2020高考数学10+7满分练(1)

2020高考数学 10＋7满分练(1)

1．复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋i

z

是纯虚数，则|z |等于( ) A. 5 B ．2 5 C.53 D.253

答案 D

解析 根据题意可设2＋i

z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，

∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i ]×(b i)＝－b (x ＋2)＋(xb )i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，

解得x ＝－23，

∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝25

3

.

2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )

A ．3

B ．6

C ．8

D ．10 答案 D

解析 B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}．故B 中所含元素的个数为10.

3．在等比数列{}a n 中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于( ) A ．6 B ．2 C ．2或6 D ．－2 答案 B

解析 因为a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根， 所以a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，

所以a 2＜0，a 18＜0，又数列{}a n 为等比数列， 所以a 10＜0，所以a 10＝－a 2a 18＝－2， 所以a 4a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.

4．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一条对称轴为直线x ＝π

6，则实数ω的值不可能是( )

A ．－2

B ．4

C ．12

D ．16 答案 C

解析 由余弦函数图象的对称性，知π6ω＋π

3

＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－2＋6k ，k ∈Z .令ω＝－2，

得k ＝0；令ω＝4，得k ＝1；令ω＝16，得k ＝3；令ω＝12，得k ＝7

3∉Z .故选C.

5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.23

B.4

3 C.83 D ．4

答案 C

解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的棱长为2的正方体内的四棱锥E －ABCD ，因此该几何体的体积V ＝13×2×2×2＝8

3

.故选C.

6．已知函数y ＝sin ax ＋b (a ＞0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是( )

答案 A

解析 由图象可知，函数y ＝sin ax ＋b 的周期大于2π，即2π

a >2π，得0＜a ＜1，又0＜

b ＜1，

所以函数y ＝log a (x ＋b )可视为将函数y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位长度，图象只可能为A.

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 3＋b 3＝c 3，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．不能确定

答案 A

解析 由a 3＋b 3＝c 3可得，c >a >0，c >b >0，所以0<a c <1,0<b

c <1，由a 3＋b 3＝c 3，得1＝⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，所以c 2<a 2＋b 2，由余弦定理可得，cos C ＝a 2

＋b 2

－c 2

2ab >0，即角C 为锐角，又A <C ，B <C ，所以△ABC 是锐角三角形．

8．已知a >0，b >0，定义H (a ，b )＝max{a ＋22－

b ，9a ＋2b }，则H (a ，b )的最小值是( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10 答案 A

解析 由定义H (a ，b )＝max{a ＋22－

b ，9a ＋2b }，得⎩⎪⎨⎪⎧

H (a ，b )≥a ＋22－b ，H (a ，b )≥9a ＋2b

，所以2H (a ，b )≥a ＋22－

b ＋9a

＋2b ，即2H (a ，b )≥⎝⎛⎭⎫a ＋9a ＋(22－b ＋2b )≥2a ·9a

＋222－

b ·2b ＝6＋4＝10.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝9a ，22－

b ＝2b ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝1时取等号，所以H (a ，b )min ＝5.

9．将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序．若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 C

解析 “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点．

10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为CD 的中点，F 为线段CE (端点除外)上一动点．现将△DAF 沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABCF .设直线FD 与平面ABCF 所成的角为θ，则sin θ的最大值为( )