概率论自测题解

《概率论》课程自测题及其解答
自测题（第一章）
一、选择题（毎小题3分,共15分）：
1. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A 表示“选出的学生是男生”，B 表示“选出的学生是三年级学生”，C 表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC 的含义是（ ）.
（A ）选出的学生是三年级男生；
（B ）选出的学生是三年级男子篮球运动员； （C ）选出的学生是男子篮球运动员； （D ）选出的学生是三年级篮球运动员；
2. 在随机事件C B A ,,中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）.
（A ）C B C A
（B ）C AB （C ）BC A C B A C AB
（D ）C B A
3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设A 为甲胜，B 为乙胜，则甲胜乙输的概率为（ ）.
（A ）6.06.0⨯ （B ）4.06.06.0⨯- （C ）4.06.0- （D ）0.6 4．下列正确的是（ ）.
（A ）若)()(B P A P ≥，则A B ⊆ （B ）若B A ⊂，则)()(B P A P ≥
（C ）若)()(AB P A P =，则B A ⊆ （D ）若10次试验中A 发生了2次，则2.0)(=A P 5．设A 、B 互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误的是（ ）.
（A ）0)|(=A B P （B ）0)|(=B A P （C ）0)(=AB P
（D ）1)(=B A P
二、填空题（毎小题3分, 共15分）：
1．A 、B 、C 代表三件事，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 ． 2．已知)()(),()()(,16
1
)(B A P B A P B P A P AB P B A P ===
，则)(A P = ． 3．A 、B 二个事件互不相容，1.0)(,8.0)(==B P A P ，则=-)(B A P ． 4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为7.0,5.0,4.0，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 ．
5．设A 、B 、C 两两相互独立，满足2
1
)()()(,<
==Φ=C P B P A P ABC ，且已知16
9
)(=
++C B A P ，则=)(A P ．
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“ ”，毎小题2分,共10分）:
1. 设A 、B 为任意两个互不相容事件，则对任何事件AC C ,和BC 也互不相容． [ ]
2．概率为零的事件是不可能事件．
[ ]
3. 设A 、B 为任意两个事件，则)()()(AB P A P AB A P -=- ． [ ]
4. 设A 表示事件“男足球运动员”，则对立事件A 表示“女足球运动员” ．[ ]
5. 设0)(=A P ，且B 为任一事件，则A 与B 互不相容，且相互独立 ．[ ] 四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概
率．
五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为4
1
,
31,51若让他们
共同破译的概率是多少？ 六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率． 七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品 分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的 零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率． 八、（10分）设2
1
)(,31)(==
B P A P ． 1. 若Φ=AB ，求)(A B P ；2. 若B A ⊂，求)(A B P ；3. 若8
1
)(=
AB P ，求)(A B P ． 九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．
十、（8分）设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，试证事件A 与B 相互独立．
自测题解答（第一章）
一、解：1. 由交集的定义可知，应选（B ） 2. 由事件间的关系及运算知，可选（A ）
3. 基本事件总数为4
8C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数
为1
5C =5，故P (A )=
48
5
C ，故应选（
D ）。

4. 由题可知A 1、A 2互斥，又0<P (B )<1，0<P (A 1)<1，0<P (A 2)<1，所以 P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)
故应选（C ）。

5. 因为A 、B 互为对立事件，所以P (A +B )=1，P (AB )=0，又P (A )0>，P (B )>0， 所以B =A ，因而P (B |A )=P (A |A )=1，故选（A ）
二、解：1. AB +BC +AC
2. ∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )
∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6
3. A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8
4. 设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有
一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++)
=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36
5. 甲产品滞销或乙产品畅销。

三、解：1. 正确
2. 不正确
3. 正确
4. 不正确
5. 不正确
四、解：设A 表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察
每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，
而事件A 所包含的形式有12
12P
种，则
121212
12
)(P A P ==0.000054。

五、解：设A i 表示“第i 人能译出密码”，i =1, 2, 3，A 1，A 2，A 3相互独立，A 表示“密码译
出”，则321A A A A ⋅⋅=
∴ P (A )=1–P ()()()(1)(1)321321A P A P A P A A A P A -=-= 5
3)411)(311)(51
1(1=
----= 六、解：设A 表示通过检验认为该产品为正品，B 表示该产品确为正品
依题意有
%8.9905
.004.098.096.098
.096.0)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯⨯=+=
B A P B P B A P B P B A P B P A B P
七、解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2
分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3) =
15
7402431301231502031=⋅+⋅+⋅=0.467
P (21A A )=
39
2340243129113012314919502031)|()(3
1
2
1
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑=i i i
B A
A P
B P =0.220
八、解：1. P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=
2
1 ∴ P (B A )=P (B )=2
1 2. ∵ P (A )=
31，由A ⊂B 知：P (AB )=P (A )=3
1 ∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=21–31=6
1
3. P (AB )=81 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=21–81=8
3
九、解：设i H 表示报名表是第i 个地区考生的(i =1, 2, 3)，A j 表示第j 次抽到的报名表是男生
表(j =1, 2)，则 P (H 1)=P (H 2)=P (H 3)=3
1
P (A 1|1H )=
107； P (A 1|H 2)=158； P (A 1|H 3)=25
20 (1) p =P (1A )=
90
29
)255157103(31)|()(3
1
1=++=∑=i i
i
H A
P H P (2) 由全概率公式得 P (A 2|H 1)=107，P (A 2|H 2)=158，P (A 2|H 3)=25
10 P (1A A 2|H 1)=307，P (1A A |H 2)=308，P (1A A 2|H 3)=30
5
P (A 2)=
90
61
)2520158107(31)|()(3
1
2
=
++=∑=i i i
H A
P H P P (1A A 2)=
92
)05308307(31)|()(3
1
21=++=∑=i i
i H A A P H P 因此，6120
90
6192
)()()|(22121=
===A P A A P A A P q 十、证明： ∵ 0<P (A )<1， 0<P (B )<1
∴ P (A |B )=
)
(1)
(1)()()|(,)
()
(B P B A P B P B A P B A P B P AB P -+-=
=
)
(1)()()(1B P AB P B P A P -+--=
又 ∵ P (A |B )+P )|(B A =1
∴
)
()
()()(1)()()(1B P AB P B P B P AB P B P A P -=
-+-- 化简，得： P (AB )=P (A )P (B )
∴ 事件A 、B 相互独立
自测题 （第二章）
一、选择题（每小题3分, 共15分）:
1．设随机变量X 的分布律为),2,1(}{ ===k b k X P k λ，则（
）.
（A ）10<<λ，且1
1--=λb （B ）10<<λ，且1
-=λb （C ）10<<λ，且11
-=-λb
（D ）10<<λ，且1
1-+=λb
2．设随机变量X 的密度函数为x
x Ae x f 22
)(+-=，则（ ）.
（A ）
π
e
（B ）
π
e 1 （C ）
π
e 1
（D ）
π
e 2
3．设随机变量X 的概率密度和分布函数分别是)(x f 和)(x F ，且)()(x f x f -=，则对任意实数a ，有=-)(a F （
）.
（A ）
)(21a F - （B ）)(2
1
a F + （C ）1)(2-a F （D ）)(1a F -
4．设相互独立的随机变量Y X ,具有同一分布，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是（
）.
（A ）（Y X ,）
（B ）Y X +
（C ）Y X -
（D ）2
X
5．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使
)()()(21x bF x aF x F -=是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）.
（A ）52
,53-==
b a （B ）32
,32==
b a （C ）2
3
,21=-=b a
（D ）2
3
,21-==b a
二、填空题（每小题3分, 共15分）: 1．二维随机变量（Y X ,）的联合分布律为:
则α与β应满足的条件是 ，当Y X ,相互独立时，α= ．
2．二维随机变量（Y X ,）的联合密度为：])()[(212
122
221121),(σμσμσπσ-+--=y x e
y x f ，则X
的边缘概率密度为 ．
3．连续型随机变量X 的概率密度为其它1
0,
0,)(2<<⎩⎨⎧=x kx x f ，则常数=k ．
4．设)02.0,10(~2
N X ，已知Φ(2.5)=0.9938，则=<≤}05.1095.9{X P ．
5．设Y X ,是相互独立的随机变量，),3(~),,2(~22σσ-N Y N X ，且
95.0}7654.8|12{|=≤-+Y X P ，则σ= ．
三、（12分）随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=4||,04||,cos )(π
πx x x A x f ，试求（1）系数A ；（2）X 的分布函数；（3）X 落在⎪⎭
⎫
⎝⎛6,
0π内的概率． 四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5=θ的指数分布．设
备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h 便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数．
五、（10分）随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧≤>=-0
,
00)(,
x x e x f x ；求2
X Y =的概率密度． 六、（12分）随机变量X 和Y 均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立．
1．写出二维随机变量（Y X ,）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求}2
3{≤+Y X P ． 七、（12分）已知随机变量Y X
与的分布律为:
且已知1}0{==XY P ．
（1）求（Y X ,）的联合分布律；（2）
Y X 与是否相互独立？为什么？ 八、（12分）设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:
⎩⎨
⎧≤≤=其它,01
0,1)(x x f x ⎩⎨
⎧≤>=-0
,
00
,
)(y y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度函数．
自测题解答 (第二章)
一、选择题 1解 ∵
11}{21
=-=++==∑∞
=λ
λ
λλb
b b k X P i
∴ 11
-=-λb 故选(C )
2解 ∵
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f 即：b
a
x d e a bx -=⎰
+∞0
=1
∴ b =-a
又∵f (x )=a e bx ≥0 ∴a >0 故选(D )
3解 ∵X ～N ),(2σμ
∴ f (x )=
2
22)(21σσ
πu x e
--
由4个结论验得(B )为正确答案
4解 ∵}2,2{}1,1{)(==+====Y X P Y X P Y X P
=9
5
32323131=⨯+⨯
故选(D ) 5解 因为F (x )必须满足条件0≤F (x ) ≤1，而只有取5
2
,53-==b a 时，才会使0≤F (x ) ≤1满足,故选(A )
二、填空题 1解 ∵
∑∑l
j
j
i P
=1 ∴ 3.02.0+++βα=1 即有βα+=0.5
当X ，Y 相互独立 ∴P (X =1, Y =1)= P (X =1)P (Y =1) ∴ a =(a +0.2)(a +β) ∴a =0.2
2解 ∵X f (x )=
y d e
y d y x f y x ])()[(212
122
221121),(σμσμσπσ----∞
+∞
-∞
+∞
-⎰
⎰
=
=
1
2
12)(1
21σμσπ--x e
3解 ∵
1)(=⎰
+∞
∞
-x d x f ∴3
1
2k dx kx =
⎰=1 ∴k =3
4解 ∵ X ～N (10, 0.022)
∴ P {9.95≤X <10.05}=P }5.25.2{02.01005.1002
.010
95.9≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧-<≤-X P X
=29876.019938.021)5.2(=-⨯=-φ
5解 ∵X , Y 相到独立 ∴f (x , y )=f X (x )f Y (y ) 三、解 (1) ∵
⎰
+∞
∞
-x d x f )(=1, 即A A xdx A 2|sin cos 44
44
==-
-
⎰ππππ=1
∴ 2
2=
A (2) 当x <-
4
π
时, F (x )=0 当|x |≤
4π时，x x d x x d x f x F x x sin 22
21cos 2
2)()(4+===⎰⎰-∞-π
当x ≥4π时，⎰⎰-∞-==44
cos 22
)()(ππx d x x d x f x F x =1 ∴ ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
≥
<≤-+
-
<=4
,
144,sin 2221
4
,0)(π
π
ππ
x x x x x F (3) 4
2cos 22)(6
6
===
⎰⎰
x d x x d x f P π
π
四、解：(1)∵X 可能的取值为0, 1, 2, 3
设Ai ={第i 个元件出故障) i =1, 2, 3
∴)()()()0(321A P A P A P X P ==
=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28
)()()()1(321321321A A A P A A A A A A P X P ++==
=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++ =0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P (X =2)=P ()()()321321321A A A P A A A P A A A ++=0.22
)()()()()3(321321A P A P A P A A A P X P ====0.03
∴ X 的分布律：
(2) 由(1)及分布函数的定义知 当x <0时，F (x )=0
当0≤x <1时，F (x )=P (X =0)=0.28
当1≤x <2时，F (x )=P (X =0)+P (X =1)=0.75
当2≤x <3时，F (x )=P (X =0)+P (X =1)+P (X =2)=0.97 当x ≥3时，F (x )=P (X =0)+P (X =1)+P X=2)+P (X =3)=1
∴ ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=31
3297.02175.02028.000
)(x x x x x x F 其图为
五、解：分别记X ，Y 的分布函数为F X (x )，F Y (y )
由于y =x 2≥0，故当y ≤0时，F Y (y )=0
当y =x 2>0时,有F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=P (-y ≤X ≤y )
=
y
y
x y
y
X e x d e x d x f -
---==⎰⎰
1)(0
将F Y (y )关于y 求导数，即得y 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧>='--='-=---其它00,21)()1()(y e y y e e y f y y
y Y
∴ ⎪⎩
⎪
⎨⎧>=-其它,00,21)(y e y y f y
Y
六、解：(1)由题意得：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,020,2
1)(x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它
,02
0,21)(y y f Y 又∵ X,Y 相互独立
∴ f (x , y )=f X (x )f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤其它
,
02020,
4
1
y x
(2) y d x d y d x d y x f Y X P y x y x ⎰⎰⎰⎰
≤
+≤
+=
=
≤+2
32
341
),(}2
3{
=
y d x d x ⎰
⎰
-230
230
4
1
=329
七、解：(1)由P (XY =0)=1，可见
P {X =-1, Y =1}=P {X =1, Y =1}=0
易见 4
1}1{}0,1{=-===-=X P Y X P 2
1}1{}1,0{=
====Y P Y X P 4
1}1{}0,1{=
-====X P Y X P )41
2141(1}0,0{++-===Y X P =0
于是，得X 和Y 的联合分布：
-1
0 1
4
1 0
4
1 0
2
1 0
(2) ∵P (X =0, Y =0)=0而P (X =0)P (Y =0)=
04
1
)4141(21≠=+⨯ ∴ P (X =0) P (Y =0)≠P (X =0, Y ≠0)
∴ X , Y 不独立
八、设Z 的密度函数为f Z (z )，则由卷积公式得
⎰⎰
-=-=====-=1
1
)()()(z
z Y t
x z Y Z t d t f x d x z f z f 令
a ) 当z <0时，f Y (t )=0，∴f Z (z )=0
b ) 当0≤z <1时，z -1<0，z ≥0
z z
t z z e t d e t d z f ----=+=⎰⎰
10)(0
1
c ) 当z ≥1时，z -1≥0
z z z z
z t Z e e e e t d e z f ------=-==⎰
)1()(11
综述：⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤-<=--1,)1(10,
10,0)(z e e z e z z f z z
Z 自测题（第三章）
一、选择题（毎小题3分, 共6分）:
1. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）.
（A ）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4
2．若)()(Y X D Y X D +=-，则（ ）.
（A ）X 与Y 独立
（B ）)()(Y D X D = （C ）0)(=+Y X D
（D ）X 与Y 不相关
二、判断题（每小题3分, 共12分）: 1．设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=
x x x f ,)
1(1
)(2π，则)(X E =0．
（ ） 2．设),0(~2σN X ，则对任何实数a 均有：),(~22a a N a X ++σ．（
）
3．设),(~2σμN X ，Y 从参数为λ的指数分布，则2222)(σμ+=+Y X E ．（ ） 4．设)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 独立．（ ）
三、填空题（每空2分, 共22分）:
1
则)(X E = ，)(X D = ，)(Y E = ，)(Y D = ，),cov(Y X = ，=XY ρ ．
2．设连续型随机变量X 概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它,
010,2)(x ax x f ，且31
)(=X E ，则
常数=a ．
3．设随机变量X 的数学期望5)(,.75)(==X D X E ，且05.0}|75{|≤≥-k X P ，则
≥k ．
4．对圆的直径作近似测量，测量近似值X 均匀分布于区间],0[a 内，则圆面积的数学期望是 ．
5．设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~),,2,1(~N Y N X ．令32++-=X Y Z ，则=)(Z D ．
6．设随机变量（Y X ,）在区域}||,10|),{(x y x y x D <<<=内服从均匀分布，则
=++)253(Y X E ．
四、（10分）设随机变量（Y X ,）的概率密度为：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,
01
0,20),(31
),(y x y x y x f
求数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X 及相关系数XY ρ．
五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量21,X X ，已知均值分别为21,μμ，风险分别为21,σσ，相关系数为ρ，现有资金总额为C （设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？
六、（10分）设随机变量X 的分布密度为⎩⎨
⎧≤≤-=其它,
01
0),1()(x x ax x f ，求
)(),(,X D X E a 和})(2|)({|X D X E X P <-．
七、（10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从密度为⎩⎨
⎧≤>=-0
)(x x e x f x
，的分布，求（1）X +Y 的分布密度；（2）求)(XY E ．
八、（10分）设随机变量X 服从泊松分布，6)(=X E ，证明：3
1}93{≥
<<X P ． 九、（10分）X 为连续型随机变量，概率密度满足：当],[b a x ∉时，0)(=x f ，证明：
2
)2
(
)(,)(a b X D b X E a -≤≤≤． 自测题解答（第三章）
一、选择题
1. 选（D ）；由题意知：X ～B (3, p )，而D (X )=3 · p · (1–p )=0.72 ∴ p =0.4。

2. 选（B ）；∵E (X )=dx x
a x
dx x xf a
a
⎰
⎰
-∞
+∞
--=2
2)(π，而被积函数为对称区间上的奇
函数，∴ E (X )=0。

二、判断题
1. [×]； ∵ E (X )=)1(121
1)1()(2
22x d x
dx x x dx x f x ++=+=⋅⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ππ
∞-∞=+=
∞+∞
-)1ln(21
2x π
不一定等于零。

2. [×]； ∵ E (X +a )=E (X )+a =a ，D (X )=D (X +a )=D (X )=2
σ ∴ X +a ～N (0,2
σ)
3. [√]； ∵ D (X )=E (X 2)–[E (X )]2，D (Y )=E (Y 2)–[E (Y )]2， 而 E (X )=μ，D (X )=2
σ，E (Y )=
λ
1
，D (Y )=
2
1λ(其中θλ1
=)。

∴ E (X 2+Y 2)=E (X 2)+E (Y 2)=D (X )+[E (X )]2+D (Y )+[E (Y )]2
=2222
222211
-++=⎪⎭
⎫
⎝⎛+++λσμλλμσ。

4. [×]； 参见教材例3.14。

三、填空题：
1. E (X )=1×⎪⎭⎫
⎝⎛+⨯+412124
1=4
7； D (X )=E (X 2
)–[E (X )]2
=2
22
4741212411⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯=16
3
；
E (Y )=41)1(21411⨯-+⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯=21；
D (Y )=
E (Y 2
)–[E (Y )]2
=2
22
2141)1(21411⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-+⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯=43；
cov(X , Y )=E (XY )–E (X )E (Y )=21472124110)1(41)2(⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯
-=8
1
-； =⋅-
=
⋅=
4
3
1638
1)
()(),cov(Y D X D Y X XY ρ31
-；
2. ∵ E (X )=
3
13
33
)2()(10
2310
=
+=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+⋅=
⎰⎰
∞+∞
-a x x a dx ax x dx x xf
∴ a =–2。

3. ∵ |x |f (x )为奇函数，
⎰
+∞
∞
-dx x f x )(||收敛，∴ E (X )=0。

4. 设Y =2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛X π表示圆面积，∵ X ～U [–a , a ]，E (X )=0，D (X )=32
a ，
E (Y )=E 34})]([)({4)(4
222
22a X E X D X E X ⋅=+==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ=122a π。

5. ∵ X 与Y 相互独立，∴ D (Z )=D (–Y +2X +3)=D (–Y )+D (2X +3)
=(–1)2D (Y )+4D (X )=1+4×2=9。

6. D (Y )=D (2X –3)=4D (X )=4{E (X 2)–[E (X )]2}=4(4–12)=12。

四、解：E (X )=dy y x x dx dy dx y x xf ⎰⎰⎰⎰+=∞+∞-∞
+∞-102
)(31),(
9
11
2131202=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
⎰dx x x ； E (Y )=
⎰⎰⎰⎰+=
∞+∞-∞
+∞
-20
1
0)(31),(dx y x y dy dxdy y x yf 95)22(31102
=+=⎰dy y y ；
∵ E (X 2)=⎰⎰⎰⎰+=∞+∞-∞+∞-102
202)(31),(dy y x x dx dxdy y x f x
9
16
)21(312023=+=⎰dx x x ，
∴ D (X )=E (X 2
)–[E (X )]2
=9
23
9119162
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-； 又 ∵ E (Y 2)=⎰⎰⎰⎰
+=
∞+∞-∞
+∞
-202
102)(3
1),(dx y x y dy dxdy y x f y =
18
7
)22(31102=+⎰dy y y ∴ D (Y )=E (Y 2
)–[E (Y )]2
=162
13
951872
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-； 又 ∵ E (XY )=
dy y x xy dx dxdy y x f xy ⎰⎰⎰⎰
+=
∞+∞-∞
+∞
-102
0)(3
1),( 3
2
312131202=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰dx x x ，
∴ cov(X , Y )=E (XY )–E (X ) · E (Y )=
81
1
9591132-=⋅-； 299
2
13
23811629162
1392381
1
)
()(),cov(-
=⨯⨯⨯-
=⋅-=
⋅=
Y D X D Y X XY ρ。

五、解：E (X )=
⎰⎰
⎰
∞+-+∞
+-∞
+∞
--=⋅=010
)(!
!)(x m x
m e d m x dx e m x x dx x x ϕ
dx e x m m x d e m e m x x m m x
x
m ⎰⎰
∞+-+∞
+-∞+-++=+-=0
10
1!)1()(!1!
=…=1))(1()
1(00
+=-+=+∞
+-+∞
-⎰
m e m dx e m x x ；
∵ E (X 2
)=)(!1!1)(0
2
0202
x m x m e d x m dx e x m dx x x -∞++-∞++∞
+-==⎰⎰⎰ϕ =dx x e m m x d e m e x m m x m x x m 10
2
002!2)(!1!1+∞+-+∞+-∞+-+⋅+=+-⎰⎰ =(m +2) (m +1)
∴ D (X )=E (X 2)–[E (X )]2=(m +2) (m +1)–(m +1)2=m +1。

六、解：由
16
312
1
)1()(1
321
0==
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰
∞
+∞
-a x x a dx x ax dx x f 得：a =6；这时，f (x )=⎩⎨
⎧≤≤-其它0
1
0)1(6x x x ，
E (X )=
2
1
413
16)1(6)(1
431
=
⎪⎭⎫
⎝⎛-=-⋅=⎰⎰∞
+∞-x x dx x x x dx x xf ； D (X )=E (X 2)–[E (X )]2=20121)1(62
1
02=⎪⎭
⎫
⎝⎛--⋅⎰dx x x x ；
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+<<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-5121512
15121})(2|)({|X P X P X D X E X P
=
50
5
1121312
16)1(6)(5
12103251
210
51
215
121+=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=-=+
++-⎰
⎰
x x dx x x dx x f 。

七、解：由于X 与Y 相互独立，
（1）应用卷积公式，有Z =X +Y 的分布密度
f Z (z )=
dx x z f x f Y X )()(-⎰
+∞
∞
-
考虑到f X (x )仅在x >0时有非零值，f Y (z –x )仅在z –x >0，即x <z 时有非零值，故当z >0时 f (z )=
z z z
z
z x z z
x
ze xe dx e dx e
e
-----===⋅⎰⎰0
)
(0
，
即 f (z )=⎩⎨
⎧≤>-0
z z ze z。

（2）E (XY )=E (X )·E (Y )=1×1=1（∵X 、Y 均服从λ=1的指数分布）。

八、证明：∵ X ～π(λ)，且E (X )=6=λ，则D (X )=λ=6
根据切比雪夫不等式，有
P {3<X <9}=P {|Z –6|<3}≥1–
313
62
=。

九、证明：∵ a ≤x ≤b ，1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f
∴ a =a
⎰⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-+∞
∞
-≤=≤dx x bf dx x xf X E dx x f )()()()(
b dx x f b ==⎰+∞∞
-)(。

容易证明 D (X )≤E {(x –c )2}，取c =
2
b
a + ∴ D (X )≤dx x f
b a x b a x E )(222
2⋅⎪⎭⎫
⎝⎛+-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰∞+∞-
≤dx x f b a b )(22⎰∞
+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰
∞
+∞
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-dx x f a b )(22
2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a b 。