运动学辅助分析5.1位形的描述约束方程T

y3
[解]
系统参考基与刚体连体基的定义 y
系统位形坐标的定义
q 1 2 3 T n 3
约束方程
y2 y1
C1
l1 cos l1 sin
1 1
l2 l2
cos 2 sin 2
l3 l3
cos3 d1 sin3 d2
0
0
O
3
3
C3
x2 B3
x3
2 B2
1 C2 x1
d2
B1
x
q
T 3
T
0
0
1
x2
y2 2
x3
y3 3 T
系统的位形坐标部分是时变的
2021年1月15日 理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
时变坐标的个数为7（<3N）
11
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
y3
[解3]
系统有N =3个刚体构成
定义各刚性杆为 B1, B2, B3
公共参考基
Oe
建立连体基
2021年1月15日
Φ Φ 1,2 ,3 Φ q 0 20
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
[例]
写出系统的自由度数，定义独立 与非独立坐标
l2
l1
1
d1
l3 d2
2021年1月15日 21
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0.0354 0.0354 0.785T
B2 : q2 r2T 2 T
0.193 0.229 0.915T
B3 : q3 r3T 3 T
0.357 0.244 5.000T
如何计算得到？
y
B2
B1 O
1
y3
3
B C3
3
r3
x3
x
1 = p/4 (rad)
2021年1月15日 5
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0.0354 0.0354 0.785T
B2 : q2 r2T 2 T
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0.0354 0.0354 0.785T
y
B2
y1
C1
B1
x1
1
O r1
B3 x
1 = p/4 (rad)
2021年1月15日 3
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
[例]
图示机构的参数为 l1=0.1m，l2=0.4m，l3=0.3m d1=0.4m，d2=0.1m 此瞬时
1 = p/4 (rad)
l2
l1
1
求该瞬时系统的位形
d1
l3 d2
2021年1月15日 1
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
系统有N =3个刚体构成
定义各刚性杆为 B1, B2, B3
公共参考基
Oe
建立连体基
B1 : C1 e1
B2 : C2 e2
B3 : C3 e3
y
C3
y2
B2
x2
B3 x3
y1 B1C1 O
1C2 x1
x
连体基基点在各杆的端点
2021年1月15日 7
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
– 可作为描述系统的位形坐标 – 称为位形坐标的缩减
2021年1月15日 17
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
[例]
写出系统的约束方程
l2
l1
1
d1
l3 d2
2021年1月15日 18
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y2
l1 0 2 T
2
C3
x2 B3
x3
2 B2
C2
O
B1
x
2021年1月15日 14
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
y
0 0 1 T
B2 : q2 ρ2T 2 T
l1 0 2 T
B1 : C1 e1
B2 : C2 e2
B3 : C3 e3
y
C3
y2
B2
x2
B3 x3
y1 B1C1 O
1C2 x1
x
连体基基点在各杆的端点
2021年1月15日 12
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0.0354 0.0354 0.785T
B2 : q2 r2T 2 T
0.193 0.229 0.915T
如何计算得到？
y
y2
B2 r2
2
C2
B1 O
1
x2 B3
x
1 = p/4 (rad)
2021年1月15日 4
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
[例]
利用总体法写出系统的约束方程
l2
l1
1
d1
l3 d2
2021年1月15日 25
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
[解]
系统参考基与刚体连体基的定义 y
系统位形坐标的定义
q 1 2 3 T
杆与杆和杆与机座的铰点限制 各杆位形坐标的独立性
0 0 1 T
B2 : q2 r2T 2 T
x2 y2 2 T
y
x2
y2
B3 2 B2
C1 r2 1 C2
O
B1
x
2021年1月15日 9
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
B1 : q1 r1T 1 T
0 0 1 T
B2 : q2 r2T 2 T
x2 y2 2 T
B3 : q3 r3T 3 T
x3 y3 3 T
y y2 y1 C1
3
r3
C3
x2 B3
x3
2 B2
1 C2 x1
O
B1
x
系统的瞬时位形坐标
q q1T
q
T 2
[解1]
系统有N =3个刚体构成
定义各刚性杆为 B1, B2, B3
公共参考基
Oe
建立连体基
B1 : C1 e1
B2 : C2 e2
B3 : C3 e3
y
y2
y1 B1 O
B2 C1
1
C2 x1
连体基基点在各杆的中点
x2
y3 B3 C3
x3
x
2021年1月15日 2
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
0.193 0.229 0.915T
B3 : q3 r3T 3 T
0.357 0.244 5.000T
y
y2
B2
y1
C1 r2
B1
1
O
r1
x2
y3
2
3
B C3
3
C2 x1
r3
x3
x
系统的瞬时位形坐标
1 = p/4 (rad)
q q1T
q
T 2
q
T 3
T
x1
y1 1
x2
0 0 1 T
y
B3
y1
C1
B2 1 x1
O
B1
x
2021年1月15日 13
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0 0 1 T
B2 : q2 ρ2T 2 T
y
在基的 e21 坐标阵
B3 : q3 ρ3T 3 T
l2 0 3 T
在基的e32 坐标阵 O
3
C3
3
B2
B3 x3
B1
x
2021年1月15日 15
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0 0 1 T
q w uT T
23
刚体系位形的描述，约束方程
建立约束方程的方法
q,t 0
1 s T
• 总体法
根据系统一般情况下构形的几何关系建立系统的约束方程
• 局部法
以系统中一对邻接刚体为单元，根据连接关系建立它们位形坐 标间的关系，然而将它们组集
2021年1月15日 24
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
[解]
系统参考基与刚体连体基的定义 y
系统位形坐标的定义
q 1 2 3 T
杆与杆和杆与机座的铰点限 制各杆位形坐标的独立性
y2 y1
C1 O
3
3
C3
x2 B3
x3
2 B2
1 C2 x1
d2
B1
x
d1
Φq
Φ1 q Φ2 q
l1 cos1 l2 cos2 l3 cos3 d1 0 l1 sin1 l2 sin2 l3 sin3 d2 0
B2 : q2 ρ2T 2 T
l1 0 2 T
B3 : q3 ρ3T 3 T
l2 0 3 T
系统的瞬时位形坐标
y
3
3
C3 x2
y1
y2
C1 2
2 B2 1 C2 x1
B3
x3
O
B1
x
q q1T
q
T 2
q
T 3
T
0
0 1
l1
0 2
l2
0 3 T
系统的位形坐标部分时变 时变坐标的个数为3（<3N）
y3
[解]
系统参考基与刚体连体基的定义 y
系统位形坐标的定义
q 1 2 3 T
杆与杆和杆与机座的铰点限 制各杆位形坐标的独立性
y2 y1
C1 O
3
3
C3
x2 B3
x3
2 B2
1 C2 x1
B1
x
? 如何建立各杆位形坐标间的关系
2021年1月15日 19
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
y2 2
x3
y3 3 T
0.0354 0.0354 0.785 0.193 0.229 0.915 0.357 0.244 5.000T
系统的位形坐标都是时变的
时变坐标的个数为9（3N）
2021年1月15日 6
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
y3
[解2]
q 1 2 3 T
2021年1月15日 理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
系统的位形坐标不是笛卡儿坐标
16
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
小结
• 系统位形笛卡尔坐标的最大个数是3N • 定义系统位形笛卡尔坐标具有程式化的特征 • 系统位形坐标的定义是人为的 • 时变位形坐标的个数可能不同（< 3N ）
0 0 1 T
B2 : q2 r2T 2 T
x2 y2 2 T
B3 : q3 r3T 3 T
x3 y3 3 T
y
3
C3
r3
B3 x3
B2
C1
O
B1
x
2021年1月15日 10
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
各刚体的瞬时位形坐标
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
0 0 1 T
y
B3
y1
C1
B2 1 x1
O
B1
x
2021年1月15日 8
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
各刚体的瞬时位形坐标
B1 : q1 r1T 1 T
26
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标
[例]
利用局部法写出系统的约束方程
l2
l1
d1
l3 d2
2021年1月15日 27
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念
[解]
系统的构成：
刚体个数 N=3 铰的个数 NJ=4 系统可分解为4个刚体偶对：
d1
独立的完整约束方程的个数 s=2
系统的自由度 n s 1
2021年1月15日 22
理论力学CAI 运动学计算机辅助分析
刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解
y3
系统位形坐标
q 1 2 3 T
y
约束方程
l1 cos l1 sin
1 1
l2 l2
cos 2 sin 2
l3 l3
总体上保证系统机座的相对位 置（d1, d2）
y2 y1
C1 O
3
3
C3
x2 B3
x3
2 B2
1 C2 x1
d2
B1
x
d1
约束方程
l1 cos l1 sin
1 1
l2 l2
cos 2 sin 2
l3 cos3 d1 l3 sin3 d2
0
0
2021年1月15日
ns 1
铰A：B1 B2 铰B：B2 B3 铰D： B3 支座 铰C：支座 B1
B2
A B1 C
B B3
cos3 d1 sin3 d2
0
0
y1
y2 C1
系统的自由度
O
ns 1
独立坐标个数为 =1
3
3
C3
x2 B3
x3
2 B2
1 C2 x1
d2
B1
x
d1
定义独立坐标阵 w (1)
非独立坐标个数为 s=2
定义非独立坐标阵 u (2 3 )T
2021年1月15日 理论力学CAI 运动学计算机辅助分析