微分中值定理的证明及应用

微分中值定理的证明及应用

微分中值定理是一系列中值定理的总称，通常包括罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。它们将函数与其导数联系起来，从而可以利用导数的局部性来研究函数的整体性质，是研究函数的有力工具。因此，微分中值定理在微分学中占有很重要的地位。

1 微分中值定理历史发展

人们对微分中值定理的认识始于古希腊时代。当时的数学家们发

现，过抛物线顶点的切线必平行于抛物线底端的连线，阿基米德还利用该结论求出了抛物线弓形的面积。这其实就是拉格朗日中值定理的特殊情形。1635年，意大利数学家卡瓦列里在《不可分量几何学》中描述：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的几何形式。

1637 年法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，即函数在极值点处的导数为零。1691 年法国数学家罗尔在《方程的解法》中给出了多项式形式的罗尔定理，后来发展成一般函数的罗尔定理，并且正是由费马定理推导而出。后来，法国数学家拉格朗日于1797 年在《解析函数论》中首先给出了拉格朗日中值定理，并予以证明。它也是微分中值定理中最为主要的定理。同样是来自法国的著名数学家柯西，这位近代微分学的奠基者，对微分中值定理进行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》和《微分计算教程》，在分析上进行了严格的叙述和论证，使得微积分摆脱了对几何、运动的直观理解和物理解释，对微积分理论进行了重构，从而极大地推动了数学分析严格化的进程[1-2] 。他在《无穷小计算教程概论》中严格地证明了拉格朗日中值定理，后来又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为广义中值定理—柯西中值定理。柯西认为中值定理是微分学中最核心的定理，比如可以利用该定理严格证明洛必达法则，并研究泰勒公式的余项等。从柯西起，微分中值定理成为了研究函数非常重要的工

具，也是微分学的重要组成部分。

2 微分中值定理及其证明

2.1 费马引理

设x0是f (x)的一个极值点，且f (x)在x0处导数存在，则f“( x0) =0。费马引理可以由极值的定义证得。需要注意的是，导数为0的点并不一定是极值点，例如f (x) =x3在x=0处导数为0,但显然该点并不是f (x)的极值点。

2.2 罗尔定理

如果函数f (x)满足：在闭区间［a, b］上连续；在开区间(a，b) 内可导；在区间端点处的函数值相等，即彳(a)=f (b)。那么在(a, b)内至少存在一点E€(a, b),使得f ( $ =0。

证明：由f (x)在闭区间［a, b］上连续可知，存在$叶€ ［a b］, 满足f ( $ =M , f (n) =m，其中M和m分别是f (x)在［a, b］上的最大值和最小值。不妨設Mm ( M=m 时结论显然成立)，这时M 和m中至少有一个与f (a)不相同，不妨设M=f ( $ f (a) =f (b), 此时 $显然是极大值点,由费马引理可得f" ($)=0。

罗尔定理的几何意义是满足定理条件的函数 f (x), 一定在(a,

b)内某一点存在一条平行于曲线段端点连线的切线。通常可以利用罗尔定理来讨论函数及其导函数在某区间上的零点问题，并且还可以用来证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

2.3 拉格朗日中值定理

如果函数f (x)满足：在闭区间［a, b］上连续；在开区间(a, b) 内

可导。那么在(a, b)内至少存在一点$€ (a, b),使得f"。

证明：设=k，则 f (b) -f (a) =k (b-a ),即 f (a) -ka=

f (b) -kb。构造函数F (x) =f (x) -kx，贝S F (x)同样满足定理中的条件且F (a) =F (b)，根据罗尔定理，在(a, b)内至少存在一点$€ (a, b)使得F" ( $ =f" ( $ -k=0，即f" ( $ =k，故。

拉格朗日中值定理的几何意义是满足定理条件的函数 f (x),至少在

(a, b)内存在一点，使得该点处的切线斜率与曲线段端点连线的斜率相同。拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，因此很多时候可以从导数的角度来研究函数在其定义域上的性质。在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面，都可能会用到拉格朗日中值定理。

2.4 柯西中值定理

如果函数f (x)和g (x)满足：在闭区间［a, b］上连续；在开区间(a, b)内可导；对€ (a, b), g" (x)工0。那么在(a, b)内至少存在一点E€( a, b),使得。

证明：同拉格朗日中值定理的证明类似，设二入，构造辅助函数F (x) =f (x)-入(g (x) -g (a)),则F (x)同样满足定理中的条件且F(a) =F (b),根据罗尔定理，在(a, b)内至少有一点E€(a, b)使得F" ( E) =f" ( $ -入g"( $ =0,代入入可得g" ( $ =0,整理可得。

柯西中值定理的几何意义是由函数 f (x)和g (x)所确定的参数曲线上，至少在(a, b)内存在一点，使得该点的切线平行于参数曲线两端点的连线。柯西中值定理的证明方法有很多种。与拉格朗日中值定理一样, 柯西中值定理也可以用来求函数极限、证明函数单调性以及证明等式与不等式等。

我们可以看到,在拉格朗日中值定理中,如果令f(a)=f(b), 就可以得到罗尔定理。同样的,在柯西中值定理中, 如果令g(x)=x, 则变成拉格朗日中值定理。因此,拉格朗日中值定理可以看作是罗尔定理的推广, 而柯西中值定理则可以看作是拉格朗日中值定理的推广。也可以说, 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例, 拉格朗日中值定理则是柯西中值定理的特例。从证明过程可以发现, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理都以罗尔定理为基础,再通过构造辅助函数证得。

3 微分中值定理的应用微分中值定理不仅具有明显的几何意义和运动学意义, 它作为微分学最基本的定理之一, 还是研究函数的有力工具。本节给出它在以

下几个方面的具体应用。

3.1 求函数极限