高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲抛物线
,)
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
1．辨明两个易误点
(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．
2．与焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)
y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
.
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p
. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
1.教材习题改编抛物线8x 2
＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝
⎛⎭⎪⎫0，－132
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，132
C 由8x 2＋y ＝0，得x 2
＝－18
y .
2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.
2.教材习题改编以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2
＝2x B ．y 2
＝－2x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝－4x
D 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2
＝－2px (p >0)且p
2＝1，p ＝2，所以方程为y 2
＝－
4x ，故选D.
3．M 是抛物线y 2
＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直
线MF 的斜率为( )
A ．43
B ．53
C ．54
D ．52
A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝5
2
p ，得
x 0＋p 2
＝5p
2
，所以x 0＝2p .
所以y 2
0＝2px 0＝4p 2
，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p
2，0)，
所以k MF ＝2p －02p －
p 2＝4
3，
故选A.
4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2
＝4x .
y 2＝4x
5.教材习题改编抛物线x 2
＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．
根据抛物线定义可知2＋p
2
＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2
＝4y .
x 2＝4y
抛物线的定义及其应用
(1)若抛物线y 2
＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32
，O 为坐标原点，则△MFO
的面积为( )
A ．
2
2
B ．
24
C ．12
D ．14
(2)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．
【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－1
2.
设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为3
2
，
所以a ＝1，代入抛物线方程y 2
＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝2
4
.
(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.
即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4
若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．
由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，
所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42
＋22
＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.
抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p
2
.
1．(2017·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交但不经过圆心
D ．相交且经过圆心
B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝1
2
(|AA 1|＋|BB 1|)．
由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝1
2|AB |，
即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．(2017·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2
＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．355
B ．2
C ．115
D ．3
B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2
＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|
5
＝2.
抛物线的标准方程及性质(高频考点)
抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．
高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程；
(2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．
(1)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交
C 的准线于
D 、
E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．
【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 2
4＋5，得p ＝
4，所以选B.
(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．
当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2
＝－2py (p >0)，则p
2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2
＝－12y ；
当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2
＝2px (p >0)，则p
2＝4，
所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2
＝－12y 或y 2
＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2
＝－12y 或y 2
＝16x
(1)求抛物线的标准方程的方法
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
角度一 求抛物线方程
1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )
A ．y ＝4x 2
B ．y ＝8x 2
C ．y 2
＝4x
D ．y 2
＝8x
D 设抛物线的方程为y 2
＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p
2＝3，即p ＝4，所以抛
物线方程为y 2
＝8x .
角度二 由已知求参数p
2．(2017·襄阳调研测试)抛物线y 2
＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B 因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p
2
，
所以p 2＋p
4＝3，所以p ＝4.
角度三 抛物线方程的实际应用
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．
建立坐标系如图所示．
则可设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)．因为点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，
即抛物线方程为x 2
＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.
所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6
直线与抛物线的位置关系
(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，
交抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .
(1)求|OH ||ON |
；
(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．
【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2
2p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，
故N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2
p ，t ， ON 的方程为y ＝p
t
x ，代入y 2＝2px ，
整理得px 2
－2t 2
x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t
2
p
.
因此H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t 2
p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |
＝2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p
2t x ，
即x ＝2t
p
(y －t )．
代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2
＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，
即直线MH 与C 只有一个公共点，
所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
已知过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值．
(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2
－5px
＋p 2
＝0，
所以x 1＋x 2＝5p
4
.
由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p
4＋p ＝9，
所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2
＝8x . (2)由(1)得4x 2
－5px ＋p 2
＝0， 即x 2
－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，
于是y 1＝－22，y 2＝42，
从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 2
3＝8x 3，所以2
＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2
＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.
, )
——忽视焦点位置而致误
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2
＋y 2
＝9相交，公共弦MN
的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
【解】 由题意，设抛物线方程为x 2
＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 因为|ON |＝3，
所以|OA |＝32
－（5）2
＝2，所以N (5，±2)． 因为N 点在抛物线上，
所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±5
2，
故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2
＝－52
y .
抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2
＝－52y 的焦点坐标
为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.
(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种情
况，误认为a >0，从而导致漏解．
(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2
＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．
若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 2
5
＝1的焦点重合，则抛物线的准线
方程为________．
由椭圆x 29＋y 2
5
＝1，得c 2
＝9－5＝4，即c ＝2，
故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．
所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2； 当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2.
x ＝2或x ＝－2
, )
1．若抛物线y ＝4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．17
16 B ．1516 C ．78
D ．0
B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－1
16
，
设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝15
16
.
2．若抛物线y 2
＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4，±22
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，±22
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2
＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14
，±22.
3．(2016·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x
(k >0)与C 交于点
P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线
方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x
(k ＞0)得k ＝2.
4．设F 为抛物线y 2
＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝3
2
， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．直线l 过抛物线y 2
＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝12x B ．y 2
＝－8x C ．y 2＝6x
D ．y 2
＝－4x
B 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，
即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2
＝－8x .故选B.
6．已知抛物线y 2
＝4x ，圆F ：(x －1)2
＋y 2
＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )
A ．等于1
B ．等于4
C ．最小值是1
D ．最大值是4
A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2
－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 22
4
＝
（y 1y 2）2
16
.
而y 1y 2＝－4，
故|AB |·|CD |＝1.
7．(2017·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．
设抛物线方程为x 2
＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2
＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y .
x 2＝－8y
8．(2017·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2
＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2
＋y 2
＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．
将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2
＋y 2
＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p
2，所以⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
4－p 2＝2，p ＝12或4.
12或4
9．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．
由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π
2，
即∠A 1FB 1＝π
2.
π2
10．(2017·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2
－y 2
＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．
由双曲线方程5x 2
－y 2
＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y
2
＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p
2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不
妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2
＝16，又
因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2
＝8x .
y 2＝8x
11．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方
的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2
＝2px 的准线为x ＝－p
2
，
于是4＋p
2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2
＝4x .
(2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝4
3，
因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－3
4.
所以FA 的方程为y ＝4
3
(x －1)，①
MN 的方程为y －2＝－34
x ，②
联立①②，解得x ＝85，y ＝4
5
，
所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，45.
12．(2017·长春一模)过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |
的值等于( )
A ．1
3
B ．23 C.34D.43
A 记抛物线y 2
＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF |
|AF |＋|BF |
，
即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝1
3
.
13．已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．
(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线
l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 2
2，
y 0
＝y 1
＋y 2
2
.由⎩⎪⎨⎪
⎧y 2
1＝4x 1，y 22
＝4x
2
得
(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2
＝4x ，
消元得y 2
－4my －4
＝0，
所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2
＋1)>0. |AB |＝m 2
＋1|y 1－y 2|
＝m 2
＋1·（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2 ＝m 2
＋1·（4m ）2
－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．
所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.
14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直
线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．
(1)求曲线E 的方程；
(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2
＝－x .
(2)由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝－x ，
y ＝k （x ＋1），消去x 后，
整理得ky 2
＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1
k
，y 1y 2＝－1.
设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋1
2|ON ||y 2|， ＝1
2
|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2 ＝12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1k 2
＋4＝10， 解得k ＝±1
6.。