巧用补形法求异面直线所成的角

解 如图 2,将所给图形补成直棱柱 , 则 B C ∥ EG, 过点 P作 PM ∥ EG交 FG于 M , 则 B C ∥ EG ∥ PM ,于是 ∠A PM 或其补角就是异 面直线 PA 与 B C所成的角 ,连结 AM 作 CS ∥
DA交 AB于 S,则 B C = CS2 + SB 2 = 4 + 9
co s∠CSD = 2 + 5 - 3 = 2 = 10.
2 2 ×5
10
5
例 5 在长方体 AB CD - A1B 1 C1D1 中 , AB = B C = 2a, AA1 = a, 求异面直线 AC1 与 B 1 C 所成的角.
解 如图 5, 取 CC1的中点 N , 连结 BN , 则 BN ∥AM ,在原图形的下方补上一个相同的正 方体 , 取底面中心为 O1 , 连结 BO1 , 则 B 1O ∥ BO1 , 于是 ∠O1BN (或 其补 角 ) 为异 面 直 线 B 1O 与 AM 所成 的 角 , 在 & BNO1 中 , NO1 =
例 1 如图 1, 在四棱锥 P - AB CD中 , PD ⊥平面 AB CD, PA与平面 AB CD成 60°角 , 在四 边形 AB CD 中 , ∠ADC = ∠DAB = 90°, AB = 4, CD = 1, AD = 2, 求异面直线 PA与 B C所成 的角.
B C = 13, AM = 21, 由余弦定理有
解 如图 4, 在原长方体的右侧 (或左 侧 ) 补一个同样的长方体 , 则 C1 F′∥ D1 F, 且 C1 F′= D1 F, 于是 ∠EC1 F′为所求的角.
在 R t& EF′B ′中 , EF′= EB ′2 + B ′F′2
= 52 + 12 = 26.
在 R t& D1 FD 中 , D1 F = C1 F′ =
在 &M CB 1 中 , M C = AC1 = 3a, B 1 C =
5a, M B 1 = 2 2a, 于是
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co s∠M CB 1
9a2 + 5a2 - 8a2 =
2 ×3a × 5a
=
5. 5
故 ∠M CB 1
= arcco s 5. 5
类似上面的例子很多 , 在此不再一一列
举 ,旨在为同学们提供一种解题方法.
co s∠EC1
F ′=
C1
E2 + C1 F ′2 - EF′2 2C1 E·C1 F′2
= 14 + 24 - 26 = 21. 2 × 14 × 24 14
例 3 已知 AB CD - A1B 1 C1D1 是棱长为 1 的正方体中 , O 为 AC与 BD 的交点 , M 为 DD1 中点 , 求异面直线 B 1O 与 AM 所成角的余弦 值.
D F2
+
DD
2 1
=
D C2
+ CF2
+
DD
2 1
=
24.
·23·
高中数学教与学 2010年
在 R t& C1 EC 中 , C1 E = CE2 + CC21 =
EB 2 + B C2 + CC21 = 14.
于是在 & C1 EF′中 , 由余弦定理 , 得
·24·
解 如图 7, 将原图形补成一个直四棱 柱 ,则 SC与 OB 所成的角 ,即为 SC与 SD 所成 的角 ,因此 ∠CSD (或其补角 ) 为异面直线 SC 与 OB 所成的角. 连结 CD, 在 & SCD 中 , SD =
OB = 2, SC = 5, CD = CB 2 + BD2 = 2 + 1 = 3,由余弦定理 ,得
= 2, OA
= AB
= 1,
2
SO ⊥平面 OAB C, 且 SO = 1, 求异面直线 SC
与 OB 所成的角的余弦值.
解 在原图形上面加一个相同的长方
体 , 使点 A 移到点 M 的位置 , 连结 M C (如图
8) , 则 M C ∥AC1 , ∠M CB 1 (或其补角 ) 为异面 直线 AC1 与 B 1 C 所成的角.
= 13. 由已知可得 PD = 2 3, PA = 4, 过点 M 作
M N ∥ PD, 则 MN ⊥平面 AB CD, 又 PM GE为平 行四边形 , 于是 PE = DC = M G = 1, 由 AB = 4, 得 AN = 3, 因 此 AM = AN 2 + M N 2 =
9 + 12 = 21, 在 & A PM 中 , A P = 4, PM =
2
2+
32=
11, BN =
2
2
2
1+1 = 4
5 2
,
B
O
1
=
2
2 +1 =
6, 由余弦定理 ,
2
2
5 6 11 +-
co s∠O1BN = 4 4 4 = 0, 即 B 1O与 AM 2×5 ×6 22
互相垂直.
例 4 如 图 6, 在 直 角 梯 形 OAB C 中 ,
∠COA
= ∠OAB
π = , OC
求异面直线所成角的方法较多 , 归纳起 来不外乎是通过平移和解三角形来完成. 由 于平移的目的是将角放在一个三角形中求 解 , 因此像中位线法 、平行四边形法 、补形法 等方法尤为常见. 但具体到各种图形中 , 又如 何利用这些方法 , 学生却感到困惑. 本文就用 补形法如何求异面直线所成的角 , 作如下探 讨 ,但愿能给同学们带来一定的帮助.
巧用补形法求异面直线所成的角杨晓明贵州省贵阳市息烽县乌江复旦学校551100求异面直线所成角的方法较多归纳起来不外乎是通过平移和解三角形来完成
第 1期 高中数学教与学
巧用补形法求异面直线所成的角
杨晓明
(贵州省贵阳市息烽县乌江复旦学校 , 551100)
co s∠A PM
A P2 + PM 2 - AM 2 = 2A P·PM
= 16 + 13 - 21 = 13. 2 ×4 × 13 13
故 A P与 B C所成的角为 arccos 13. 13
例 2 如图 3, 在长方体 AB CD - A1B 1 C1D1 中 , AB = 4, AD = 3, AA1 = 2, E, F分别是线段 AB , B C上的点 , 且 EB = FB = 1. 求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值.