概率与数理统计课本习题详解

2 3 x ,1 0 , x fX x P50 25 设随机变量 X 的分布密度是： 0 , x ,1 0
一维随机变量
1 X 求Y 的分布密度。
解： Fy P 1 X y Y
Py 1 X 1 F 1 y X
2 3
二维随机变量
P69 6. 求出在 D 上服从均匀分布的随机变量（X, Y）的 2 x 1 分布密度及分布函数，其中 D 为 x 轴， y 轴及 y 围成的三角形区域。
1 解：A D 4
1 当 x 或 y 0 时， 2 F x , y P X x , Yy
, y D x , y D x
x, y
1 dx
2
x
2x1
0
4dy
...2 x 1
2
二维随机变量
P69 6. 求出在 D 上服从均匀分布的随机变量（X, Y）的 2 x 1 分布密度及分布函数，其中 D 为 x 轴， y 轴及 y 围成的三角形区域。
4 , , y 解： f x 0 ,
当
, y D x , y D x
0 x y 1 且0 时，
x, y
F x , y P X x , Yy
1 dx
2
0
2x1
0
4dy
......1
二维随机变量
P69 9（2） 设随机变量（X, Y）在 D 上服从均匀分布，其中 2 x 1 D 为x 轴，y 轴及 y 围成的三角形区域。问 X 与 Y 是否相互独立？
2

二维随机变量
P69 9（2） 设随机变量（X, Y）在 D 上服从均匀分布，其中 2 x 1 D 为x 轴，y 轴及 y 围成的三角形区域。问 X 与 Y 是否相互独立？
4 , , y 解： f x 0 ,
当
y 0 y时， fY y 0 或1
解：设 A 表示“取出的产品是甲车间生产的”， B 表示“取出的产品是次品”。
B P A P B A P A P B A （1）所求的概率 P


2 1 0 . 9 7 0 . 9 8 0 . 9 7 3 3 3 3
条件概率、相互独立事件
P26 25 某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间的 次品率分别为0.03 和0.02 ，生产出来的产品放在一起，且 已知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求 （1）该厂产品的合格率， （2）如果任取一件产品，经检验是次品，求它是由甲车间 生产的概率。
1 2 F x fx d x 0 d x c o s x d x 0 d x 1 2 2 2 x 2
综上所述，.
.....
一维随机变量
P49 24 设 X 的分布律如下，求 X+2，1-X，X2 的分布律。 1 X 2 0 2 4 2 1 1 1 1 1 P 3 X 2 0 2 4 6 8 4 8 6 3 2 3 1 1 1 1 1 解： X 2 0 2 4 6 P 2 8 4 8 6 3 3 3 1 X 3 1 1 3 1 X 3 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 X 4 0 4 16 P 3 6 8 4 8 4 1 1 2 X 0 4 16 X 2 0 2 4 4 2 1 1 7 1 1 1 1 1 1 P P 8 4 24 3 8 4 8 6 3

一维随机变量
P47 3 一批产品共有 N 件，其中 M 件次品，从中任意取
nn M件，求这 n
件产品中次品数 X 的分布律。
解：设正品数 N-M > M。则 X 的分布律是： M
超几何分布
N-M
N
k nk C C M P X k MN , k 0 , 1 , 2 , . . . n n C N
所求概率为papbapabpapbapapba0608060804012625某工厂有甲乙两车间生产同一种产品两车间的次品率分别为003和002生产出杢的产品放在一起且已知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍求1该厂产品的合格率2如果任取一件产品经检验是次品求它是由甲车间生产的概率
概率运算
P25 12. 袋子内放有两个伍分、三个贰分和伍个壹分的硬币， 从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率。 解法1： P
4 , , y 解： f x 0 ,
1 x 0 y 2 x 1 当 且0 时， 2
F x , y P X x , Yy
, y D x , y D x
dyy1 4dx
0
2 . . . 4 x y y 2 y
1 cos x, 2 P48 15 设随机变量 X 的密度函数为 f x 0, 求 X 的分布函数。
一维随机变量
x x

2
2
x x 解：当 x 时， F x f x d x 0 d x 0 2 当 x 时， 2 2 x x 1 1 2 F x fx d x 0 d x c o s x d x 1 s i n x 2 2 2 x 时， 当 2
于是
f f 1 y y Y X
2 2 31 y 01y1 31 y 0 y 1 别处 别处 0 , , 0
二维随机变量
P69 5. 设随机变量（X, Y）的分布密度如下：
2 2 2 2 2 C R x y , x y R f x , y 2 2 2 0 , x y R
解：设 A 表示“取出的产品是甲车间生产的”， B 表示“取出的产品是次品”。 （2）所求的概率 P A B

P A P B A P A P B A 2 0.03 3 3 0.75 2 1 0.03 0.02 4 3 3
P A P B A
4 , , y 解： f x 0 ,
当
, y D x , y D x 1 x 或 0 x 时， fX x 0
2 x 1 1 x 4 d y 4 2 x 1 当 x 0 时，f X 0 2 1 4 2 x 1, x0 fX x 2 别处 0 ,
d x 0 d y0
0 0 x y
4 , f x , y 0 ,
, y D x , y D x
x, y
二维随机变量
P69 6. 求出在 D 上服从均匀分布的随机变量（X, Y）的 2 x 1 分布密度及分布函数，其中 D 为 x 轴， y 轴及 y 围成的三角形区域。
4 , , y 解： f x 0 ,
当
, y D x , y D x
0 x y 1 且0 时，
F x , y P X x , Yy
dyy1 4dx
0 2
y
0
x,
... 2yy
2
二维随机变量
P69 6. 求出在 D 上服从均匀分布的随机变量（X, Y）的 2 x 1 分布密度及分布函数，其中 D 为 x 轴， y 轴及 y 围成的三角形区域。
4 d x 2 1 y y y 1 2 21 y y 1 , 0 f y Y
0
, y D x , y D x
一维随机变量
一批产品共有 90 件，其中 80 件正品，从中任意取
20 件，求这 20 件产品中正品数 X 的分布律。
解：这个分布仍是： 其分布律为：
超几何分布
k 2 0 k C C 8 01 0 P Xk ,k 1 0 , 1 1 , 1 2 , . . . . . . 2 0 2 0 C 9 0

P A P B A P A P B A
P A P B A

0 .6 0 .8 0 .6 0 .8 0 .4 0 .1
条件概率、相互独立事件
P26 25 某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间的 次品率分别为0.03 和0.02 ，生产出来的产品放在一起，且 已知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求 （1）该厂产品的合格率， （2）如果任取一件产品，经检验是次品，求它是由甲车间 生产的概率。
C C C C C C C C 1 C 2
2 3 2 8 1 3 1 2 3 5 5 1 0 1 2 2 2 3 5
5 1 1 3 1 4 C C C C C C 1 8 2 3 5 2 5 解法2： P 1 5 C 2 1 0
条件概率、相互独立事件
P26 24 发报台分别以 0.6 和 0.4的概率 发出信号“点”和“杠” 由于通讯系统受到干扰，当发报台发出信号“点”时，收报台 分别以 0.8 和 0.2 的概率收到信号“点”和“杠”，同样，当发 报台发出信号“杠”时，收报台分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 信号“杠”和“点”。求当收报台收到信号“点”时，发报台 实 发出信号“点”的概率。 解：设 A 表示“发报台发出信号‘点’”， B 表示“收报台收到信号‘点’”。 所求概率为 P A B
y
x
x, y
2
二维随机变量
P69 6. 求出在 D 上服从均匀分布的随机变量（X, Y）的 2 x 1 分布密度及分布函数，其中 D 为 x 轴， y 轴及 y 围成的三角形区域。
4 , , y 解： f x 0 ,
1 x 0 x 1 y时， 当 且 2 2 F x , y P X x , Yy

k
ae

一维随机变量
P48 9 某车间有同类设备100 台，各台设备工作互不影响。 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障 可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证 设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01。
解：设应配备 x 个维修工人。 记 X 表示同时出故障的设备台数，则 近似地： X X ~ B 1 0 0 , 0 . 0 1 , ~ P 1 要使 P{设备发生故障但不能及时维修}


y r 求 （X, Y ）落在圆 x
2 2
2
r 解：P X Y r dC R r r d r
2 2
2
r R 内的概率.
0
2
2
0

r
d C Rrr d r 0 0
r
2 3 Rr r R r r C ...... 2C 2 3 0 2 3 2
2 0 k 1 0 ,
k 1 0
一维随机变量
P47 8（2）
P X k a,k 0 , 1 , 2 . . . . .
k !
解：
P Xka k!
k 0 k 0


k
a e e a e 1 ! k 0k
P X x 1 P X x 0 . 0 1 PX x 0 . 9 9
查表：P X 4 0 . 9 9 6 3 3 9 0 . 9 9 , 所以应配4 个维修工人。
P X 30 9 8 1 0 1 1 0 . 9 9 .