63常用统计量的分布

§6.3常用统计量的分布
一、样本均值的分布
1、单个正态总体下的样本均值的分布
2、两个正态总体下的样本均值的分布
3、非正态总体下的样本均值的近似分布二、
-分布1、分布定义2、
分布的性质3、分布的典型模式4、分布的上α分位点2χ2χ2
χ2
χ2χ三、t-分布
1、t 分布的定义
2、t(n)的性质
3、t(n)的典型模式
4、t(n)分布的上α分位点
四、F-分布
1、F分布的定义
2、F分布的性质
3、F分布的典型模式
4、F分布的上α分位点
五、正态总体样本均值与样本方差的分布
1、单个正态总体下样本均值与样本方差的分布
2、两个正态总体下样本均值差与样本方差比的分布
)
2.3(1)(1)1()(1
)(1)1()(,,,2,1,)(,
)(,,,1)
1.3(),(~1
1,,,,),,(1.312
2
2121112
212
12
1
212
n n n
X D n X n D X D n n
X E n X n E X E n i X D X E X X X X n
N X n X n
X n X X X X X N X n i i n i i n i i n i i i i n n
i i n
i i n σσµ
µσµσµσµσµ=
⋅====⋅========∑∑∑∑∑∑======于是有
相互独立同分布，故与：由于注的正态分布，即
，方差为
服从均值为值的一个样本，则样本均为来自服从正态总体设总体定理本均值的分布
、单个正态总体下的样一、样本均值的分布
"""
这点处。

望取值几乎集中在数学期时且当高的集中程度远比总体要
的取值于即倍的方差的的方差却只是
但有相同的数学期望与由上述可知注µµX n X n
X X X X ,,,1
,,:2∞→2
12(1,0.2),,,,,{0.9 1.1}0.95?
n X N n X X X X P X n ≤<≥"例 设总体服从正态分布从中抽取容量为的样本欲使样本均值满足不等式
试求样本容量最小应为取多大2
1
1
0.2
:~(1,)1.110.910.95{0.9 1.1}0.20.2()()2()1222
n
i i X X N n
n
P X n n n n n
==
⎛⎞⎛⎞
−−≤≤<=Φ−Φ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=Φ−Φ−=Φ−∑
解由题设知故
0.951()0.975; 1.96,15.3664222
,16n n n n +Φ≥=≥≥即查表得故因此样本容量最少应取。

)
4.3()
1,0(~)
()3.3(),(~,),,,(),,,(),,(~),,(~2.322
2
2
1
212
2
2
1
2121212
222
11N n
m
Y X n
m
N Y X Y X Y X Y Y Y X X X Y X N Y N x n n σσµµσσµµσµσµ+
±−±+
±±即
分别为其样本均值，则单随机样本，
的简与为分别来自与相互独立，
与设有两个正态总体定理本均值的分布
、两个正态总体下的样""
(20,3)10,150.3N 例 试求总体的容量分别为的两独立样本均值差的绝对值大于的概率。

6744
.0]6628.01[2)]42.0(1[2)]23.0(1[2]1)23.0(2[12103.02103.01}
3.03.0{1}
3.0{1}3.0{)
21
,0()15
3103,0(~)3.3()
15
3
,20(~)103,20(~,,:=−=Φ−=Φ−=−Φ−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−Φ−⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−Φ−=≤−≤−−=≤−−=>−=+−Y X P Y X P Y X P N N Y X N Y N X Y X 所求概率式得
由则
为设两独立样本均值分别解
限定理可证。

注：本定理利用中心极即
较大时，近似得有
的一个样本，当为来自总体方差为望为为任意总体，其数学期设定理均值的近似分布
、非正态总体下的样本)
6.3()1,0(~)5.3(),(~,,,,)(,)(3.332
212
N n
X n
N X n X X X X X D X E X n σµ
σ
µσµ−=="
2(),(),,,,{0.1}0.95
X E X D X X n X n P X µσµσ==−<≥例 若总体的期望方差任取的容量为的样本样本均值为试问多大时有
385
,
96.11.0975
.0)1.0(95.01)1.0(295
.01.0}1.0{),,
(,)5.3(:2
≥≥≥Φ≥−Φ≥⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<−=<−n n n n n n X P X P n
N X 即查表知得
故
近似服从正态分布式由解σµσµσ
µ。

分布，记为的服从自由度为则称的概率密度为
若随机变量定义分布定义
、分布二、)(~)7.3(000221
)(1.312
22
1222
2
n X n X x x e x n x f X x n n
χχχχ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤>⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ=−−−
有关。

状与的密度图形如下，其形。

分布的分布实际上为参数是注n n n n n )(21,221,2)(:2
2
χχ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛ΓΓ）
（）分布性质得
，（由且相互独立，
设具有可加性分布对参数）（的数字特征
）（分布的性质、2112
22
2122
2221212122
2
22
~)(~),(~)(22)]([)]([)(12n n n n n n n n D n n E n ++Γ==χχχβαχχχχχχχχχ0
x
x 2(x;n)10
20
300.20
0.10
n=1n=4n=10
n=20。

分布的服从自由度为，则随机变量
正态分布准相互独立，且都服从标若随机变量定理分布的典型模式
、)()
8.3()1,0(,,,4.332
2
1
2
2212
n n X N X X X n
i i
n
n χχχχ∑=="1
)(2)
()(}{)(,00
)(,0}{)(),1,0(,,,,,2,1:2
2
212
−Φ=−Φ−Φ=≤≤−=≥=≤≤==z z z z X z P z F z z F z z X P z F X N X X X n
i X i i i i i i n i 时当时当的分布函数为
令相互独立同因的分布
先求证""
)
(~,)
1(~,1)7.3(0
002121)(2)(2
2
2
22
12
2
2
2
2
2
2
2
n X X X n X X z z e
z
z z z f X n i i z i i χχχχπ
+++⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=⋅Φ=−"即得
的可加性分布对参数再由即
分布的服从自由度为式易知比较的概率密度为
故2
1292
2
2
1234567892
(,,,)(0,2),,,,()()(),X X X N a b c X a X X b X X X C X X X X χ=++++++++"例 设是来自总体的简单随机样本求系数使
服从分布并确定自由度。

10
/1,12/1,8/1,3,)3(~16128)1(~16)1(~12)
1,0(~12
)
1(~8)1,0(~8)16,0()2222,0(~)
12,0()222,0(~)
8,0()22,0(~),2,0(,,,,:2
2
2
98762
5432
212
2
98762
2
5435
4322
212
1222298762
2
2
5432
2
212921====⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++=++++++=++++=++c b a n X X X X X X X X X X X X X X X X X N X X X X X N X X N N X X X X N N X X X N N X X N X X X 分布服从即所以同理从而
故且同正态分布相互独立由于解χχχχχ"
f(x)
y
0)
(2
n αχα
)
()()()
9.3()}()({,102.342
2
2
2
2
如图所示分位点。

分布的上为的称满足条件
，对于给定的正数定义分位点
分布的上、αχχα
χχαααχααn n n n P =><<2
2
2
20.05
0.95
1() 3.9(26)38.885(26)15.379
n x
x
χχ==注：由于的密度比较复杂，直接用它计算概率较为困难，故根据（）式，造成分布表以供查阅。

例如
22
0.05
1
(50) 1.6451001)67.2206
2
χ
≈+
−=例如（22
0.95
1(50) 1.6451001)34.4855
2
χ
≈−+−=（2
2
2
2
2
24545()1()21)
(3.10)
2
(0,1)n n x x n n z n z N ααααχαχα≤>≈+−注：分布表一般只列到，对于时，由中心极限定理，可得分布的上分位点的近似值为（其中为的上分位点。

其密度函数图形如图。

记作分布，的服从自由度为则称的密度函数为若随机变量定义分布的定义
、分布三、),
(~)
11.3()
(1221)(3.312
12n t X t n X x n x n n n x f X t t n +∞<<−∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+Γ=−+−πx
)
n ;x (t ∞=n 10=n 5=n 1
=n 0
)
13.3(2
)]([0
)]([)(3)
12.3(21)(lim )(2)()1,0()
()()(1
)(22
)(2−=
==
=−−∞→n n
n t D n t E n t e x f n t n t N x f x f y n t n t x n t n 分布的数字特征
）（分布，即的极限分布为标准正态）（。

点较标准正态曲线较高曲线的峰顶要低，两端分布密度密度曲线十分相近，但且与标准正态分布轴对称，即有分布的密度曲线关于）（的性质
、π。

分布，记为的服从自由度为相互独立，则随机变量
与且设定理的典型模式
、)(~)
14.3(),(~),1,0(~5.3)(32
n t T t n n
Y X T Y X n x Y N X n t =
12512222
345(0,1),(,,,),()X N X X X X C C X X X X X t +++"例 设总体服从标准正态分布样本来自总体试求常数，使统计量
服从分布。

易见故
故且同标准正态分布相互独立因为解2
3)
3(~3
2
)
3(~)3,2,1)(1(~)1,0(~2
)
2,0(~)1,0(,,,,:2
52
42
32
12
2
52
42
32
2
2
121521=
+++++=++C t X X X X X x X X X i x X N X X N X X N X X X i "
注意区别使用。

亦有的采用双侧表单侧表分布表有的采用
故分位点分布的双侧为称满足条件
若注时即当近似分位点的上标准正态分布用时当的值分布表直接查得由时当注故有
分布的对称性由于注分位点。

（见图）分布的上为的称满足条件，
对于给定的正数定义分位点
分布的上、,,)(,)()()
18.3()}()({)(:3)
17.3()(,
45),()1,0(,45;)()(,45:2)16.3()
()(,)(:1)()()
15.3()()({,104.3)(422212
n t n t n t n t n t P n t z n t n n t z N n n t n t n n t n t n t n t n t n t n t P n t αα
ααα
ααααααα
αααααααα=>≈>>≤−==><<−x
)t (f α
其密度曲线见图。

记为称为第二自由度称为第一自由度其中分布的
和服从自由度为则称的密度函数为若随机变量定义分布的定义
、分布四、)(~,,,)
19.3(0
001222)(5.3121212122112
22121212
1
1
1
n n F X n n F n n X x x x n n x n n n n n n x f X F F n n n n ⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+Γ=−+−−x
)
n ,m ;x (f ∞==n ,m 105010==n ,m 1010==n ,m 4
10==n ,m 0
4
)
4()2()
422()],([0
2
)],([2),(1
),(12,,,,,,:222
21212
221222
2121212121>−−−+=>−=
n n n n n n n n n F D n n n n n F E F n n F F
n n F F F F F F n n n n F 分布的数字特征
）（分布。

服从分布，则服从分布，即若分布的倒数也服从）（分布的性质
、分布近于对称。

增大时当参数是它两个其分布曲线向右偏斜分布是不对称分布注。

分布的服从自由度为即则
分布，即的和由度为相互独立，分别服从自和设随机变量定理分布的典型模式
、),(,)
20.3()
,(~),(~),(~6.332121212
1
22
12
2
21n n F F n n F n n F n Y n X F n x Y n x X x n n Y X F =⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<−+4)()(,),0(~,8.32
212
212
21X X X X P N X X X 试求概率
的一个样本是取自总体设例σ)1,0(~2)1,0(~2)2,0(~)2,0(~),,0(,:2
12
12212
212
21N X X N X X N X X N X X N X X σ
σ
σσσ−+−+故
均服从正态分布相互独立与因为解
70
.022
)()1(12)1(1
}4{0
00)1(1)(,)17.3()1,1(~2)(2)()()(6.3,)1(~2)1(~24.340
4
2
1212
2212
22122122121212
2
2122
21==+=+=
<⎪
⎩⎪
⎨
⎧
≤>+=−+=−+=−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∫∫arctg y d y dy y
y Y P y y y y y f Y F X X X X X X X X Y X X X X x X X x X X Y π
πππσσσσ故的概率密度为
式知即由知故由定理相互独立与易证知
由定理
121212112214 3.601,{(,)(,)}(3.21)(,)1
(,) 3.22(,)
F P F n n F n n F n n F F F n n F n n F ααααααααα−<<>==
、分布的上分位点
定义对于给定的正数，称满足条件
的为分布的上分位点。

（见图）
注：由分布性质可知（）
利用此式计算表中没有列出的某些数值。

f(y)
y
),(21n n F αα
∑=−−−−−−n i i
n n X
n t n
S
X S X n S
n N n
X N X X X 1
2
2
20
2
02
22
2
21)
(~)(1
5)1(~43)
1(~)1(2
)
1,0(~1
),(,,,7.31χµσ
µχσ
σ
µ
σµ相互独立与的样本，则有
是取自正态总体设定理均值与样本方差的分布
、单个正态总体下样本与样本方差的分布五、正态总体样本均值"
2
12102
22
1
(,),,,,,1{0.26() 2.3}
10
n
i
i X N X X X X P X
µσσ
µσ=≤−≤∑"例 设服从正态分布是的样本试求下列概率98
.001.099.0}23)10({}6.2)10({}]
6.2)10({1[}]23)10({1[}23)10(6.2{}236.2{}3.2)(10126.0{)10(~10,,2,1)1,0(~)
,(~),,(~)1(:2
22
2210
12
2
1
222
10
12
2
2
=−>−>=>−−>−=≤≤=≤⎥⎦⎤⎢⎣
⎡−≤=≤−≤⎥⎦⎤⎢⎣
⎡−=−∑∑∑===查表故所以故因为解χϕχχχσµσµσχσµσµ
σµσµP P P p P X P X P X i N X N X N X i i n i i i i i i "
2
122
2
2
,,,(,),,,:
(1)150.95n X X X N S n n S P µσσ⎧⎫
−≤≥⎨⎬⎩⎭
"例 设是来自正态总体的一个样本为样本方差试求样本容量的最小值使其满足概率不等式。

即故分布表得查即故知
由定理解9,8105.0}507.15)8({05.0}15{95.0}15{)
1(~)1(7.3:2
2
2
2
2
2
2
2
≥≥−=>≤>≥≤−−=
n n P P P n S
n χχχχχσ
χ
)
1,1(~32
)1()1()2(~11)
(2)
1,0(~)
(1
),(),(,,,,,,8.32212
2
2
221
210
212
222112
212
121210
2
2
2
1
2
1
210
2
2221121212
1
−−=
−+−+−=
−++
−−−=
=+
−−−n n F S S F n n S n S n S n n t n n S Y X T N n n Y X N N Y Y Y X X X w
w n n σσµµσσσσµµσµσµ时，当立，则有的样本，且它们相互独和分别为取自正态总体
与设定理分布均值差与样本方差比的、两个正态总体下样本""
)
,(~)
()(4
211
2
222
112
12220
2
1
n n F X n X n n i i
n i i
∑∑==−−µσµσ122121212
2
2
212122
2
22
1122
121
2,,,,,,(,)(,),,,,,()()
(1)(1)(2)
n n X X X Y Y Y N N X Y S S X Y X Y n S n S n n n n µσµσαβαµβµαβ−+−⎛⎞
−+−+⎜⎟+−⎝⎠""例 设与分别是正态总体和中抽取的样本与分别表示和的样本均值与方差和是两个固定的实数试求
的分布。

，有
，定的实数且相互独立，故对于固故解：因为βασ
µσ
µσ
µσ
µ)
,
0(~),,
0(~),,
(~),,(~2
2
21
2
12
2
21
2
1n N Y n N X n N Y n N X −−22
22
121
2
2
2
2121
2
122
2
1
2
~(0,),~(0,)
~(0,())
~(0,1)
X N Y N n n X Y N n n X Y U N n n ασ
βσ
α
µβ
µαβαµβµσα
µβµαβσ
−−−+−+
−+−=
+
（）（）（）（）（）（）
22
2
2
11
22
122
2
(1)(1)~(2)
w w n S n S S n n U S χσ
−+−=
+−又且与相互独立，故
1222222
1211221212
12122
(1)(1)()
2~(2)~(2)w X Y U T S n n n S n S n n n n t n n T t n n αµβµαβ−+−=
=
+−−+−++−+−+−（）（）
即。