同济大学大学物理上学期

=
B 2ωL4
2 2R
4R
根据转动定律，得
⎧⎪⎪ J ⎨
dω
dt
=
−M
LLLLБайду номын сангаас1)
⎪⎪⎩ J
=
1 3
mL2 LLLLL(2)
v
ω
B
O
R
则： dω = − 3B 2 L2 d t
ω
4Rm
ω
=
ω0
exp(−
3B 2 L2 4Rm
t)
例: 有一长直导体圆管，内，外半径分别为R1，R2，通有电流 I1，且均匀分布在其横截面上，导体旁有一绝缘“无限长”直导线 载有电流I2，且在中部绕了一个半径为R的圆。导管轴线与直线 平行，相距为d，(1)求圆心O点的磁感应强度，(2)导体圆管的
A、Ⅰ区域 C、Ⅲ区域
B、Ⅱ区域 D、Ⅳ区域
答案：B
ⅠⅡ ⅢⅣ
4. 两个相距不太远的平面圆线圈，怎样可使其互感系 数近似为零？设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的 圆心． (A) 两线圈的轴线互相平行放置． (B) 两线圈并联． (C) 两线圈的轴线互相垂直放置． (D) 两线圈串联．
答案：C
5. 真空中两根很长的相距为2a的平行直导线与电源 组成闭合回路如图．已知导线中的电流为I，则在两 导线正中间某点P处的磁能密度为
b0i??sinsin121124a442iarb0sin144r0i20i0i20ib4242rrrridll12电流元中心db024riol2i21ilrb10112纸面向外4r图2ilb20222纸面向里4rirlq122ilil1122irl211bbb012如图两个半径为r的相同的金属环在ab两点接触ab边线为环直径并相互垂直放置电流i沿ab边线方向由a端流入b端流出则环中心o点的磁感应强度的大小为ui0a0b4rcu2i0du2i04r8r如图一半径为r的带电塑料圆盘其中有一半径为r的阴影部分均匀带正电荷面电荷密度为?其余部分带负电荷面电荷密度为当圆盘以角速度旋转时测得圆盘中心o点的磁感应强度为零问r与r满足什么关系
上处滑于动均．匀棒磁端场OB和v 金中属, 环Bv 之的间方接向一垂电直阻纸R面，向整里个，环如面题
图所示．设t =0时，初角速度为 ω．0忽略摩擦力及
金属棒、导线和圆环的电阻．求
(1) 当角速度为 ω时金属棒内的动生电动势的大小；
(2) 棒的角速度随时间变化的表达式。（提
示：利用转动定律）
v
ω
B
O
rB
=
μ0
π
I1 (R22 −
R12
)
π
r 2 − R12
所以在 (R < r < R ) 区间
R2
1
2
B
=
μ I (r 2 01
2πr (R 2
− −
R2) 1
R2)
I1
2
1
R1
I2
r
l
R
d
I2
(( )) 磁通
dφm
= Bds =
μ 0 I1 r 2 − R12
2πr
R
2 2
− R12
ldr
(( )) dφm
解：由对称性可知均匀分布的圆环圆心处的场
强为0，由此可推广：均匀带电球壳其内部场强 处处为0。由于要求直径AB上的场强为0，而圆 环只对圆心具有中心对称性，故可知圆环上的电 荷分布是不均匀的，可设想把原均匀分布在球面 上的电荷，对应地压缩到以AB为直径的一圆环 上，它们在直径AB上的场强则处处为0。
R
解：(1) 对于金属棒OB，沿径向在半径为 r 处取 drr，
利用公式
ε
=
∫
(vr
×
r B)
⋅
drr
，得
∫ ∫ ε = L vB d r = L rωB d r = BωL2
0
0
2
（2）设磁力作用在金属棒OB上的力矩大小为 M，则
∫ M
=
L
r ⋅ BI d r
=
1
BIL2
0
2
=
1
BωL2
B(
)L2
∴ B = μ0I + 4× 2μ0I = μ0I + 2μ0I
2R
4πR 2R πR
l1
I1
o l2 I2
R
图（2）
（2）
电流元中心
dB
=
μI 0
4π
dl r2
B1 =
μ 0 I1l1 4πR 2
⊥
纸面向外
B2
=
μ0 I 2l2 4πR2
⊥
纸面向里
Q
I1 I2
=
R2 R1
= l2 l1
∴ I1l1 = I 2l2
评论，哪种是正确的？
(A) 甲、乙、丙、丁全对． (B) 甲、乙、丙、丁全错．
(C) 甲、乙、丁对，丙错． (D) 乙、丁对，甲、丙错．
为 + σ，其余部分带负电荷，面电荷密度为− σ，
ω 当圆盘以角速度 旋转时，测得圆盘中心O点的
磁感应强度为零，问R与r满足什么关系？
解：带电圆盘的转动，可看作无数 的电流圆环的磁场在O点的叠加，
某一半径为 ρ 的圆环的磁场为
dB = μ0di 2ρ
( ) di = σ 2πρdρ ⋅ ω 2π = σωρdρ
外。
B2
=
μ0 4π
∫l2
0
I2dl r2
=
μ0 4π
I 2l2 r2
求如图所示的电流中球心0的磁感应强
度。
l1
a
o
II
R
I1
o l2 I2
R
图（1）
图（2）
（1） 每一边电流产生B1：
B1
=
μ0I 4πa
[sin
β2
−
sin
β1 ],
β1
=
−
π
4
,β2
=
π
4
a = R sin π
4
∴ B1
=
2μ0I 4πR
∴ B = B1 + B2 = 0
如图两个半径为R的相同的金属环在a、b 两点接触 （ab边线为环直径），并相互垂直放置， 电流I沿 ab边线方向由a端流入b端流出，则环中心O点的磁 感应强度的大小为（ ）
A、0
C、 2U0I 4R
B、 U0I 4R
D、 2U0I
8R
如图一半径为R的带电塑料圆盘，其中有一半径 为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度
∴ dB
=
μ0σωρdρ
2ρ
=
1 2
μ0σωdρ
正电部分产生的磁感应强度为
∫ B+
=
r μ0σω dρ = μ0σω r
02
2
负电部分产生的磁感应强度为
∫ B− =
R μ0σω dρ = μ0σω (R − r)
r2
2
B+ = B−
∴ R = 2r
例如图:在所圆示柱.形Bv空的间大内小有以一速磁率感d B应变强化度. 为有Bv一的半均径匀为磁R场的，
如图所示，圆环上任一点P处一小段弧长ΔL， ΔL上分布的电量应等于半径为R，电量为Q的均 匀带电球面上相应一小环带所带电的一半，
故有：
即圆环上电荷分布规律为：
点评：本题的求解关键在于将圆环上电荷的不均匀分布与球面上电荷的均匀分布 相联系，而这种联系是建立在两者于直径上的场强等效而产生的，静电学的等效 处理是一种很有效的解题方法。
R12
)
[
R22
− 2
R12
−
R12
ln
R2 R1
]
(1) 半长直电流的磁场
β1
=
0,
β2
→
π
2
B
=
1 2
μI 2π a
（2） 圆电流的磁场
轴线上任一点P的磁场
B=
μ0
2
R2I
(R2
+
x2
3
)2
圆电流中心的磁场 ½ 圆电流的中心的
B = μ0I
2R
B = 1 μ0I
2 2R
1/n 圆电流的中心的
B = 1 μ0I
n 2R
长直电流与圆电流的组合――例求下各图中0点的B的大小
I
R
o
B = μ0I
8R
I
R
O
I
R
O
B = μ0I + μ0I 4R 4πR
I
R
o
o
R
B = μ0I
4R
I
B = μ0I + μ0I 4R 2πR
B = 3μ0 I + μ0 I 8R 4πR
（1 ）
I
R o
v B0
x
B0 =
μ0I
2R
磁场穿过内、外圆筒间如图所示截面的磁通。
I2
解（1）圆电流产生的磁场
B1
=
μ0I2
2R
长直导线电流的磁场
B2
=
μ0I2 2π R
R2
R1
I2
I1
l
R
d
导管电流产生的磁场 所以O点处的磁感应强度
B3
=
μ0I 1 2π (d + R)
B = B1 + B2 − B3
（2）导管内部的场，
( ) 因为
2π
1.长直电流I2与圆形电流I1共面，并与其一直径相重 合， 如图（但两者间绝缘），设长直电流不动，
则圆形电流将（ ）
A、绕I2旋转
B、向左运动 C、向右运
动 D、向上运动
E、不动
答案：C
2、静电场中某点电势的数值等于 （
）
（A）试验电荷 q0 置于该点时具有的电势能。 （B）单位试验电荷置于该点时具有的电势能。 （C）单位正电荷置于该点时具有电势能。 （D）把单位正电荷从该点移到电势零点外力作的功。
= Bds =
μ 0 I1 r 2 − R12
2πr
R
2 2
− R12
ldr
∫ (( )) ∴ φ m =
μ I R 2 0 1
r2
−
R
2 1
ldr
R1
2π r
R
2 2
−
R
2 1
∫ ∫ =
μ0 I1l
R2
[
rdr
−
R2
R12dr
]
2π (R22 − R12 ) R1
r R1
=
2π
μ0 I1l
(R22 +
(A) 1 ( μ0I )2
μ0 2πa
. (B)
1 (μ0I )2 2μ0 2πa
I 2a
I
.
(C)
1 (μ0I )2 2μ0 πa
.
(D)
0.
[]
P
B1
=
B2
=
μ0I 2πa
wm
=
B2
2μ0
=
1
2μ0
⎜⎛ μ0 I ⎟⎞2 ⎝ πa ⎠
6. 长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中
心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环
（2 ） I
R o+
B0
=
μ0I
4R
（3） I R o
B0
=
μ0I
8R
（4）
（5） I
BA
=
μ0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0
=
μ0I
4R2
−
μ0I
4R1
−
μ0I
4π R1
例： 两根长直导线沿铜环的半径方向引向
环上的a，b两点，如图所示，并且与很远
的电源相连。设圆环由均匀导线弯曲而
成，电源电流为I，求各段载流导线在环心
O点产生的磁感强度以及O点的合磁场的磁
感强度。
I b′
b
l1 I1 O
I2 l2 a a′ I
解：载流直导线 在 O点产生的磁感应 强度为零。
I b′ b
I1在O点产生B1，
l1 I1 O
I2 l2 a a′
∫ B1
=
μ0 4π
l1 0
I1dl r2
=
μ0 4π
I1l1 r2
I
方向垂直环面向里。
I2在O点产生B2：方向垂直环面向
同心金属圆环，则圆环上任d意t 两点a、b间的电势差
为————；若圆环被切割，两端分开很小一段，则
两端的电势差为————.
×
r B
×
×
× × ××O × a × × ×× × b
×××
∫ 解：ε = ∂B ⋅ dS S ∂t
例：如图所示，在半径为R的圆环上分布有不能移 动的正电荷，总电量为Q，AB是它的一直径，如 果要使AB上的场强处处为零，问圆环上的电荷应 该如何分布？
6. 甲说：“由热力学第一定律可证明任何热机的 效率不可能等于1．”乙说：“热力学第二定律可 表述为效率等于 100％的热机不可能制造成功．” 丙说：“由热力学第一定律可证明任何卡诺循环 的效率都等于 1− (T2 / T1) ．”丁说：“由热力学第 一定律可证明理想气体卡诺热机(可逆的)循环的
效率等于1 − (T2 / T1) ”对以上说法，有如下几种
2. 在一平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导 线，流过每条导线的电流 i 的大小相等， 其方向如 图所示，问哪些区域中某些点的磁感应强度B可能 为零？（ ）
A、仅在象限Ⅰ
B、仅在象限Ⅱ
C、仅在象限Ⅰ、Ⅳ
D、仅在象限Ⅱ 、 Ⅳ
i ⅡⅠ
答案：D
Ⅲ Ⅳi
3. 图中，六根长导线互相绝缘，通过电流均为 I，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等正方形，哪 一个区域指向纸内的磁通量最大（ ）