【金教程】高考数学总复习 第6章 第6讲 直接证明与间接证明课件 理 新人教A

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18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就 会 影 响 到 对 他 的 教 育 和 对 他 发 生 作 用 的 环 境 。
【选题·热考秀】 [2011·安徽高考](1)设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y ＋xy； (2)设 1<a≤b≤c，证明 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb ＋logac.
【备考·角度说】 No.1 角度关键词：审题视角 对于(1)，由于x≥1，y≥1，所以可先将分式不等式转化为 整式不等式，然后作差处理． 对于(2)，由于1<a≤b≤c，所以logab≥1，lgbc≥1恰与问题 (1)中的x≥1，y≥1对立， 故可令x＝logab，y＝logbc，然后借助问题(1)来证明问题 (2)．
经典演练提能
1.[2013·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t
和s的大小关系中正确的是( )
A．t>s
B．t≥s
C．t<s
D．t≤s
答案：D
解析：s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，
∴s≥t，选D项．
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反 设为( )
第6讲 直接证明与间接证明
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法 的思考过程、特点.
1个熟知关键 要搞清分析法、综合法、反证法的特点，把握三种方法在解 决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型． 2个必会关系 1. 分析法与综合法往往是相结合的，综合法的过程离不开对 问题的分析，分析的结果离不开综合的表达，因此在选择方法时 要有综合的意识． 2. 在数学证明中，通常用分析法探索解题途径，用综合法书 写解题过程．
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第六章 第6讲
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核心要点研究
例1 [2012·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以 下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； (2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； (3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (Ⅱ)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等 式，并证明你的结论．
填一填：(1)3 a≤3 b (2)a，b 都不能被 5 整除
金版教程 ·高三数学 11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着课民前族自和主人导类学的命运。核2心02要2点/1研/1究72022/课1/课17精Ja彩n无ua限ry 17,经20典2演2 练提能 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。
当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以 否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确 的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与 假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方 面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数 学证明中的一件有力武器．
课课精彩无限
[审题视点] 由已知到结论，方向不够明确，因而采用分 析法探明解题途径是必要的．
分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明 显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体 时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不 等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意用分析法 证题时，一定要严格按照格式书写．
例 3 [2013·南京调研]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2.
(1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； (2)设 bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项 都不可能成为等比数列． [审题视点] 本题结论含有否定词，并且从正面入手不好 证，可考虑反证法．
奇思妙想：设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n 项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋ q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝ 0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列． (2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数 列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0， 这与公比q≠0矛盾．
成立；由不等式
2 a＋3＋
a＋1≤
2 a＋2＋
恒成立，知④ a
项中的不等式恒成立．
课前自主导学
1.直接证明
内容 定义 实质
综合法
利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理 等，经过一系列的 ________，最后推导出 所要证明的结论 ________
由因导果(顺推证法)
分析法
从要________出发，逐 步寻求使它成立的 ________，直到最后， 把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条 件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止
[变式探究] [2013·南通检测]已知 m>0，a，b∈R，求证： (a1＋＋mmb)2≤a21＋＋mmb2.
证明：∵m>0，∴1＋m>0.所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证.
限时规范特训
15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
17 、 好 奇 是 儿 童 的 原 始 本 性 ， 感 知 会 使 儿 童 心 灵 升 华 ， 为 其 为 了 探 究 事 物 藏 下 本 源 。 2 0 2 2 年 1 月
A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 答案：D 解析：∵a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个 偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是 奇数，故只有D正确．
答案：C 解析： b2－ac< 3a ⇔b2－ac<3a2 ⇔(a＋c)2－ac<3a2 ⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0 ⇔－2a2＋ac＋c2<0 ⇔2a2－ac－c2>0 ⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
3点必记注意 1. 当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一 般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎 逻辑规律． 2. 当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析 法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述． 3. 利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假 设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推 理过程是错误的.
(1)用反证法证明“如果 a>b，那么3 a>3 b”的假设内容 应是________．
(2)用反证法证明命题：“a，b∈N，ab 可被 5 整除，那 么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为 ________.
1.推理论证 成立的方法 证明的结论 充分条件 填一填：(1)① ② (2)② (3)③ 2．假设错误 原命题成立
执果索因
(1)思考下列思维特点： ①从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的 必要条件． ②从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找 结论成立的充分条件． 满足综合法的是________，满足分析法的是________(请填 写相应序号)．
2．间接证明 (1)反证法的定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因 此说明________，从而证明________的证明方法． (2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； ③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成 立．简言之，否定→归谬→断言．
答案：③ 解析：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故①恒不成 立；在②项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－ a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所 以②项中的不等式恒成立；
对③项中的不等式，当 a>b 时，恒成立，当 a<b 时，不
No.2 角度关键词：技巧点拨 1．综合法和分析法各有其优缺点．分析法有利于思考， 综合法宜于表达．因此在解题时常常把分析法和综合法结合起 来运用．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答 或证明过程，有时两者交替使用才能成功． 2．本题易失误的地方是不会用分析法寻找突破口，直接 入手感觉无思路，从而导致不会．二是在作差变形时，变形不 彻底或不会因式分解导致失败．第(2)问中的构造联想(1)问的结 论是解题的突破口．
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推 导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺 推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方 法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的 正确性．
例 2 [2013·广东惠州调研]已知△ABC 的三个内角 A、 B、C 成等差数列，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，求证： a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.