高中染色问题练习题及讲解

高中染色问题练习题及讲解
练习题一：
题目：一个平面图有5个顶点，其中顶点A、B、C、D、E的度数分别为4、3、2、2、1。

请判断该图是否可平面染色。

解答：
首先，我们需要了解平面图的定义。

一个图被称为平面图，如果它能够被画在平面上，使得其边不相交，除了在顶点处。

根据欧拉公式，对于一个连通的平面图，顶点数V、边数E和面数F满足以下关系：
\[ V - E + F = 2 \]
对于给定的图，我们有5个顶点，假设边数为E，根据题目中的度数信息，我们可以计算出E的值：
\[ E = 4A + 3B + 2C + 2D + 1E = 4 \times 4 + 3 \times 3 + 2 \times 2 + 2 \times 2 + 1 \times 1 = 26 \]
现在我们使用欧拉公式来检查图是否可能为平面图：
\[ 5 - 26 + F = 2 \]
\[ F = 23 \]
然而，由于每个面至少由3条边组成，我们有：
\[ 3F \leq 2E \]
\[ 3F \leq 52 \]
\[ F \leq \frac{52}{3} \approx 17.33 \]
这与我们计算出的F值23相矛盾，因此该图不可能是平面图，所以该图不可平面染色。

练习题二：
题目：一个图有7个顶点，每个顶点的度数都至少为5。

请证明这个图不可能是平面图。

解答：
根据平面图的性质，我们知道一个图是平面图当且仅当它满足欧拉公式。

然而，对于一个图来说，如果每个顶点的度数都至少为5，则其边数E至少为：
\[ E \geq 5V \]
对于7个顶点的图，我们有：
\[ E \geq 5 \times 7 = 35 \]
现在，我们再次使用欧拉公式：
\[ V - E + F = 2 \]
代入V=7和E的最小值35：
\[ 7 - 35 + F = 2 \]
\[ F = 30 \]
然而，每个面至少由3条边组成，这意味着：
\[ 3F \leq 2E \]
\[ 3 \times 30 \leq 2 \times 35 \]
\[ 90 \leq 70 \]
这显然是错误的，因此不存在这样的F值，这表明该图不可能是平面图。

练习题三：
题目：考虑一个图，其中包含一个由4个顶点组成的环，环内没有其他顶点。

请说明这个图是否可能为平面图。

解答：
考虑一个由4个顶点组成的环，我们可以将这个环视为图的子图。

环的度数为4，每条边都是环的一部分，因此环的边数为4。

现在，我们考虑环外的图。

由于环内的顶点不与环外的顶点相连，我们可以将环外的图视为一个
独立的图。

假设环外的图有V'个顶点，E'条边，F'个面。

对于环内的图，我们可以使用欧拉公式：
\[ V - E + F = 2 \]
对于环，我们有V=4，E=4，因此：
\[ 4 - 4 + F = 2 \]
\[ F = 2 \]
这意味着环内有两个面。

现在，我们考虑整个图。

整个图的顶点数为
V+V'，边数为E+E'，面数为F+F'。

使用欧拉公式：
\[ (V + V') - (E + E') + (F + F') = 2 \]
由于环内有两个面，我们有：
\[ 2 + F' = 2 \]
\[ F' = 0 \]
这意味着环外的图没有面，这是不可能的，因为一个图至少有一个面。

因此，这个图不可能是平面图。