2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 强化训练2 函数与方程中的综合问题

则a的取值范围是
√A.(0,3)
C.(－3,0)
B.[0,3] D.(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析 ∵f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，
∴ff－2>10>，0， 即－－2－2＋122a－＋a4＋>04，>0，
解得0<a<3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.4
√B.6
C.8
D.10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 令 f(x)＝0，可得12|x－1|＝－2cos πx， 令 g(x)＝12|x－1|，h(x)＝－2cos πx，
2x－1，－2≤x≤1， 则 g(x)＝12x－1，1<x≤4， ∵g(2－x)＝12|2－x－1|＝12|1－x|＝12|x－1|＝g(x)， h(2－x)＝－2cos(2π－πx)＝－2cos πx＝h(x)，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
拓展冲刺练
15.已知函数f(x)＝ 2|lnx－x－1，1x|，≤x1>，1，则方程f(f(x))＝1根的个数为
A.3
B.5
√C.7
D.9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 令u＝f(x)，先解方程f(u)＝1. (1)当u≤1时，f(u)＝2u－1＝1，得u1＝1； (2)当u>1时，f(u)＝|ln(u－1)|＝1， 即 ln(u－1)＝±1，解得 u2＝1＋1e，u3＝1＋e. 如图所示，
所以实数 λ 的取值范围是1，381.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
技能提升练
13.四个函数 f(x)＝10x，g(x)＝110x，h(x)＝lg x，φ(x)＝log 1 x ，方程 f(x)
10
＝φ(x)，g(x)＝φ(x)，g(x)＝h(x)的实数根分别为 a，b，c，则
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∴f(x)在(0,3)上有唯一零点， 即f(x)在R上有唯一零点， 即方程3x＋4x＝5x只有一个实数解.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
12.设函数 f(x)＝log2(x＋m)(m∈R).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.已知函数 f(x)＝|lxn＋x＋1|，1，x≤x>00，， 若方程 f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的 实数解 a，b，c(a<b<c)，则(a＋b)c 的取值范围是__－__2_，__－__2e___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
直线 u＝1，u＝1＋1e，u＝1＋e 与函数 u＝f(x)的交点个数分别为 3,2,2， 所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.已知函数f(x)＝x2＋ax＋
1 4
，g(x)＝－ln
x.
(1)若∀x∈R，f(x)≥0，求实数a的取值范围；
当 x＞0 时，f(x)＝2xe2－ln x，f′(x)＝xe－1x＝x－
ex＋ ex
e，
f(x)在(0， e)上递减，在( e，＋∞)上递增，
f(x)min＝f( e)＝0，x＞0 时，有一个交点，
所以f(x)共有2个零点，故不成立，
②当 a＝2 时，当 x＞0 时，f(x)＝xe2－ln 2x，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8. 若 关 于 x 的 方 程 9x ＋ (4 ＋ a)·3x ＋ 4 ＝ 0 有 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _(－__∞__，__－__8_]__. 解析 方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解， 令t＝3x>0，则方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正根， 又两根的积为4， ∴－Δ＝4＋4＋aa>02－，16≥0， 解得 a≤－8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11.求证：方程3x＋4x＝5x只有一个实数解.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
证明 要证方程3x＋4x＝5x只有一个实数解， 即证35x＋45x＝1 只有一个实数解， 即证 f(x)＝35x＋45x－1 有唯一零点. ∵f(0)＝350＋450－1＝1>0， f(3)＝353＋453－1＝－13245<0， ∴f(0)f(3)<0，∴f(x)在(0,3)上有零点. 又f(x)在R上是减函数，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0， 所以h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0， 所以h(x)在(1，＋∞)上无零点； 所以h(x)在(0,1]上有三个零点， f(1)＝54＋a，g(1)＝0， 当 f(1)≥g(1)时，54＋a≥0，得 a≥－54， 所以h(1)＝g(1)＝0，所以1是h(x)的一个零点； 当 f(1)<g(1)时，a<－54，
5.已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x的零点为b，则下列
不等式中成立的是
A.f(a)<f(a＋b)<f(b)
√C.f(a)<f(b)<f(a＋b)
B.f(a＋b)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(a＋b)<f(a)
解析 由题意可知函数f(x)在R上单调递增， f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0， ∴函数f(x)的零点a∈(0,1)， 又函数g(x)的零点b＝1，∴0<a<b<a＋b， ∴f(a)<f(b)<f(a＋b).
(1)当 m＝2 时，解不等式 f 1x<1；
解
由题意，知 log21x＋2<1，则11xx＋＋22><02，，
解得x<－21或x>0， x<0，
故 x<－12，
所以原不等式的解集为－∞，－12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)若
m＝10，且关于
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.方程2x＋x＝2的解所在的区间是(k，k＋1)，k∈Z，则k＝___0_____.
解析 由题意得2x＋x－2＝0， 设f(x)＝2x＋x－2， 所以f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋1－2＝1， 所以f(0)f(1)<0， 又函数f(x)是R上的连续函数， 所以由零点存在性定理，得方程2x＋x＝2的解所在的区间是(0,1). 故k＝0.
的方程
f(x)＝
12x＋λ
在[－2,6]上有实数解，求实
数 λ 的取值范围.
解
log2(x＋10)＝
12x＋λ，
即
λ＝log2(x＋10)－
1
x
2
在[－2,6]上有实数解，
设
g(x)＝log2(x＋10)－
12x，因为g(x)在[－2,6]上单调递增，
所以当 x＝－2 时，λmin＝1；当 x＝6 时，λmax＝381.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
大一轮复习讲义
基础保分练
1.下列函数中，不能用二分法求函数零点的有
A.f(x)＝3x－1
√B.f(x)＝x2－2x＋1
C.f(x)＝log4x
D.f(x)＝ex－2
解析 f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0， 当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0， 在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点， 其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间(－2,4)上的零点必定在区间
A.(－2,1)内
B.52，4内
C.1，74内
√D.74，25内
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 ∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
解 根据题意知 x2＋ax＋14≥0 对任意实数 x 恒成立， 所以 Δ＝a2－4×14≤0，解得－1≤a≤1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)用min{m，n}表示m，n中的较小者.设h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)， 若h(x)有三个零点，求实数a的取值范围.
解析 画出f(x)的图象. 所以方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(a<b<c)， 可知m的取值范围为(0,1]， 由题意可知a＋b＝－2,0<ln c＋1≤1， 所以1e<c≤1， 所以－2≤(a＋b)c<－2e.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
且 f －22＋4＝f(1)＝－4<0，∴零点在(1,4)内.
又 f 1＋2 4＝f 52＝387>0，∴零点在区间1，52内.
又
f
1＋52＝f 2
74<0，∴零点在区间74，25内.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是
10.已知函数f(x)＝ 2fxx－＋11，，x≥x<00，，若方程f(x)＝－x－a有两个不同的实数 根，则实数a的取值范围为__(－__1_，__＋__∞__)__.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 当x≥0时，f(x)＝2x－1， 当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1－1， 当－2≤x<－1时，f(x)＝2x＋2－1， 画出函数f(x)的图象，如图： 因为方程f(x)＝－x－a有两个不同的实根， 所以函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点. 由直线y＝－x－a过点(0,1)，得a＝－1； 由直线y＝－x－a过点(0,0)，得a＝0； 由直线y＝－x－a过点(－1,0)，得a＝1； 而函数f(x)不过点(0,1)，(－1,1)，(－2,1)， 因此当a>－1时，函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点，即方程 f(x)＝－x－a有两个不同实根.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12wk.baidu.com13 14 15 16
6.(多选)设函数f(x)＝ax2－ln|ax|(a＞0)，若f(x)有4个零点，则a的可能取 2e
值有
A.1
√B.2
√C.3
√D.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 ①当 a＝1 时，f(x)＝2xe2－ln|x|，函数 f(x)是偶函数，
√A.a<b<c
C.c<a<b
B.c<b<a D.b<a<c
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 如图，画出四个函数的图象，由图可知，a<b<c.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14.函数 f(x)＝12|x－1|＋2cos πx(－2≤x≤4)的所有零点之和为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∴函数y＝g(x)和y＝h(x)的图象都关于直线x＝1对称，作出这两个函数在 区间[－2,4]上的图象如图所示. 由图象可知，函数y＝g(x)和y＝h(x)在区间 [－2,4]上的图象共有6个交点，有3对关于 直线x＝1对称， 因此，函数 f(x)＝12|x－1|＋2cos πx(－2≤x≤4)的所有零点之和为 3×2＝6.
f′(x)＝2ex－1x＝2xe2－x e＝2x－
2ex＋ ex
e
2，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f(x)在0，
f(x)min＝f
2e上递减，在 2e，＋∞上递增， 2e＝12(1－ln 2e)＜0 有两个交点，
所以共有4个零点，故成立，
同理可得a＝3，a＝4时成立.
A.(0,1)
B.(0，＋∞)
√C.(1，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析 由f(x)＝ex>0，f(m)＝g(n)，则g(n)＝ln n>0，∴n>1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，