反比例函数的图象与性质(2)

第二课时
图像 双曲线;
位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;
增减性当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永 远达不到x、y轴,画图象时,要体现出这个特点.
|
AP
APy
|
1 2
|
2m
|
|
2n
|
2
|
k
|
(如图所示
P(m,n)
o
x
(3)设P(m,Pn/)关于原点A 的对称点是P(m,n),过P作x
与过P作y轴的垂线交于A点, 则
SPAP

1 2
|
AP
AP
|
1 2
|
2m
||
2n
|
2
|
k
|
(如图所示)
y
y
s s o 1 2P(m,n)
① 这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
② 点B（3，4）、C（ 2 1 ,4 4 ）和D（2，5）是否在
这函数的图象上？
25
这个函数的解6图6：象设分k26k2y布 在一kkx2kk、把三A1k象1（22限2 ，1；62y）随yy代x的入y1增，1x2x大得21而x2减小
Rt OCD的面积为S2 ,则 __C_ .
y
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定. C D
8、 如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C,
x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1, C1三点,
边结OA, OB,OC, 记OAA1, OBB1, OCC1的
2
2
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
论成立吗?
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
SOAP

1 2
OA
AP

1 2
|
m
|

|
n
|
1 2
|
k
|
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是P(m,n),过P作
x轴的垂线与过P作y轴的垂线交于A点, 则
SPAP

1 2
s1s2
x
P/
s sP(m,n)
o 12
s1s2 x
P/
s1

s2

1 2
k
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图
形的一类性质.掌握好这些性质,对解题十分
有益.(上面图仅以P点在第一象限为例).
9.如图, P是反比例函数y k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
x
S OOC1

1 2
|k
|
1 2
,即S1

S2

S3 , 故选A.
7、 如图, A, B是函数y 1 的图图像上关于原点O对称
x
的任意两点, AC平行于y轴, BC平行于x轴, ABC的
面积为S,则 _C__.
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
解:由上述性质(3)可知, S△ABC = 2|k| = 2
函数的解析式是____ .
解:由性质(2)可得 S矩形APCO | k |,| k | 3.
又∵图像在二、四象限
y
PC
k 3 解析式为y 3 .
x
A ox
如过图A作:A、x轴C的 是函垂数线,y垂足1x为的B图.过象C上作任y轴意的 两点垂，线,
垂足为D.记Rt AOB的面积为S1,
A
o
x
B
C
若s=3则函数的表达式为
y
3
2x
课堂小结
①反比例函数的性质及应用 ②反比例函数的图象的分布与比例系数k的符号的关系
③反比例函数的图象上的点与坐标轴围成的图形的面积 与比例系数的关系
已知反比例函数 y k
y
x
(k≠0)当x＜0时，y随x的
增大而减小，则一次函数
o
xy=kx-k的图象不经过第 二
象限.
反比例函数 y k
x
P
S1 S2
Q 图象中的 s1、s2、s3
R S3
有什么关系？为什么？
过(2P)过分P别分作别x轴作, yx轴轴的, y垂轴线的,垂垂足线分,垂别足为A分, B别, 为A 则S 则S矩矩形形OOAPABPBOOAAAPAP| m||m | |n|| |nk|| (|如k 图 | (如所图示)所.
1
1
1
S yOAPQ(a2,b)OA
AP

2
|
m
|

|
n |
y
2
|
k
|
P(m,n) M(c,d)
N(e,f)
oA
x
P(m,n)
oA
x
1 | a | | b | 1 | m | | n | 1 | c | | d | 1 | e | | f | 1 | k |
2
2
2
B、C在图象上；D不在图象 上
根据图象回答下列问题
①图象的另一支在哪个象限？m的取值范围是什么？
②在图象的某一支任取点A（a，b）和B（ ' '）
a b a b a，b a 如果
＞ ' ,那么' b和'
'
有怎样的大小关系？
y y m5 x
o x
①第三象限 由m-5＞0，得
m＞5
②ba＜'b '
y
P（a、b）
B
P(m,n)
S1 S2
Q（c、d）
oA
x
R S3
（e、f）
ab cd ef k
s1 s2 s3
设设PP((mm,,nn))是是双双曲曲线线yykxkx((kk00))上上任任意意一一点点,,
((11))过过PP作作xx轴轴的的垂垂线线,,垂垂足足为为AA,,则则
对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称 的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.
老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而增
大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性
质的一个函数:
.
已知反比例函数的图象经过点A （2，6）
面积分别为S1, S2 , S3,则有 _A_ .
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
S AOA1

1 2
|
k
Байду номын сангаас|
1 2 , SBOB1

1 2
|k
|
1, 2
y
A
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1