y
对于细长梁（ 对于细长梁（ l/h > 5 ），弯曲正应力远大于弯曲切应 ），弯曲正应力远大于弯曲切应 力，主要应力是弯曲正应力。 主要应力是弯曲正应力。所以对于发生横力弯曲的 细长梁， 细长梁，可以应用纯弯曲时的正应力计算公式正应力， 可以应用纯弯曲时的正应力计算公式正应力， 其结果仍足够精确。 其结果仍足够精确。
b 2 2 t2 h 腹板 S z (ω ) = ( H − h ) + ( − y 2 ) 8 2 2 F τ ( y ) = s [b( H 2 − h2 ) + t 2 ( h2 − 4 y 2 )] 8 I z t2 Fs [bH 2 − (b − t )h2 ] τ max = 8 I z t2
FS (η ) = (l − η )F F , S, max = FS (0) = F l η Fl M (η ) = Fη 1 − , M max = l 4
结论： 结论：关于正应力的危险截面是梁中截面 关于切应力的危险截面是梁端截面 注意： 注意：正应力与切应力危险截面不一定重合。 正应力与切应力危险截面不一定重合。
(Mmax )New =
M max 3
Wz (Wz )New = 9
(σ max )New = 3σ max = 306MPa
第六章 弯曲应力 弯曲正应力与弯曲切 应力比较
l
F
σ max
σ max τ max
3F Fl 6Fl τ max = = 2 = 2 2 bh bh bh 6 6 Fl 2bh l = 2 = 4 当 l >> h 时，σmax >> τmax bh 3F h
τ max =
FS Sz ,max ≤ [τ ] I zδ max
• σ ,τ 联合作用强度条件（详见第9 详见第9章强度理论） 章强度理论）
第六章 弯曲应力 梁强度条件的选用 对于一般细长非薄壁梁， 对于一般细长非薄壁梁，梁的强度通常是由正应 力强度条件来控制。 力强度条件来控制。 σ c,max ≤ [σ c ] σ max ≤ [σ ] (Q σ max >> τ max ) σ ≤ [σ ]
Wz ≥ Fl = 3.0 × 10 − 4 m4 4[σ ]
a σ C ,m a x
b
σ1
查教材P367, 附录F 型钢表： 型钢表： 选 №22a, Wz=3.09×10-4 m4 3. 校核梁的剪切强度
τ max =
F Iz Sz ,max
c
b'
τ max
σ1
δ
= 14.11 MPa < [τ ]
+
−
20 kN ⋅ m
200
a
30
z
y1
170
yC
b 30
第六章 弯曲应力
20 kN
A
20 kN
C
B
D
解：计算截面形心 与惯性矩
1m
3m
1m
yc1 ⋅ A1 + yc 2 ⋅ A2 yc = A1 + A2
M 图:
10 kN ⋅ m
+
−
20 kN ⋅ m
200
a
30
z
yC = 139mm I z = 40.3 × 106 mm 4 （平行移轴定理）