离散数学（数论基础）

离散数学（数论基础）
整除性辗转相除
整除及其性质
定义5.1.1 ：设a和b是任意整数，若存在整数c，使得a=bc，则称a是b的倍数，b是a的因数。

或者称a被b整除，⽽b整除a。

记为b|a。

注意：
（1）任意整数整除0 ，特别0|0； 0=b·0；(c=0) 0=0·c(c可以是任意整数)，但0不能整除任意⾮零整数。

a=0·c(a≠0)
（2）1和（-1）整除任意整数。

a=1·a；a=(-1)·(-a)
推论：b|a，(b≠ 0) 当且仅当a被b除（或者a除以b,或者b除a）的余数为0。

整除的基本性质
性质1 若a|b，b|c，则a|c （传递性）
性质2 若a|b，则a|bc （b|bc⽤传递性证明)
性质3 若a|b，a|c，则a|b±c。

性质4 若a整除b1,…,bn, 则a| λ1b1+…+ λn b n，其中λi为任意整数。

性质5 若在⼀等式中，除某项外，其余各项都是a的倍数，则此项也是a的倍数
性质6 若a|b，b|a，则b=±a
性质7 设a=qb+c，则a，b的公因数与b，c的公因数是完全相同的
定义5.1.2
若d是a的因数也是b的因数，则称d为a，b的公因数。

若d是a，b的公因数，⽽a，b的任意公因数整除d，则称d为a，b的最⾼公因数。

a，b的最⾼公因数通常记为d=(a,b)。

例：8，12有公因数：±1, ±2, ±4, 其中， ±1|4, ±2|4, ±4|4，(注意正负）则4是8和12的最⾼公因数，记为4=(8, 12)。

-4也是
问题：0和0的最⾼公因数是多少？【答】：0
5.1.2 辗转相除
定理5.1.2 ：任意⼆整数a，b有最⾼公因数。

定理5.1.3：任意⼆整数a，b的最⾼公因数d可以表⽰为a，b的倍数和，即表为下⾯的形式：d=sa+tb 其中 s，t都是整数。

辗转相除法求最⾼公因式：
使⽤辗转相除法求两个数a，b的最⾼公因数并表⽰为它们的倍数和，需要使⽤的主要公式如下：
S0=0,S1=1,T0=1,T1=q1S k=q k S k−1+S k−2T k=q k T k−1+T k−2d=(−1)n−1S n a+(−1)n T n b
互质质因数分解
整数互质
定义5.2.1 ：若a，b除±1外⽆其它公因数，则称a和b互质。

结论：
1、a和b互质，必要⽽且只要a、b的最⾼公因数为1(通常只考虑+1)。

2、±1和任意整数(包括0)互质。

定理5.2.1 ：a和b互质，当且仅当1可表⽰为a和b的倍数和形式，即存在整数s和t使1=sa+tb。

定理5.2.2：若a和b互质，⽽a|bc，则a|c。

定理5.2.3：若b和a1，a2，…，an都互质，则b和a1a2…an互质。

定理5.2.4：若m1，m2，…，mk两两互质⽽都整除a，则m1m2…mk|a。

常⽤结论：2p-1和2q-1互质的充要条件是p和q互质。

质数与合数算术基本定理
定义5.2.2：⼀个正整数，如果不等于1⽽且除了⾃⼰和1没有其它正因数，则称其为⼀个质数(也称为素数)；否则称其为合数。

这样，正整数分为{1, 质数，合数}
结论：
1、质数p和a互质，必要⽽且只要p ∤ a
2、任意两个不同的质数互质
定理5.2.5 ：设p为质数，若p整除a1a2…an，则p整除a1，a2，…，an之⼀。

定理5.2.6 (算术基本定理)：任意正整数n（n≠ 1）恰有⼀法写成质数的乘积（不计因数乘积的顺序）。

推论1：任意整数(≠ 0，≠ ±1)恰好有⼀法写成下⾯的形式：±p1…p k，其中p1,…,p k都是质数。

推论2：任意整数(≠ 0，≠ ±1)恰好有⼀法写成下⾯的形式：±p1r1…p n r n，其中p1,…,p n是不同的质数，r1,…,r n是正整数。

定理5.2.7：质数⽆穷多。

合同⼀次同余式
合同及其性质
定义. 设a,b为⼆整数，m是任意⾮0整数。

若 m|a-b，则称a合同于b 模m。

记为：a≡b(mod m)
注意：
（1）合同为整除的另⼀种表⽰法，故整除的性质在此可⽤。

特别地，若b=0，则a≡0(mod m)表⽰的就是m|a。

（2）若m|a，则- m|a。

所以，若未指定m⽽⼀般地讨论模m合同时，总假定m是正整数。

（3）a≡b(mod m) iff 以m除a和b所得的余数相同
合同的基本性质：
性质1： a≡a。

性质2：若a≡b,则b≡a。

性质3：若a≡b，b≡c，则a≡c。

故合同是⼀种等价关系。

每⼀个等价类称为模m的⼀个剩余类。

性质4：若a≡b(mod m),c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)
性质5：若a≡b(mod m)，则a±k≡b±k (mod m)。

其中k为整数。

性质6：若a+b≡c(mod m)，则a≡c-b(mod m)。

性质7：若a≡b(mod m)，则ac≡bc(mod m)。

性质8：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)， n⩾0
性质9：若c≠ 0⽽ac≡ bc(mod mc)，则a≡ b(mod m)。

性质10：若c和m互质，则由ac≡bc(mod m)可以推出a≡b(mod m)。

性质11：若ac≡bc(mod m)，且（c, m）=d，则a≡b(mod m/d)
其实性质9和10是都性质11的特例，因为性质9⾥(c,m)=d=c，性质10⾥(c,m)=d=1
结论：若(c,m)=d,则(c/d , m/d)=1
对于质数模p(即模p为质数，如mod 3)，则有与相等完全类似的消去律。

性质12：若p为质数，c≢ 0(mod p)，（c,p互质），⽽ac≡ bc(mod p)，则a≡ b(mod p)。

性质13：设p(x)是整系数多项式，x和y是整数变量，则由x≡y(mod m)可得p(x) ≡p(y) (mod m)。

剩余类⼀次同余式
等价类、剩余类：模m合同既然是⼀种等价关系，就可以把所有整数按照模 m合同的关系分为等价类，每⼀个等价类称为模m 的⼀个剩余类。

例如，整数集合Z，模3，得到：
余数为0: {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}
余数为1: {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}
余数为2: {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}
1、同⼀个剩余类中的数互相合同，不同的剩余类中的数不互相合同。

2、因为以m去除任意整数，可能得到的余数恰有0，1，…，m-1，这m个数，所以模m共有m个剩余类。

3、从模m每个剩余类中任意取出⼀个数作为代表，得到m个数，⽐⽅r1, r2, …,rm，称这m个数作成⼀个完全剩余系。

例1： 0，1，…，m-1便是这样⼀个完全剩余系，称为模m 的⾮负最⼩完全剩余系。

任意整数模m恰好合同于此完全剩余系中的⼀个数。

例2：模3，三个数0，1，2作成⼀个完全剩余系，-1，0，1也作成⼀个完全剩余系。

例3：模2，两个数0，1作成⼀个完全剩余系，0代表所有偶数，1代表所有奇数.
同余式：含有整数变量的合同式，称为合同⽅程或同余式。

ax≡b(mod m)这种形式的合同式称为⼀次同余式；类似地，a2x2+a1x≡b(modm)称为⼆次同余式。

⼀次同余式解的个数：
1、若a和m互质，b任意，则模m恰有⼀个数x使ax≡ b(mod m) 。

推论：设p为质数。

若a≢ 0 (mod p)，b任意，则模p恰有⼀个数x使ax≡ b(mod p)。

2、若(a, m)=d>1 ，且d|b，则同余式ax≡ b(mod m)有d个解
求解⼀次合同⽅程的⽅法：
⽅法⼀：先使⽤辗转相除⽅法将互质的a与m的最⼤公因数1表⽰为a和m的倍数和的形式：1=as+mt，然后取x=sb，即可。

注意：s=(−1)k T k
⽅法⼆ ：就是利⽤合同的性质，使x 的系数变成1，即得到解。

定理5.3.2：若(a, m)=d>1，且d ∤b ，则同余式ax ≡ b (mod m)⽆解。

本定理可以作为同余式⽆解的判定定理.
定理5.3.3：若(a, m)=d>1 ，且d|b ，则同余式ax ≡b(mod m)有d 个解，分别为 α, α+m/d, α+2m/d, …, α+(d-1)m/d ……其中α是同余式(a/d)x ≡b/d (mod m/d)的解。

秦九韶定理 Euler 函数
⼀次同余式组 秦九韶定理
定理5.4.1 设[m1,m2]为m1，m2的最低公倍数。

则同余式组x ≡a1 (mod m1)
x ≡a2 (mod m2) (1)
在mod[m1,m2]下有唯⼀解的充要条件为(m1,m2)|(a1-a2) (2)
Note ：当此定理中的(m1,m2)=1这种特殊情况时，则（1）有关于模m1m2唯⼀解。

推⼴此特殊情形即得到中国剩余定理，也称为孙⼦定理。

后经过秦九韶整理和解法的推⼴，我们这⾥称之为秦九韶定理。

秦九韶定理 ：设m1, m2 , …, mk 两两互质。

a1, a2, …, ak 为k 个整数，则下列同余式组有解，且在模m1 m2 …mk 下解唯⼀：
x ≡a 1mod
m 1,
x ≡a 2
mod
m 2
,
………………,x ≡a k mod
m k
(1)
习题：
Euler 函数
结论：设n 是任意正整数， A 为mod n 的任意剩余类，a ∈A 。

若a 和n 互质，则A 中任意数和n 互质。

若A 中有⼀个数和n 互质，则其中所有的数都和n 互质。

故A 中的数或者都和n 互质，或者都和n 不互质。

**例. ** mod 6
2，8，16 ，…,与6都不互质。

5，11，17，…,与6都互质。

定义：设A 为mod n 的⼀个剩余类，若对a ∈A ，a 与n 互质，则称剩余类A 与n 互质。

Euler 函数 ：
()()(
)
}
定义：和n互质的剩余类的个数称为Euler(欧拉)函数,记为φ(n)。

定义：从和n互质的每⼀个剩余类中取出⼀个数，这样得到的φ(n)个数称之为作成mod n的⼀个简化剩余系。

显然，从mod n的⼀个⾮负最⼩完全剩余系中取出与n互质的那些数,就得到mod n的⼀个简化剩余系，因⽽φ(n)等于⩽n的正数中和n互质的数的个数。

例 n=10，则mod n的⼀个完全剩余系为0，1，…，9，⼀个简化剩余系为1，3，7，9，φ(10)=4。

例 n=12，则mod n的⼀个完全剩余系为0，1，…，11，⼀个简化剩余系为1，5，7，11，φ(12)=4。

定理5.4.5 ：设m=m1…mk，⽽m1, …, mk两两互质。

则φ(m)= φ(m1)φ(m2) …φ(mk)
例. φ(2646)= φ(2×27×49)
= φ(2) ×φ(27)×φ(49)
定理5.4.6 ：设n=p1r1…p k r k是n的质因数分解式，p1…p k都不相同，于是φ(n)=n1−1
p1…1−
1
p k
例φ(2646)=φ(2×33×72)=2646×(1−1/2)(1−1/3)(1−1/7)=756
定理5.4.7(Fermat-Euler定理,Euler1760年提出) ：若a和n互质，则aφ(n)≡1(mod n)
例：a=3,n=10,3与10互质,φ(10)=4,则34≡1(mod10)a=5,n=12,5与12互质,φ(12)=4,则54≡1(mod12)
推论1 (Fermat⼩定理Ⅰ)
若p是质数⽽p ∤ a，则a p−1≡1(mod p)。

推论2（Fermat⼩定理Ⅱ）
若p为质数，则对任意整数a,都有a p≡a(mod p)。

例:p=3, a=2, 23−1≡1(mod3) 23≡2(mod3)
例题：
第九次作业
1、⽤辗转相除法求1046和2683的最⾼公因数并表⽰为它们的倍数和。

2683/1046=2 (591)
1046/591=1 (455)
591/455=1 (136)
455/136=3 (47)
136/47=2 (42)
47/42=1 (5)
42/5=8 (2)
5/2=2 (1)
2/1=2 0
k0123456789
r k59145513647425210
q k211321822
S k011271623200423
T k12351841595131085
最⾼公因数：1=(−1)8−1×423×2683+(−1)8×1085×1046 （注意n是最后⼀个⾮零余项的n）
()()
公式：
S0=0,S1=1,T0=1,T1=q1S k=q k S k−1+S k−2T k=q k T k−1+T k−2d=(−1)n−1S n a+(−1)n T n b 2、判断题：0和1 是互质的。

（对）
【解】±1和任意整数(包括0)互质。

3、判断题：0和100的最⾼公因数是±100。

（对）
第⼗次作业
判定同余式206x≡ 114(mod 422)是否有解，如果存在请给出解。

【解】(206,114)=2且2|114故有两个解
法⼀：
先求103≡ 57(mod 211)的解
211=103*2+5
故206x≡ 114(mod 211) ⼜因为211x≡ 0(mod 211)
5x≡ -114(mod 211)
5x≡ 97(mod 211)
因为211=42*5+1
故210x≡ 12936(mod 211)
211x≡ 0(mod 211)
x≡ -12936(mod 211)
x≡ 146(mod 211)
故x≡ 146(mod 422) x≡ 357(mod 422)
法⼆：
先求103≡57(mod 211)的解
211=103*2+5
103=20*5+3
5=3*1+2
3=2*1+1
2=1*2+0
k012345
r k53210
q k220112
S k01202141
T k12414384
最⾼公因式：1=(−1)3×41×211+(−1)4×84×103
由此知：S=(−1)4×84=84
x=Sb=84×57=4788=211×23−65≡−65(mod211)≡146(mod211)
归正以后得x≡ 146(mod 422) x≡ 357(mod 422)往期回顾
Processing math: 100%。