2020-2021学年甘肃省兰州市高三诊断考试数学(理)模拟试题及答案解析

高考数学模拟试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}x

B x =>，则A

B =

A ．(1,0)-

B ．(1,1)-

C ．)21

,0(

D ．(0,1) 2．复数

1

1i

-（i 是虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．i C ．

12 D ．12

i 3．设||1a =，||2b =，且a ，b 夹角3

π

，则|2|a b += A ．2

B ．4

C ．12

D ．3

4．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的

概率为 A ．

1

5

B ．

25 C ．35 D ．4

5

5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．72

6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是

正视图 侧视图

x

A ．2

B ．92

C ．32

D ．3

7．如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填 A ．10?i ≥ B ．11?i ≥ C ．11?i ≤ D ．12?i ≥

8．设a ，b 是两条不同的直线，α，β

a b ⊥的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

9．已知不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-≥-≤+011

y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共

点，则k 的取值范围为是 A ．[3,3]-

B ．11

(,][,)33

-∞-+∞ C ．(,3]

[3,)-∞-+∞

D ．11[,]33

-

10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的

切线，且l 交坐标轴于A ,B 两点，则以下结论正确的是 A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3 C ．OAB ∆的面积有最大值为4

D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]

11．已知抛物线1C ：y x 22

=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准

线于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的标准方程为 A ．2

2

1()42

x y +-=

B ．22

1()42

x y -+= C ．2

2

1()22

x y +-=

D ．22

1()22

x y -+=

12．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为

偶函数，(4)1f =，则不等式()x

f x e <的解集为

A ．(2,)-+∞

B ．(0,)+∞

C ．(1,)+∞

D ．(4,)+∞

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知(0,

)2

π

α∈，4

cos 5

α=

，则sin()πα-= ． 14．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于

1

2

，且它的一个顶点恰好是抛物线2

83x y =的焦点，则椭圆C 的标准方程为 ．

15．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．

16．数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1n n n

a

b a +=，若1

1010112015b b =，则

21a = ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c sin 3cos c

C

A =．

（Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）若6a =，求b c +的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，

A 1

B 1

C 1

D 1

2AB =,1BC CD ==,顶点1D 在底面ABCD 内

的射影恰为点C ． (Ⅰ)求证：1AD BC ⊥；

(Ⅱ)若直线1DD 与直线AB 所成的角为

3

π, 求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的 余弦函数值．

19．（本小题满分12分）

为迎接在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖,否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次．已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为

4

5

． （Ⅰ）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数； （Ⅱ）用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望．

20．（本小题满分12分）

已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线为y =，右焦点F 到直线

2a x c =的距离为3

2

．

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与曲线C 相交于B 、D 两点，已知(1,0)A ，

若1DF BF ⋅=，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 21．（本小题满分12分）

设函数2

()ln(1)f x x m x =++．

（Ⅰ）若函数()f x 是定义域上的单调函数,求实数m 的取值范围；