多选题综合专项练(二)

综合专项练(二)
1.(2021·石家庄质检)设z 为复数，则下列命题中正确的是( ) A.|z |2
＝zz －
B.z 2＝|z |2
C.若|z |＝1，则|z ＋i|的最大值为2
D.若|z －1|＝1，则0≤|z |≤2
答案 ACD
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).
对于A ，z －
＝a －b i ，|z |2
＝a 2
＋b 2
，而z z －
＝a 2＋b 2，
所以|z |2
＝z z －
，正确；
对于B ，当ab 均不为0时，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，而|z |2＝a 2＋b 2，所以z 2＝|z |2不成立，错误；
对于C ，|z |＝1表示以O (0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P ，|z ＋i|表示点P 到Q (0，－1)的距离，所以当P 的坐标为(0，1)时，|z ＋i|取得最大值为2，正确； 对于D ，|z －1|＝1表示以M (1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N ，则|z |表示点N 到原点的距离，故O ，N 重合时，|z |＝0最小，当O ，M ，N 三点共线时，|z |＝2最大，故0≤|z |≤2，正确.故选ACD.
2.(2021·新高考预测卷)下列命题正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，x 3≥3x B.∀x ∈R ，ln(e x ＋1)>0 C.∀a ，b ∈R ，若a ≤b <－1，则
a a ＋1≤b
b ＋1
D.∃x ∈(－∞，0)，sin x ＋cos x ＝－2 答案 ABC
解析 存在x ＝3，使得x 3＝3x ，A 正确；
设f (x )＝e x ＋1，则f (x )>1，所以ln(e x ＋1)>ln 1＝0，B 正确；
因为a ≤b <－1，所以a －b ≤0，a ＋1≤b ＋1<0，所以(a ＋1)(b ＋1)>0，所以
a a ＋1
－b b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）（a ＋1）（b ＋1）＝a －b （a ＋1）（b ＋1）≤0，所以a a ＋1≤b b ＋1，C 正确； sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4≥－2，D 错误.故选ABC.
3.(2021·新高考预测卷)若一个样本量为8的样本的平均数为6，方差为1.5，现样本中又加入一个新数据6，此时样本量为9，平均数为x ′－
，方差为s 2，则下列结论正确的有( )
A.x ′－
＝6 B.s 2<1.5 C.s 2＝1.5 D.s 2>1.5
答案 AB
解析 设这8个数据分别为x 1，x 2，x 3，…，x 8，其平均数为x －
.
由题意知18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝6，所以x 1＋x 2＋…＋x 8＝48，所以x ′－＝1
9(x 1＋x 2＋…＋x 8＋6)＝6.由方差的定义知1
8×[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 8－x －)2]＝1.5，所以(x 1－x －)2
＋(x 2－x －
)2
＋…＋(x 8－x －)2
＝1.5×8＝12.因为x －
＝x ′－
＝6，所以s 2
＝19×[(x 1－x ′－)2＋(x 2－x ′－)2
＋…＋(x 8－x ′－
)2
＋(6－x ′－
)2]＝19×12＝4
3<1.5.故选AB.
4.(2021·唐山一模)在下列函数中，其图象关于直线x ＝π
3对称的是( )
A.f (x )＝3sin x ＋cos x
B.f (x )＝3cos 2x ＋sin 2x
C.f (x )＝3cos x －sin x
D.f (x )＝3sin 2x －cos 2x
答案 AD
解析 对于函数f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6，当x ＝π3时，f (x )＝2，是最大值，
故它的图象关于直线x ＝π
3对称，故A 正确；
对于函数f (x )＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，当x ＝π3时，f (x )＝0，不是最值，
故它的图象不关于直线x ＝π
3对称，故B 不正确；
对于函数f (x )＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6，当x ＝π3时，f (x )＝0，不是最值，故它
的图象不关于直线x ＝π
3对称，故C 不正确；
对于函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，当x ＝π3时，f (x )＝2，是最大值，
故它的图象关于直线x ＝π
3对称，故D 正确.故选AD.
5.(2021·湖北联考)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是( ) A.AO →·AB
→＝12
AB →2 B.OA →·OB →＝OA →·OC →＝OB →·OC
→ C.过点G 的直线l 交AB ，AC 于E ，F ，若AE
→＝λAB →，AF →＝μAC →，则1λ＋1μ＝3 D.AH
→与AB →|AB →|cos B ＋AC
→|AC →
|cos C
共线
答案 ACD
解析 由垂径定理可知，外心O 在AB →上的射影为线段AB 的中点，所以AO →·AB →＝
12AB →2
，故A 正确；
因为H 为△ABC 的垂心，所以HA →·BC →＝HB →·AC →＝HC →·AB →＝0.由HA →·BC →＝HB →·AC →，
得HA →·(HC →－HB →)＝HB →·(HC →－HA →)，所以HA →·HC →＝HB →·HC →，同理HB →·HA →＝HA →·HC →，所以HA →·HB →＝HA →·HC →＝HB →·HC
→，故B 不正确；
因为G ，E ，F 三点共线，所以存在实数t ，使得AG →＝tAE →＋(1－t )AF →＝tλAB →
＋(1－t )μAC
→. 又G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13AB →＋13AC →，所以
⎩⎪⎨⎪⎧tλ＝13，（1－t ）μ＝1
3，则1λ＋1μ＝3，故C 正确；
因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·BC →＝AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C
＝－|BC →|＋|BC →|＝0，所以AB →|AB
→|cos B ＋AC →
|AC →|cos C 与BC
→垂直.又H 为△ABC 的垂心，则AH →⊥BC →，所以AH →与
AB →|AB →|cos B ＋AC
→|AC →
|cos C
共线，故D 正确.故选ACD.
6.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，1
3，且各轮考核能否通过互不影响，则( ) A.该软件通过考核的概率为1
8
B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为1
8 C.该软件至少能够通过两轮考核的概率为2
3 D.该软件至多进入第三轮考核的概率为5
8 答案 ABD
解析 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝5
6，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝1
3.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)·P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝1
8，A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的
概率为P (A 1A 2A －3)＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＝56×35×14＝1
8，B 正确；该软件至少能够通过
两轮考核的概率为
1－P (A －
1)－P (A 1A －2)＝1－16－56×25＝1
2
，C
不正确；该软件至多
进入第三轮考核的概率为
P (A －
1＋A 1A －
2＋A 1A 2A －
3)＝P (A －
1)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2A －3)＝1
6
＋56×25＋56×35×14＝5
8，D 正确.故选ABD.
7.(2021·江苏三联)设(1－2x )29＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 29x 29，则下列结论正确的是( ) A.a 15＋a 16>0
B.a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1
C.a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋3292
D.a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－58 答案 ACD
解析 对于A ，由a 15＋a 16＝C 1529(－2)15＋C 1629(－2)16＝215(2C 1629－C 15
29)＝
215
×⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫2×29！16！×13！－29！15！×14！>0，故A 正确； 对于B ，令x ＝0，得a 0＝1.
令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 29＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－2，故B 错误； 对于C ，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 29＝329. 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 29＝－1， 所以2(a 1＋a 3＋…＋a 29)＝－1－329，
所以a 1＋a 3＋…＋a 29＝－1＋329
2，故C 正确；
对于D ，对(1－2x )29＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 29x 29两边同时求导，得－58(1－2x )28＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋29a 29x 28.
令x ＝1，得a 1＋2a 2＋…＋29a 29＝－58，故D 正确.选ACD.
8.(2021·山东名校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x －1)＝f (x ＋1)，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x .设函数g (x )＝f (x )－kx －k ，则下列结论成立的是( ) A.函数f (x )的一个周期为2 B.f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43＝－23 C.当实数k >－1时，函数g (x )在区间[1，2]上单调递减
D.在区间[－1，3]内，若函数g (x )有4个零点，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，14
答案 ACD
解析 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )是周期函数，且T ＝2是函数f (x )的一个周期，所以选项A 正确； 因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 又当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2
3，
所以选项B 错误；
根据函数f (x )是偶函数，且T ＝2是函数f (x )的一个周期，及当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，作出函数f (x )的图象，如图所示，
由图可知，当x ∈[1，2]时，f (x )＝－x ＋2， 所以g (x )＝－x ＋2－kx －k ＝－(1＋k )x ＋2－k . 因为k >－1，所以1＋k >0，所以－(1＋k )<0，
所以函数g (x )在[1，2]上单调递减，所以选项C 正确；
在区间[－1，3]内，函数g (x )有4个零点，即f (x )＝k (x ＋1)有4个根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k (x ＋1)在[－1，3]内有4个交点，由图可知，0<k (3＋1)≤1，解得0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，14，所以选项D 正确.故选ACD.
9.(2021·大连二模)已知椭圆C ：x 216＋y 2
9＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝4
B.存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°
C.直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为－916
D.若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±
4
3 5 答案 CD
解析 ∵a ＝4，b ＝3，∴根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当点P 位于短轴端点时，∠F 1PF 2最大.
∵cos ∠F 1PF 2＝cos 2∠F 1PO ＝2cos 2∠F 1PO －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
342
－1＝18>0，∴不存在点P
满足∠F 1PF 2＝90°，B 错误；
设P (x 0，y 0)(－4<x 0<4)，则k P A 1·k P A 2＝y 0x 0＋4·y 0x 0－4＝y 20x 20－16＝9⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－x 2016x 20－16＝－916，C
正确；
∵S △F 1PF 2＝1
2|F 1F 2||y 0|＝7|y 0|＝27，∴|y 0|＝2.
∴x 2
0＝16⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－y 209＝809，x 0＝±
435，D 正确.故选CD. 10.(2021·新高考原创卷)已知a e b <b e a <－e a ＋b ＋1，e 是自然对数的底数，则下列结论中正确的是( ) A.a <b <－2
B.a
b >1
C.ab＋a＋b＋1>0
D.a e a<b e b 答案BC
解析由a e b<b e a<－e a＋b＋1得a<0，b<0，a
e a<
b
e b<－e.令f(x)＝
x
e x
，则f′(x)＝
1－x
e x
，
易知f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(－1)＝－1
e－1
＝－e，所以可得a<b<－1，故
A选项错误；
由A得a
b>1，故B选项正确；
因为a＋1<0，b＋1<0，所以(a＋1)(b＋1)>0，即ab＋a＋b＋1>0，故C选项正确；令g(x)＝x e x，则g′(x)＝e x(x＋1)，当x<－1时，g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，于是有g(a)>g(b)，即a e a>b e b，故D选项错误.
11.(2021·济南质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝2，AB＝3，∠BAC
＝90°，点D，E分别是线段BC，B1C上的动点(不含端点)，且EC
B1C＝
DC
BC，则下列
说法正确的是()
A.ED∥平面ACC1
B.四面体ABDE的体积是定值
C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为13 2
D.平面AEC与平面ECD的夹角的余弦值为4
13
答案ACD
解析对于A，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形.
因为EC B 1C ＝DC
BC ，所以ED ∥BB 1，又BB 1∥AA 1，
所以ED ∥AA 1.
因为ED ⊄平面ACC 1，AA 1⊂平面ACC 1， 所以ED ∥平面ACC 1，所以A 正确； 对于B ，设ED ＝m .
因为∠BAC ＝90°，AA 1＝AC ＝2，AB ＝3， 所以BC ＝
22＋32＝13.
因为DE BB 1＝DC BC ，所以DC ＝DE ·BC BB 1＝13m 2，
所以BD ＝13－13m
2，
所以S △ABD ＝13－13m 2
13×12×2×3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 2， 所以四面体ABDE 的体积为 13×3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－m 2m ＝m －1
2m 2， 即四面体ABDE 的体积不是定值，所以B 错误；
对于C ，因为BB 1∥AA 1，所以∠BB 1C 为异面直线B 1C 与AA 1所成的角. 在Rt △B 1BC 中，B 1B ＝2，BC ＝13， 所以tan ∠BB 1C ＝BC BB 1＝132
，所以C 正确；
对于D ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (3，0，0)，C (0，2，0)，B 1(3，0，2)，所以AC →＝(0，2，0)，AB 1→＝(3，0，2).设平面AEC 即平面AB 1
C 的法向量为n
＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·
AC →
＝2y ＝0，n ·
AB 1→
＝3x ＋2z ＝0.令x ＝2，则z ＝－3，所以n ＝(2，0，－3).
同理可求得平面BB 1C 即平面ECD 的一个法向量为m ＝(2，3，0)，所以平面AEC 与平面ECD 的夹角的余弦值为|m ·n |
|m ||n |＝
2×213×13
＝4
13，所以D 正确.故选ACD.
12.(2021·湖北一联)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a 为常数)，则下列结论正确的有( ) A.若f (x )有3个零点，则a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2
4，＋∞
B.a ＝e
2时，x ＝1是f (x )的极值点
C.a ＝12时，f (x )的零点为x 0，且－1<x 0<－12
D.a ＝1时，f (x )≥0恒成立 答案 AC
解析 函数f (x )＝e x －ax 2有3个零点，即e x ＝ax 2有3个不同的根，因为x ＝0不是方程的根，所以当x ≠0时，a ＝e x x 2(x ≠0)，即直线y ＝a 与函数g (x )＝e x
x 2(x ≠0)的图象有3个交点.g ′(x )＝e x （x －2）
x 3，故当x <0或x >2时，g ′(x )>0；当0<x <2时，g ′(x )<0.
所以函数g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，当x ＝2时，函数g (x )取得极小值，且极小值为e 2
4.根据函数g (x )的单调性，画出函数g (x )的大致图象，如图所示，显然当a >e 24时，直线y ＝a 与函数g (x )＝e x
x 2(x ≠0)的图象有3个交点，即函数f (x )＝e x －ax 2有3个零点，所以选项A 正确；
当a ＝e 2时，f (x )＝e x －e 2x 2，则f ′(x )＝e x －e x ，
令h (x )＝f ′(x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ，
当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.
所以函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，h (x )取得最小值，且最小值为h (1)＝0，所以h (x )≥0，即f ′(x )≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以f (x )没有极值点，所以x ＝1不是函数f (x )的极值点，所以选项B 错误；
当a ＝12时，f (x )＝e x －12x 2.
令f (x )＝e x －12x 2＝0，
即12＝e x x 2，由对选项A 的分析可知，直线y ＝12与函数g (x )＝e x x 2(x ≠0)的图象只有一
个交点，即函数f (x )有且只有一个零点，设为x 0，又f (－1)＝1e －12＝2－e 2e <0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝e －12－18＝1e －18＝8－e 8e >0，所以－1<x 0<－12，所以选项C 正确； 当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，因为f (－2)＝e －2－4＝1e 2－4<0，所以选项D 错误.故选
AC.。