2021-2022学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷-附答案详解

2021-2022学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A ={x|x 2−x −6<0}，B ={x|0<x <1}，则A ∩(∁R B)=( )
A. {x|−2<x ≤0}
B. {x|−2<x ≤0，或1≤x <3}
C. {x|1≤x <3}
D. {x|−2<x <0，或1<x <3}
2. 已知a >0且a ≠1，则“a >2”是“log a 2<1”的( )
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0
lnx,x >0
，则f(f(1))=( )
A. e
B. −1
C. 0
D. 1
4. 将函数f(x)=sin(5x −π
4)的图象向左平移π
5个单位长度，再将得到的图象上所有点
的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. sin(52x −π
20)
B. sin(10x −π
20)
C. sin(52x +3π
4)
D. sin(52x +3π
8)
5. 若a ，b ∈R ，ab >0，则ab
a 4+4
b 4+1的最大值为( )
A. 1
4
B. 1
2
C. 2
D. 4
6. 函数y =(1+cosx)(x −1
x )在[−5,0)∪(0,5]上的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若cosα+2sinα=−√5，则tanα=()
A. 1
2B. 2 C. −1
2
D. −2
8.若数列{a n}满足a1=2，a n+1a n=a n−1，则a2022=()
A. 2
B. 1
2
C. −1
D. −2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.下列命题为真命题的是()
A. 若ac2>bc2，则a>b
B. 若a>b，则2a−b>1
2
C. 若a>0，b>0，则√ab≥2ab
a+b
D. 若a>b>0，则lga
lgb
>1
10.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2S n=3a n+m，则()
A. m=−1
B. {a n}是等差数列
C. a n=3n−1
D. S n=3n−1
2
11.已知函数f(x)=x+2tanx，其导函数为f′(x)，设g(x)=f′(x)cosx，则()
A. f(x)的图象关于原点对称
B. f(x)在R上单调递增
C. 2π是g(x)的一个周期
D. g(x)在(0,π
2
)上的最小值为2√2
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N)在区间[−π
12,π
12
]和[7π
4
,25π
12
]上单调递增，下列
说法中正确的是()
A. ω的最大值为3
B. 方程f(x)=log2πx在[0,2π]上至多有5个根
C. 存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数
D. 存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为奇函数
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若2a=7b=14，a，b∈R，则1
a +1
b
=______．
14.在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=60°，∠CBA=75°，则B，C
两点之间的距离为______米．
15.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a n=n+1，则a n=______，数列{1
a n
}的前n项和S n=______．
16.已知函数f(x)=xlnx+1
2
mx2有两个极值点，则实数m的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知关于x的不等式x2+ax+1≥0．
(1)当a=5
2
时，解不等式；
(2)若不等式对任意x∈(0,1
2
)恒成立，求实数a的取值范围．
18.已知函数f(x)=cosωxsin(ωx+π
6)−cos2ωx+1
4
，满足f(m)=f(n)=1
4
(m,n∈
R,m>n)的m−n的最小值是π
3
．(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在[0,5π
12
]的最大值和最小值．
19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB+sinC=2sinA，
3bsinC=4csinA，点D在射线AC上，满足cos∠ABD=2cosB．
(1)求∠ABD；
(2)设∠ABD的角平分线与直线AC交于点E，求证：1
BA +1
BD
=1
BE
．
20.已知等差数列{a n}，a2，a4，25成等比数列，a6=2(a1+a3).
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)在所有相邻两项a k与a k+1(k=1,2,⋯)之间插入k个2k，使它们和原数列的项构
成一个新的数列{b n}，记数列{b n}的前n项和为S n，求S50的值．
21.某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野
生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道．若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为10x[ln(x+12)−3]万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈
1.10．
22.已知函数f(x)=(x−1)ln(x+1)，曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=
kx+b(k,b∈R)．
(1)求k，b的值；
(2)证明：f(x)≥kx+b；
(3)若函数g(x)=f(x)+m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明|x2−x1|≤1−m−m
．
ln2
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}， ∵B ={x|0<x <1}，∴∁R B ={x|x ≤0或x ≥1}， ∴A ∩(∁R B)={x|−2<x ≤0或1≤x <3}， 故选：B ．
先解一元二次不等式求出集合A ，再根据集合的基本运算即可求解． 本题主要考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵已知a >0且a ≠1， 由a >2，可得log a 2<1，故充分性成立；
由log a 2<1，可得a >2或0<a <1，故必要性不成立，即由log a 2<1，不能得到a >2， 故“a >2”是“log a 2<1”的充分不必要条件， 故选：B ．
由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，对数的性质，得出结论． 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，对数的性质，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)={e x ,x ≤0lnx,x >0，
则f(1)=ln1=0，则f(f(1))=e 0=1， 故选：D ．
根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，进而计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：f(x)=sin(5x −π4)的图象向左平移π5个单位长度，得到y =sin[5(x +π
5)−
π4
]=sin(5x +
3π4
)，
再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y =sin(5⋅1
2x +
3π
4
)=sin(5
2x +3π4
).
故选：C ．
根据函数图象的平移和伸缩变换法则，即可得解．
本题考查三角函数的图象变换，熟练掌握平移和伸缩变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为a 4+4b 4=(a 2)2+(2b 2)2≥4a 2b 2， 当且仅当a 2=2b 2时取等号， 所以ab a 4+4b 4+1≤ab 4a 2b 2+1=1
4ab+1ab
，
又4ab +1ab ≥2√4ab ⋅1
ab
=4，
当且仅当4ab =1
ab ，即a 2b 2=1
4时取等号， 联立方程组{a 2=2b 2a 2b 2=
14，解得a 2=14,b 2=1
8，
所以ab a 4+4b 4+1≤1
4，
当且仅当a 2=1
4,b 2=1
8时取等号， 则ab
a 4+4
b 4+1的最大值为1
4． 故选：A ．
利用基本不等式求解即可．
本题考查了基本不等式的理解与应用，主要考查了基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由定义域为[−5,0)∪(0,5]，排除选项A，
令y=f(x)=(1+cosx)(x−1
x
)，
所以f(−x)=[1+cos(−x)](−x+1
x )=−(1+cosx)(x−1
x
)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除选项B，
当0<x≤5时，令y=0，则x=1或cosx=−1，即x=1或x=π，
所以函数y在(0,5]上有两个零点，选项C错误，D正确．
故选：D．
由函数的定义域可排除选项A，根据函数的奇偶性可判断f(x)为奇函数，排除B，再计算x∈(0,5]时，函数的零点个数，即可得解．
本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性，单调性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵cosα+2sinα=−√5，
∴cosα≠0，
两边同时除以cosα得1+2tanα=−√5secα，
∴(1+2tanα)2=5sec2α=5(1+tan2α)，
∴tan2α−4tanα+4=0，
∴tanα=2．
故选B．
本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果．
同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
8.【答案】C
【解析】解：数列{a n}满足a n+1a n=a n−1，即a n+1=1−1a
n
，且a1=2，
则a2=1
2
，a3=−1，a4=2，
所以数列是周期数列，周期为3，
所以a2022=a673×3+3=a3=−1，
故选：C．
利用数列的递推关系式，求解数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，求解数列的周期是解题的关键，是基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：若ac2>bc2，则a>b，故A正确；
对于B：当a=0，b=−2，时20+2=1
4<1
2
，故B错误；
对于C：若a>0，b>0，根据不等式中算术平均数和调和平均数的关系，则√ab≥2ab
a+b 成立，故C正确；
对于D：由于a>b>1，所以lga>lgb，整理得lga
lgb
>1，故D错误．
故选：AC．
直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：不等式的性质，对数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：因为a1=1，且2S n=3a n+m，
所以2S1=3a1+m，解得m=−1，
故2S n=3a n−1，
当n≥2时，2S n−1=3a n−1−1，
两式相减得，2S n−2S n−1=3a n−3a n−1，
所以2a n=3a n−3a n−1，
即a n=3a n−1(n≥2)，
故数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以a n=3n−1，S n=1−3n
1−3=3n−1
2
．
故选：CD．
由已知结合数列的和与项的递推公式可得a n=3a n−1(n≥2)，从而可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式及求和公式可求．
本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，还考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是中档题．
根据函数的奇偶性判断A，求出函数的导数，根据函数的单调性判断B，结合三角函数的性质判断C，通过换元思想以及三角函数的性质判断D．
【解答】
解：f(x)=x+2tanx的定义域是{x|x≠π
2
+kπ,k∈Z}，
其关于坐标原点对称，
且f(−x)=−x+2tan(−x)=−x−2tanx=−(x+2tanx)=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故A项正确；
由f(x)=x+2tanx，得f′(x)=1+2
cos2x
，
则g(x)=f′(x)cosx=cosx+2
cosx
，
f′(x)=1+2
cos2x
>0恒成立，
所以f(x)在(−π
2+kπ,π
2
+kπ)(k∈Z)上单调递增，
并不是在R上单调递增，故B项错误；
由g(x)=cosx+2
cosx
，
得函数g(x)的定义域是{x|x≠π
2
+kπ,k∈Z}，
g(x+2π)=cos(x+2π)
=cos(x+2π)+
2
cos(x+2π)
=cosx+2
cosx
=g(x)，故C项正确；
设t=cosx，当x∈(0,π
2
)时，t∈(0,1)，
由对勾函数性质可知此时g(x)>3，故D项错误，故选：AC．
12.【答案】ABD
【解析】解：由函数
f(x)=sin(ωx+
φ)(ω∈N)在区间
[−π
12,π
12
]和[7π
4
,25π
12
]上
单调递增，
可得当周期T最小时，
T 2=π
ω
=25π
12
−7π
4
=π
3
，∴ω=3，满足条件．
当周期T最大时，T
2=π
ω
=7π
4
−π
12
，∴ω=1，满足条件．
∴ω=1，2，3都可，故A正确；
若方程f(x)=log2πx在[0,2π]上的根最多，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期最小，即ω=3，
画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项B正确；
因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N)在区间[−π
12,π
12
]上单调递增，故不可能存在ω和φ
使f(x)为偶函数，
故选项C错误；
当ω=2和φ=0时，f(x)=sin2x为奇函数，满足题意，故选项D正确，
故选：ABD．
由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题题以三角函数为背景，考查三角函数的周期性、奇偶性、三角函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、函数的零点，考查推理论证能力和函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：∵2a =7b =14，∴a =log 214，b =log 714， ∴1
a
+1
b =
1log 214
+
1log 714
=log 142+log 147=log 1414=1，
故答案为：1．
直接化指数式为对数式，再利用对数换底公式求解即可．
本题考查了指数式和对数式的互化，对数换底公式的应用，是基础题．
14.【答案】500√6
【解析】解：∵在相距1000米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB =60°，∠CBA =75°， ∴∠ACB =180°−60°−75°=45°，
△ABC 中，由正弦定理可得BC
sin60∘=1000
sin45∘，求得BC =500√6， 即B ，C 两点之间的距离为500√6 米， 故答案为：500√6．
先由三角形的内角和公式求出∠ACB 的值，△ABC 中，利用正弦定理求得BC 的值，可得结论．
本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】n(n+1)2
2n
n+1
【解析】解：数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=a n =n +1， 则a n =a n−1+n ，即a n −a n−1=n ，
则a n =a 1+a 2−a 1+a 3−a 2+.......+a n −a n−1=1+2+.....+n =n(n+1)2
，
所以1a n
=2n(n+1)=2(1n −1
n+1)，
则S n =2(1−12+12−13+....+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2n
n+1， 故答案为：
 n(n+1)
2
；2n
n+1．
由已知可得a n −a n−1=n ，如何利用叠加法即可求出a n ，然后再利用裂项相消法即可求出S n ．
本题考查了数列的通项公式的求解以及前n 和的求解，涉及到叠加以及裂项相消法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(−1,0)
【解析】解：f(x)=xlnx +1
2mx 2有两个极值点⇔f′(x)=1+lnx +mx =0有两个根⇔g(x)=lnx+1x
=−m 有两个根，
g′(x)=
1
x
⋅x−(lnx+1)⋅1x 2
=
−lnx x 2
，
当x ∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x ∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
g(x)max =g(1)=1>0，g(x)→0+ (x →+∞)，g(x)→−∞(x →0+ )， 所以f(x)=xlnx +1
2mx 2有两个极值点⇔−m ∈(0,1)，即m ∈(−1,0)， 故答案为：(−1,0)．
求导数，判断函数单调性，再确定函数最大值，最后用数形结合法求解． 本题考查了利用导数求函数最大值问题，属于中档题．
17.
【答案】解：(1)当a =5
2时，不等式可化为(x +2)(x +1
2)≥0，解得x ≤−2或x ≥−1
2， 所以不等式的解集为{x|x ≤−2或x ≥−1
2}； (2)当x ∈(0,1
2)时，原不等式可化为a ≥−x −1
x ， 令f(x)=−x −1
x ，x ∈(0,+∞)，则f′(x)=−1+1x 2
=
1−x 2x 2
，
当x ∈(0,1
2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x ∈(0,1
2)时，f(x)<f(1
2)=−5
2， 所以a ≥−5
2．
故a 的取值范围是[−5
2,+∞)．
【解析】(1)利用一元二次不等式的解法即可得出；
(2)原不等式可化为a ≥−x −1
x ，令f(x)=−x −1
x ，x ∈(0,+∞)，利用导数求得f(x)<−5
2，即可求得a 取值范围．
本题考查函数恒成立，不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，是中档题．
18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=cosωxsin(ωx +π6)−cos 2ωx +14=cosωx(√32sinωx +1
2cosωx)−cos 2ωx +1
4 =
√3
2
sinωxcosωx −12cos 2ωx +1
4=
√3
4
sin2ωx −12⋅
1+cos2ωx
2
+14=12(√3
2sin2ωx −
12
cos2ωx)
=1
2sin(2ωx −π
6)，
令f(x)=14，求得sin(2ωx −π6)=12，∴2ωx −π6=2kπ+π6，或2ωx −π6=2kπ+5π6
，k ∈Z ．
求得x =
2kπ+π
3
2ω
，或x =
2kπ+π2ω
，k ∈Z ．
令k =0，可得x =π
6ω，或 x =π
2ω．
由于满足f(m)=f(n)=1
4(m,n ∈R,m >n) 的m −n 的最小值是π
3． ∴π
2ω−π
6ω=π
3，ω=1，故f(x)=1
2sin(2x −π
6). 令2kπ−π
2≤2x −π
6≤2kπ+π
2，k ∈Z ， 求得kπ−π
6≤x ≤kπ+π
3，k ∈Z ，
可得函数的增区间为[kπ−π
6,kπ+π
3]，k ∈Z ． (2)在[0,5π
12]上，2x −π
6∈[−π6,
2π3
]，sin(2x −π6)∈[−12,1]，f(x)∈[−14,1
2]. 故函数f(x)的最大值为1
2，最小值为−1
4．
【解析】(1)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数图象和性质，求出ω，可得f(x)的解析式，从而求出它的增区间．
(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出f(x)在[0,5π
12]的最大值和最小值． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19.
【答案】解：(1)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∵sinB +sinC =2sinA ，3bsinC =4csinA ，
∴b +c =2a ，且3b =4a ，求得b =4a
3
，c =2a 3
，
∴cosB =
a 2+c 2−
b 2
2ac
=−1
4．
(2)证明：设∠ABD 的角平分线与直线AC 交于点E ，可得∠ABE =∠DBE =π
3， ∵
S △ABE +S △DBE
S △ABD =1，即
12⋅AB⋅BE⋅sin π3+12⋅BE⋅BD⋅sin π3
12⋅AB⋅BD⋅sin 2π3
=1，
∴BE
BD +BE
AB =1， ∴
1BA
+
1BD
=
1BE
．
【解析】(1)由题意利用正弦定理、余弦定理求得cos∠ABD 的值，可得∠ABD 的值． (2)由题意可得∠ABE =∠DBE =π
3，
S △ABE +S △DBE
S △ABD
=1，化简可得要证的结论．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，用分割法求三角形的面积，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则由已知{a 42
=25a 2a 6=2(a 1+a 3)可得：{(a 1+3d)2=25(a 1+d)
d =3a 1
，
解得a 1=1，d =3或a 1=d =0(舍去)， 所以a 1=1，d =3，
则a n =1+3(n −1)=3n −2，n ∈N ∗，
(2)在数列{b n }中，a k+1前共有1+2+3+......+k +k =k(k+3)2
项，
因为k ∈N ∗，令
 k(k+3)
2
≤50，解得k ≤8，k ∈N ∗，
当k =8时，在数列{b n }中，a 9之前共有44项，
S 50=(a 1+a 2+.....+a 9)+(2+2⋅22+....+8⋅28+5⋅29) =117+(2+2⋅22+.....+8⋅28)+5⋅29，
令T =2+2⋅22+......+8⋅28①，则2T =22+2⋅23+.......+8⋅29②， 则−T =2+22
+......+28
−8⋅29
=2(1−28)1−2
−8⋅29=−7⋅29−2，
所以T =7⋅29+2，
所以S 50=117+7⋅29+2+5⋅29=6263．
【解析】(1)先设等差数列的公差为d ，再利用已知建立方程组，进而求出等差数列的首项与公差，即可求解；(2)先求出，a k+1前共有
k(k+3)2
项，再令
 k(k+3)
2
≤50，解得k ≤8，
k ∈N ∗，然后写出数列的前50项的和的关系式，利用错位相减法求和即可求解． 本题考查了等差数列的通项公式以及求和公式，涉及到利用错位相减法求和，考查了学
生的运算求解推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)需新建桥墩(1200
x
−1)，
∴y=500(1200
x −1)+1200
x
×10x[ln(x+12)−3]
=600000
x
−500+12000ln(x+12)−36000
=12000[50
x
+ln(x+12)]−36500，x∈(0,1200]；
(2)令f(x)=50
x
+ln(x+12)，x∈(0,1200]，
f′(x)=−50
x2+1
x+12
=x2−50x−600
x2(x+12)
，
令f′(x)=0，解得x=60或x=−10(舍去)，
当x∈(0,60)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(60,1200]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
∴f(x)min=f(60)，
∴y min=12000(5
6
+ln72)−36500
=12000×5
6
+12000(3ln2+2ln3)−36500
≈24740，
此时需新建(1200
60
−1)=19个桥墩，
∴需新建19个桥墩才能使y最小，y的最小值为24740万元．
【解析】(1)需新建桥墩(1200
x −1)，根据题意有y=500(1200
x
−1)+1200
x
×10x[ln(x+
12)−3]=12000[50
x
+ln(x+12)]−36500，x∈(0,1200]；
(2)令f(x)=50
x
+ln(x+12)，x∈(0,1200]，利用导数求其最小值从而可求y的最小值．本题考查了函数实际模型的应用，学生的数学运算能力，利用函数单调性解最值的方法，属于基础题．
22.【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，
f′(x)=ln(x+1)+x−1
x+1
，
∴f′(1)=ln2，
∴k=ln2，b=−ln2；
(2)证明：令F(x)=f(x)−xln2+ln2=(x−1)ln(x+1)−xln2+ln2，
则F′(x)=ln(x+1)+x−1
x+1
−ln2，
令φ(x)=ln(x+1)+x−1
x+1−ln2，则φ′(x)=1
x+1
+2
(x+1)2
>0，
∴F′(x)单调递增，又F′(1)=0，
∴当x∈(−1,1)时，F′(x)<0，函数F(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，函数F(x)单调递增，
∴F(x)min=F(1)=0，
∴F(x)≥0，
∴f(x)≥xln2−ln2，
(3)证明：g(x)=f(x)+m(m∈R)的两个零点x1，x2，即为f(x)=−m的两根，不妨设x1<x2，
由题知，曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=xln2−ln2，
令ℎ(x)=xln2−ln2，即ℎ(x)+m=0即ℎ(x)=−m的根为x2′，则x2′=1−m
ln2
，
由(2)知，f(x2)≥ℎ(x2)
∴ℎ(x2′)=f(x2)≥ℎ(x2)，
∵ℎ(x)单调递增，
∴x2′≥x2，
设曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=t(x)，
∵f′(0)=−1，
∴t(x)=−x，
设方程t(x)+m=0即T(x)=−m的根为x1′，则x1′=m，
令T(x)=f(x)−t(x)，
由(2)同理可得T(x)≥0，即f(x)≥t(x)，
f(x1)≥ℎ(x1)
∴ℎ(x1′)=f(x1)≥ℎ(x1)，
又f(x)单调递减，
∴x1′<x1，
∴∣x2−x1∣=x2−x1≤x2′−x1′=1−m−m
ln2
．
【解析】(1)f′(x)=ln(x+1)+x−1
，可得f′(1)=ln2，可求切线方程，从而可求k，b的
x+1
值；
−ln2，再令(2)F(x)=(x−1)ln(x+1)−xln2+ln2，求导F′(x)=ln(x+1)+x−1
x+1
−ln2，再求导可得当x∈(−1,1)时，F′(x)<0，函数F(x)单调φ(x)=ln(x+1)+x−1
x+1
递减，当x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，函数F(x)单调递增，从而可得F(x)min=F(1)=0，可证结论成立；
(3)g(x)=f(x)+m(m∈R)的两个零点x1，x2，即为f(x)=−m的两根，不妨设x1<x2，
，可证令ℎ(x)=xln2−ln2，即ℎ(x)+m=0即ℎ(x)=−m的根为x2′，则x2′=1−m
ln2
x2′≥x2，同理设方程t(x)+m=0即T(x)=−m的根为x1′，则x1′=m，证明x1′<x1，从而可证结论成立．
本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识．。