高考数学最新真题专题解析—数列综合(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—数列综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷
【母题题文】记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=1，{S n
a n }是公差为1
3
的等差数
列．
(1)求{a n}的通项公式;
(2)证明：1
a1+1
a2
+⋯+1
a n
<2．
【答案】解：(1)S n a
n =S1
a1
+1
3
(n−1)=n+2
3
⇒S n=n+2
3
a n①;
∴S n+1=
n+3
3
a n+1②;
由②−①得：a n+1=n+33a n+1−n+23a n⇒a n+1
a n =n+2
n
;
∴当n⩾2且n∈N∗时，a n
a1=a n
a n−1
⋅a n−1
a n−2
⋯a3
a2
⋅a2
a1
=n+1
n−1
⋅n
n−2
⋯5
3
⋅4
2
⋅3
1
=(n+1)n
2
⇒
a n=n(n+1)
2
，
又a1=1也符合上式，因此a n=n(n+1)
2
(n∈N∗);
(2)∵1
a n =2
n(n+1)
=2(1
n
−1
n+1
)，
∴1
a1+1
a2
+⋯+1
a n
=2(1
1
−1
2
+1
2
−1
3
+⋯+1
n
−1
n+1
)=2(1−1
n+1
)<2，
即原不等式成立．
【母题来源】2022年新高考II卷
【母题题文】
已知{a n}为等差数列，{b n}为公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4．
(1)证明：a1=b1;
(2)求集合{k|b k=a m+a1,1≤m≤500}中元素个数．
【答案】解：(1)设等差数列{a n }公差为d
由a 2−b 2n =a 3−b 3，知a 1+d −2b 1=a 1+2d −4b 1，故d =2b 1 曲a 2−b 2=b 4−a 4，知a 1+d −2b 1=8b 1−(a 1+3d)，
故a 1+d −2b 1=4d −(a 1+3d);故a 1+d −2b 1=d −a 1，整理得a 1=b 1，得证．
(2)由(1)知d =2b 1=2a 1，由b k =a m +a 1知：b 1⋅2k−1=a 1+(m −1)⋅d +a 1 即b 1⋅2k−1=b 1+(m −1)⋅2b 1+b 1，即2k−1=2m ， 因为1≤m <500，故2≤2k−1≤1000，解得2≤k ≤10， 故集合{k|b k =a m +a 1,1≤m ≤500}中元素的个数为9个． 【命题意图】
考察等差、等比数列的通项公式，考察数列前n 项和，考察数列求和方法，考察列项相消的求和方法，考察根据数列的递推公式求通项公式，考察数列和指数不等式、集合元素个数等综合知识 【命题方向】
数列是高考考察热点之一，其中等差、等比数列通项公式及其求和，以及与等差、等比有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考察的重点。

作为数列综合题，常和方程】不等式】函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等等，对于基础能力和基础运算要求较高。

【得分要点】
一、对于公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩ （1）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用
1n n S S --
(2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；
（2）当1n =时， 11a S =求出1a ；
（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．
二、错位相消法
以下三种思维，但还是建议练熟第一种。

如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。

1.思维结构结构图示如下
2.公式型记忆：
1(),n S =n+)q ,,11
n n n n C a n b q A B c
a b A B C B q q -=⋅++-==---则其前项和（其中A=
3.可裂项为如下11(),q 1),[(1))](),((())k=pq-p
p t b=pq n n n n n n n n n a kn b q a p n t q pn t q C C C pn t q tq t
++=+≠=++-+=-=+⎧⎨
+-⎩（则
其中可通过方程组计算出、值：
三、裂项相消思维
21111
=[],
244224
1111111
1;(2)[n(1)1(2n-1)(21)2212111111
1[]
(3)33
31111111
(2)=[]
n 2n+42n(2)22n 2
3m 11[](,p )m q p n n n n n n n n n n n n n n q p q -⨯-=-=-
+++-+==-++-=-+=•+-•+“基础原理：基本题型：要求（避免掉如：（）（）分母分解因式:
系数不相同就提系数：（）求和化简时坑），要写到：前三后二”
，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的是首尾项（或正负项）对应
四、分组求和法
a n n n
b
c =+型
，其中bn 和cn 都是容易求和的数列
经典真题汇总及解析
1．（2023·河北·高三阶段练习）已知正项数列{}n a 满足11a =，且112n n n n a a a a ++-=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记21
n n a b n =
+，求数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：11
32n S ≤<．
【答案】(1)1
21
n a n =
-；(2)证明见解析. 【分析】（1）先利用题设条件求得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，进而求得数列{}n a 的通
项公式； （2）由题可得1
(21)(21)
n b n n =-+，利用裂项相消法可得n S ，然后结合条件及不等
式的性质即得. (1)
数列{}n a 中，0n a >，由112n n n n a a a a ++-=， 可得1
1
12n n
a
a +-
=,又111
11a ==，
则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为1公差为2的等差数列， 所以1
12(1)21n
n n a =+-=-，
则数列{}n a 的通项公式为1
21
n a n =-． (2)
由（1）知1
21
n a n =
-，则 111121(21)(21)22121n n a b n n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪+-+-+⎝⎭
， 则数列{}n b 的前n 项和
1111
1111112335
2121221n S n n n ⎛⎫⎛⎫
-+-+
+
-=- ⎪ ⎪-++=⎝⎭⎝⎭
， ∵N n *∈，∵213n +≥， ∵11
0213
n <
≤+，∵110321n -≤-
<+， ∵2
1
113
21n ≤-
<+， ∵113
2
n S ≤<．
2．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，
141n n n a a S +=-．
(1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；
(2)设1(1)n n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ． 【答案】(1)23a =，21n a n =-(2)24(21)n T n n =+ 【分析】（1）根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项
公式计算可得；
（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得；
（1）解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =，由题知141n n n a a S +=-∵，
12141n n n a a S +++=-∵，由∵-∵得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=，于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列，即
()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差
数列，即234(1)41n a n n =+-=-所以{}n a 的通项公式21n a n =-；
（2）解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，
212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)
()()()4[37(41)]44(21)2
n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=++
+-=⨯
=+. 3．（2022·山东聊城·三模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若*
222
,21,N 2
2,N
log log n
n n
n a n k k b n k k a a +⎧
=+∈⎪⎪
=⎨
=∈+，求数列{}n b 的前15项的和. 【答案】(1)2n n a =；(2)2592
【分析】（1）利用,n n a S 关系及等比数列的定义求{}n a 的通项公式. （2）由（1）有n 为奇数时1
2
2
n n b -=，n 为偶数时2n b n n +再应用分组求和、
等比数列前n 项和公式求前15项的和.
（1）由22n n S a =-得，当n =1时，1122S a =-，解得12a =.当n ≥2时，1122n n S a --=-，从而122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，因此数列{}n a 是等比数列，其首项和公比都等于2，所以2n n a =.
（2）当n 为奇数时，1
2
2
n n b -=，当n 为偶数时，22
n b n n n n =+++数列{}n b 的前15项和为()()
121513152414b b b b b b b b b ++=+++++()(
)(
)
(
)
2
7
122242641614⎡
⎤=+++
++-+
-+
+
-⎣
⎦8
12162
12-=
-2592=.
4．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知数列{}n a 满足
()
*123231111
333
3
n n a a a a n n ++++
=∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设3log n n b a =，求数列121
n n n b b b ++⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T .
【答案】(1)()
*
3N n n a n =∈(2)()()111
2212n T n n ⎡⎤=
-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
【分析】(1)由递推关系取1n =可求1a ，当2n ≥时，取递推关系中的1n n 可求
(2)n a n ≥，由此可得数列{}n a 的通项公式；
(2)由(1)可得n b n =，利用裂项相消法求数列121
n n n b b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T .
（1）
当1n =时，13a =， 当2n
时，12323
1
111
3333n n
a a a a n +
+++
=∵ 1231231
1111
13333n n a a a a n --++++
=-∵ 由∵-∵得
()1
113
n n a n n =--=，即()32n n a n =. 当1n =时也成立，所以数列{}n a 的通项公式为()*
3N n n a n =∈
（2）
因为33log log 3n
n n b a n ===，
所以
()()()()()12
11111
122112n n n b b b n n n n n n n ++⎡⎤=
=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
，
所以()()()()()1111111111
2122323341122212n T n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=
-+-++
-=-⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅+++++⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. 5．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{n a }为等差数列，23a =，
1453a a =，数列{n b }的前n 项和为n S ，且满足231n n S b =-．
(1)求{n a }和{n b }的通项公式；
(2)若n n n c a b =⋅，数列{n c }的前n 项和为n T ，且()31n
n n T n m -⋅-<⋅对n *∈N 恒成立，
求实数m 的取值范围．
【答案】(1)()21n a n n N +=-∈；()1
3n n b n N -+=∈(2)()82m ∈-，
【分析】（1）求解等差数列{n a }通项公式，只需设参数1a ，d 列方程组即可求解，数列{n b }通过已知前n 项和n S 求解通项公式n b ；
（2）需要先用错位相减法求得数列{n c }的前n 项和为n T ，代入不等式中对n 分类讨论，转化为最值问题，求出m 范围即可． （1）解：等差数列{n a }中，设公差为d ，则211451133313312a a d a a a d a d
=+=⎧⎧⇒⎨
⎨
=+=+⎩⎩()111
312122n a d a a n n N a d d ++==⎧⎧⇒⇒⇒=-∈⎨⎨==⎩⎩数列{n b }中的前n 项和为n S ，且231
n n S b =-∵当1n =时，11b =当2n ≥时，11231n n S b --=-∵∵－∵得：132)(n n b b n -=≥故数列{n b }
是以1为首项，3为公比的等比数列，所以()1
3n n b n N -+=∈.
（2）解：数列{n c }中，()1
213n n n n c a b n -=⋅=-⋅.则
()()01211333233213n n n T n n --=⨯+⨯++-⋅+-⋅所以()()12131333233213n n n T n n -=⨯+⨯+
+-⋅+-⋅故
()()(
)
1111
0221233...321312333n n n n T n ---=++++--⋅=-+++
+()()()1321312213223213
n n
n n n n n ---⋅=-+⋅--⋅=-⋅--所以()131n
n T n =-⋅+∵
()
1313n
n n n m T n -⋅>-⋅=-对n *∈N 恒成立．当n 为奇数时，
()
()
1min
1133131
312n
n n n m m m m -⋅=->-⇒<-⇒<-=-=，当n 为偶数时，
()
()
2
2max
11313138n n
m m m -⋅=>-⇒>-=-=-综上：实数m 的取值范围为()82m ∈-，
． 6．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51430a a S -==.
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)若______，求数列{}n b 的前n 项和n T . 在∵21log n n n b a a +=+，∵()()
2211
log
1log 1n n n b a a +=+⋅+，∵n n b n a =⋅
这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)2,N n n a n *
=∈
(2)若选∵，21322,N 2
n n n n T n +*+=+-∈；若选∵，(),N 22n n T n n *=∈+；若选∵，()1122,N n n T n n +*=-+∈
【分析】（1）根据题意设出等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，结合条件求解即可； （2）若选∵，则根据分组求和法求和即可；若选∵，根据裂项相消法求和即可；若选∵，根据错位相减法进行求和即可. （1）
设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，因为51a a ≠，所以1q ≠，
则()
4511141430
1301a a a q a a q S q ⎧-=-=⎪-⎨=
=⎪-⎩
，解得12
2a q =⎧⎨=⎩，
所以数列{}n a 的通项公式1
12,N n n n a a q n -*==∈.
（2） 若选∵，
则()1212log log 2212,N n n n n n n b a a n n +*+=+=+=++∈，
所以()2121222322,N 2122
n n n n n n n
T n +*++-⨯+=
+=+-∈-. 若选∵， 则()()()()1
221111
,N 1212
log 21log 21n n n b n n n n n *+=
==-∈+++++⋅+， 所以()
11111111,N 2334
122222n n T n n n n n *=
-+-++
-=-=∈++++. 若选∵，
则2,N n n b n n *
=⋅∈
所以23
1222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，
则()23
1201222122n n n T n n +=+⨯+⨯+
+-⋅+⋅，
两式相减，得()2
3
1
1122222222
212212
n n
n n n n T n n n +++-⨯-=+++
+-⋅=-⋅=--- 则()1122,N n n T n n +*
=-+∈.
7．（2022·江苏南京·高三开学考试）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知
211,2n n n a S a ⎧⎫>-⎨⎬⎩
⎭是公差为12的等差数列.
(1)证明：{}n a 是等差数列；
(2)若126,,a a a 可构成三角形的三边，求13
14
S a 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)130,1317⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】（1）利用等差数列定义和()12-=-≥n n n a S S n 可得答案； （2）由126,,a a a 可构成三角形的三边可得14a >，利用又
1314191
1313
=-+S a a ，根据1a 的
范围可得答案.
（1）（1）因为212n n S a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是公差为12的等差数列，2n ≥时，2211111
222n n n n S a S a --⎛⎫---=
⎪⎝⎭，即2211
11222
--+=n n n a a a ，所以()22
11n n a a --=，又1n
a >，所以11n n a a --=，所以{}n a 是等差数列.
（2）因为126,,a a a 可构成三角形的三边，所以11215a a +>+，即14a >，又
137114141113137891131313S a a a a a a +===-++，且14a >，所以1314130,1317S a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足
112a =，11b =，225a b =，332a b =.
(1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
(2)数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S .
【答案】(1)1
39,3n n n a n b -=+=(2)6043
【分析】（1）根据等差等比数列的基本量列方程求解即可.（2）将{}n c 的前63项中含数列{}n b 中的前5项和前4项两种情况得n 的范围，在结合等差数列和等比数列求和公式即可求解. (1)
设等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 的公比和公差分别为:,q d ，故由112a =，
11b =，225a b =，332a b =可得:21251222d q d q
+=⎧⎨+=⎩解得3=3d q =⎧⎨
⎩ 故()1
123139,3n n n a n n b -=+-=+=
(2)
当数列{}n c 前63项中含有数列{}n b 中4项时，令439<3<24n n +⇒，此时{}n c 最多23+3=26项，不符合题意
当数列{}n c 前63项中含有数列{}n b 中5项时，令539<3<78n n +⇒，且343,3是{}n b 和
{}n a 的公共项，则{}n c 前63项中含有数列{}n b 中的前5项和{}n a 的前60项，再减
去公共的两项，故012636059
=1260+
3+3+3+3=60432
S ⨯⨯⨯ 9．（2022·海南·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，222
212n n n a a a +++=，且
4242
2
a a a a -=
+． (1)求数列{}2
n a 的通项公式；
(2)求满足不等式512n n a a ++<的正整数n 的最小值．
【答案】(1)2
n
a n =；(2)5. 【分析】（1）由题可得数列{}2
n a 是等差数列，进而可得1d =，即得；
（251n n +<. (1)
由已知，2
2
2
2
211n n n n a a a a +++-=-，
所以数列{}2
n a 是等差数列，设其公差为d ．
由4242
2a a a a -=
+，得22
422a a -=． 所以22d =，即1d =，
所以22
1(1)n a a n d n =+-=．
(2)
由0n a >，得n a n =
51n n +<
两边平方可得6254n n n +++<，即536n n +-， 所以24(5)(36)n n +<-，整理得(4)(94)0n n -->， 解得4n >或4
9
n <, 因为n *∈N ， 故n 的最小值为5．
10．（2022·重庆南开中学模拟预测）∵()123232131n
n a a a na n +++⋅⋅⋅+=-+，*n ∈N ；
∵n S 为{}n a 的前n 项和，324n n a S =+，*n ∈N ；在∵∵中选择一个，补充在下面的横线上并解答．已知数列{}n a 满足______． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()1222n n n n a b a a +=
--，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：1
2
n T <． 【答案】(1)()1
43
n n a n N -+
=⋅∈(2)证明见解析
【分析】（1）选择∵：根据{}n na 前n 项和与前1n -项和的关系求解即可； 选择∵：根据()12n n n a S S n -=-≥与11a S =化简可得 （2）代入化简()()1222n
n n n a b a a +=--再裂项相消求和证明即可
(1) 选择∵：
当1n =时，1
1314a =+=；
当2n ≥时，()123232131n
n a a a na n +++⋅⋅⋅+=-+
()()112312312331n n a a a n a n --+++⋅⋅⋅+-=-+，两式相减得
()()1121323343n n n n na n n n --=---=⋅，故()1432n n a n -=⋅≥，又当1n =时， 也满足
143n n a -=⋅，故()
143n n a n N -+=⋅∈
选择∵：
当1n =时，11324a S =+，解得14a =
当2n ≥时，324n n a S =+，11324n n a S --=+，两式相减有1332n n n a a a --=，即13n n a a -=，故{}n a 是以14a =为首项，3为公比的等比数列，故()1
43n n a n N -+
=⋅∈
(2) 代入1
43
n n a -=⋅可得()()
11124311
432432432432n n n n n n b ---⋅⋅==-⋅-⋅-⋅-⋅-，
故011211
1
1
1
1
1
...432432432432432432n n n T -=-+-++-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-
011111
43243224322
n n
=
-=-<⋅-⋅-⋅-，即得证。