云南省昭通市水富一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年云南省昭通市水富一中高一（上）期中数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在答题卡上．1．已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（1，3）B． C．{1，3} D．{1，2，3}2．已知函数f（x）=﹣|x|，则f（x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇函数非偶函数3．已知函数f（x）=1+log2x，则的值为( )A．B． C．0 D．﹣14．若指数函数y=（a﹣2）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么( )A．2＜a＜3 B．﹣2＜a＜1 C．a＞3 D．0＜a＜15．设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是( )A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣36．函数f（x）=lnx+2x﹣8的零点在区间( ) 内．A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）7．若a=20.5，b=log20.5，c=log21.5，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．在区间（﹣∞，0）上为增函数的是( )A．y=﹣x B．y=+2 C．y=﹣x2﹣2x﹣1 D．y=x2+19．方程x=﹣x+1的根的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知y=log a（2﹣ax）是上的减函数，则a的取值范围为( )A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D． C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）12．设f（x）=ax2+bx+c（a＞0）满足f（1+x）=f（1﹣x），则f（2x）与f（3x）的大小关系为( )A．f （3x）≥f （2x）B．f （3x）≤f （2x）C．f （3x）＜f （2x）D．不确定二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上．13．设函数f（x）=log2（3﹣x），则函数f（x）的定义域是__________．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点=__________．15．设函数，则f（log23）=__________．16．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是__________．三、解答题（本题共6道大题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|﹣3＜x≤2}，求：（1）A∪B；（2）∁U A．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的零点是﹣1和3，当x∈（﹣1，3）时，f（x）＜0，且f（4）=5．（1）求该二次函数的解析式；（2）求函数g（x）=（）f（x）的最大值．19．已知函数f（x）=x+（1）证明：f（x）在x∈上的值域．20．已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=．（1）求当x＞0时f（x）的解析式；（2）设a≠0且a≠±1，证明：f（a）=﹣f（）．21．已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）又当 x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）（1）求f（1），f（4），f（8）的值；（2）若有f（2x﹣5）≤3成立，求x的取值范围．22．已知函数f（x）=2x2﹣2ax+3在区间上有最小值，记作g（a）（1）求g（a）的表达式（2）作出g（a）的图象并根据图象求出g（a）的最大值．2015-2016学年云南省昭通市水富一中高一（上）期中数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在答题卡上．1．已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（1，3）B． C．{1，3} D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}，∴A∩B={1，2，3}．故选D．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．已知函数f（x）=﹣|x|，则f（x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇函数非偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】直接根据偶函数的定义判断即可【解答】解：∵f（x）=﹣|x|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x）|∴f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数答案选：B【点评】本题考查函数奇偶性，属于基础题．3．已知函数f（x）=1+log2x，则的值为( )A．B． C．0 D．﹣1【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】把代入函数式利用对数运算法则即可求得．【解答】解：由f（x）=1+log2x，得=1+=1+=1﹣1=0．故选C．【点评】本题考查对数的运算法则，考查运算能力，熟记运算法则及其使用条件是解决该类题目的基础．4．若指数函数y=（a﹣2）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么( )A．2＜a＜3 B．﹣2＜a＜1 C．a＞3 D．0＜a＜1【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数y=（a﹣2）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，可得0＜a﹣2＜1，解出即可．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴0＜a﹣2＜1，解得2＜a＜3．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的单调性与底数的关系，属于基础题．5．设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是( )A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣3【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】常规题型．【分析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数．【解答】解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|≠x，故A中的两函数不为同一个函数；B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）=g（x）=1，故B中的两函数是同一个函数；C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，故C中的两函数不为同一个函数；D组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于﹣3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数．故选B．【点评】本题考查函数定义域的求解，函数解析式的化简，考查学生对函数三要素的认识和把握程度，考查学生的转化与化归思想，属于基本的函数题型．6．函数f（x）=lnx+2x﹣8的零点在区间( ) 内．A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零点所在的区间．【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣8定义域为上的减函数，则a的取值范围为( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故答案为：B．【点评】本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）函数定义域，对数真数大于零，底数大于0，不等于1．本题难度不大，属于基础题．11．若定义运算a⊗b=，则函数f（x）=3x⊗3﹣x的值域是( )A． C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意将函数f（3x⊗3﹣x）解析式写出即可得到答案．【解答】解：当x＞0时；f（3x⊗3﹣x）=3﹣x∈（0，1）；当x=0时，f（3x⊗3﹣x）=30=1，当x＜0时，f（3x⊗3﹣x）=3x∈（0，1）．综上所述函数f（x）=3x⊗3﹣x的值域是（0，1]，故选：B．【点评】本题主要考查指数函数的图象．指数函数在高考中占很大比重，图象是研究函数性质的基础要引起重视．12．设f（x）=ax2+bx+c（a＞0）满足f（1+x）=f（1﹣x），则f（2x）与f（3x）的大小关系为( )A．f （3x）≥f （2x）B．f （3x）≤f （2x）C．f （3x）＜f （2x）D．不确定【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据题意可得函数f（x）关于x=1对称，进而得到f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，再结合指数函数的单调性即可得到答案．【解答】解：由题意可得：函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），所以函数f（x）关于x=1对称，又因为a＞0，所以根据二次函数的性质可得：f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，当x＞0时，即1＜2x＜3x所以f（3x）＞f（2x），当x=0时，即1=2x=3x所以f（3x）=f（2x），当x＜0时，0＜3x＜2x＜1，所以f（3x）＞f（2x），故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及指数函数的单调性．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上．13．设函数f（x）=log2（3﹣x），则函数f（x）的定义域是{x|x＜3}．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的定义域，令真数大于0即可．【解答】解：∵f（x）=log2（3﹣x），∴3﹣x＞0，∴x＜3．∴函数f（x）的定义域是{x|x＜3}．故答案为：{x|x＜3}．【点评】本题考查对数函数的定义域，属于基础题．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点=3．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴，解得．∴．∴．故答案为3．【点评】正确理解幂函数的定义是解题的关键．15．设函数，则f（log23）=48．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数进行求值即可．【解答】解：因为1＜log23＜2，所以3＜2+log23＜4，5＜4+log23＜6所以f（log23）=f（log23+4）=．故答案为：48．【点评】本题主要考查分段函数的应用求值，要求熟练掌握对数的基本运算公式．16．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是≤a＜．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；压轴题．【分析】由分段函数的性质，若f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．【解答】解：∵当x≥1时，y=log a x单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，∴a＜；又函数在其定义域内单调递减，故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥log a x，得a≥，综上可知，≤a＜．故答案为：≤a＜【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．三、解答题（本题共6道大题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|﹣3＜x≤2}，求：（1）A∪B；（2）∁U A．【考点】并集及其运算；补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|﹣3＜x≤2}，（1）A∪B={x|﹣3＜x＜3}，（2）C U A={x|x≥3或x≤﹣2}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的零点是﹣1和3，当x∈（﹣1，3）时，f（x）＜0，且f（4）=5．（1）求该二次函数的解析式；（2）求函数g（x）=（）f（x）的最大值．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由条件将二次函数设为两根式，然后由f（4）=5可解得，（2）令t=f（x）=x2+2x ﹣3，求t的取值范围，利用复合函数的性质求解．【解答】解：（1）由题意可设该二次函数为f（x）=a（x﹣1）（x+3）且a＞0，∵f（4）=5可得a（4+1）（4﹣3）=5，解得a=1，∴f（x）=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3，（2）由（1）知，设t=f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4≥﹣4，又∵g（t）=（）t在上的值域．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f′（x），然后说明x∈上单调递增，所以根据单调性即可求出f（x）在上的值域．【解答】解：（1）f′（x）=；∴x∈上单调递增；∴x∈时，；即f（x）在上的值域为．【点评】考查通过说明函数导数f′（x）≥0来证明函数f（x）在一区间上是增函数的方法，以及根据函数的单调性求函数的值域．20．已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=．（1）求当x＞0时f（x）的解析式；（2）设a≠0且a≠±1，证明：f（a）=﹣f（）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数f（x）是偶函数，x≤0时，f（x）=，设x＞0，则﹣x＜0，转化即可得出解析式，（2）①a＞0时，②a＜0时，利用函数解析式代入讨论即可证明．【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，x≤0时，f（x）=，∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）∴f（x）=f（﹣x）=，即当x＞0时f（x）=．（2）f（x）=，①a＞0时，f（a）=，﹣f（）=﹣==f（a），②a＜0时，f（a）=，﹣f（）=﹣=﹣=f（a），综上：a≠0且a≠±1，f（a）=﹣f（）．【点评】本题考查了函数解析式的求解，运用函数的性质，解析式证明等式问题，分类讨论，属于中档题．21．已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）又当 x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）（1）求f（1），f（4），f（8）的值；（2）若有f（2x﹣5）≤3成立，求x的取值范围．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；（2）由“x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）”可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f（2x﹣5）≤3=f（8）可脱去函数“外衣”，求得x的取值范围．【解答】解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）得：f（1•1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0； (2)分⇒f（4）=2；…2分⇒f（8）=3；…2分（2）由“x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）”得f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数； (2)分∴⇒f（2x﹣5）≤f（8）⇒⇒＜x≤…2分【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f （x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．22．已知函数f（x）=2x2﹣2ax+3在区间上有最小值，记作g（a）（1）求g（a）的表达式（2）作出g（a）的图象并根据图象求出g（a）的最大值．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）给出的函数是二次函数，求出其对称轴方程，分对称轴在给定的区间左侧，右侧及在区间内，利用函数的单调性求出其在不同区间内的最大值，然后写成分段函数的形式；（2）分段作出函数g（a）的图象，由图象直接看出g（a）的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=2x2﹣2ax+3的对称轴为，且x∈．①当，即a≤﹣2时，f（x）min=f（﹣1）=5+2a，即g（a）=5+2a．②当，即﹣2＜a＜2时，，即．③当，即a≥2时，f（x）min=f（1）=5﹣2a，即g（a）=5﹣2a．综①②③得：．（2）g（a）的图象如图，由图可知，当a=0时，g（a）有最大值3．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论求二次函数在不同区间上的最值，须注意的是分段函数的值域要分段求，此题是基础题．。